分類討論思想在初中數學解題教學中的滲透

袁健風

(江蘇省南通市海門區德勝初級中學,江蘇 南通 226100)

在傳統的初中數學解題教學中,許多教師的教育思想滯后,沒有掌握有效的教學指導方法,只是針對習題的本身進行講解,沒有讓學生了解問題解決中涉及的數學思想與方法,從而導致學生雖然在教師的講解中解決了當下面對的問題,卻在后續遇到同類問題的時候無從下手.在數學解題教學中滲透分類討論思想,目的在于達到“授之以漁”的教學效果,側重于在解題教學中引領學生掌握數學思想方法和數學問題解答的竅門.解題教學一直以來都是初中數學教學工作中的重點與難點,學生的解題水平一方面反映了其對數學知識的理解與吸收情況,另一方面也體現出學生的數學知識應用能力.將分類討論思想滲透于解題教學中,可以有效引導學生找到解題思路,降低解題的難度,促進學生解題能力的發展.

1 分類討論思想概述

1.1 分類討論思想的內涵

數學思想的形成是學生掌握數學方法的核心所在,可以促使學生在數學問題的解決中運用數學方法高效且正確地解決問題,因為數學思想與數學方法密不可分且相互影響,因此人們常常將其合稱為數學思想方法,常見的數學思想方法有分類討論思想、數形結合思想、化歸與轉化思想以及函數與方程思想等[1].

在“新課改”的背景下,廣大一線教師加強了對分類討論思想的重視程度,在對分類討論思想的研究中提出了一些見解.比如,顧泠沅教授認為分類討論思想中的“分類”是指劃分,在劃分中需要學生按照數學對象的共性與差異性,將數學對象劃分成若干類別的操作過程,在遇到不能統一的問題時,將問題分成若干種情況,然后分別解決,最終完整地解決問題;呂美英教授認為分類討論是指在面對需要解決的問題時,學生按照一定的特點或要求,將原問題分成幾個問題,再按照不同情形進行分析問題,逐個加以解決的數學思維.

由此可見,分類討論思想既是一種數學思想,又是解決問題的有效方法,其核心是根據數學對象的本質屬性特征,按照一定的標準,將復雜的問題分拆、逐個擊破并解決的過程,起到化繁為簡的作用.

1.2 分類討論的基本步驟

1.2.1確定分類對象

在分類討論之前,需要學生解決“對什么分類”的問題,確定分類對象有助于學生找出分類的原因,并在解題中把握問題的本質.學生在這個過程中,找準哪一個對象是不確定導致分類結果的多樣性,認識到只有找準分類的對象,才能為分類討論指明方向.

1.2.2選擇分類標準

“按照什么標準分類”也是分類討論的一個至關重要的因素.在確定分類對象后,需要按照科學合理的標準進行分類,無論是教師還是學生都應該遵循同一性、完整性、互斥性的原則,能夠在解題前羅列出分類對象的所有可能情況.

1.2.3逐類討論獲得初步結果

在這個環節中,需要將分類對象的所有情況羅列出來,按照一定的層次,對每一種情況做出清晰的討論,應用所需的知識與相關的定理、公式,解出每一類的結果.

1.2.4歸納整合寫出結論

在得出了初步的結果后,還需要對每一種情況的結果做出歸納與總結,整理出解決問題的最終結果,避免最終結果出現錯誤.一般來說,學生可以采取并集整合、交集整合與并列整合三種方式,對各類結果進行分析,得出最終的結論.

2 分類討論思想在初中數學解題教學中的滲透路徑

2.1 激發分類討論的興趣

正所謂“學起于思”,分類討論思想的形成需要以學生具備濃厚的學習興趣為前提,通過教師的指導引領學生樹立分類討論的意識,打開其求知的天窗,讓學生在數學問題的解答中主動地從分類討論的視角出發,對問題進行積極思考.數學問題的解答必然需要學生運用到數學概念、運算法則等知識,掌握基礎知識對于提升學生的解題能力有著重要的作用.概念、定理、運算法則等知識本身就是分類定義的,那么在數學解題教學中,教師可以提供問題情境創設的方式,引發學生對問題的思考,引領學生從特定的情境中對不確定的情況產生疑問,激發其分類討論的興趣,形成分類討論意識,為分類討論思想的形成奠定基礎.

比如,在七年級的《有理數》單元中,學生通過第一課的學習了解了“正數”與“負數”,在此基礎上進一步延伸出了“有理數”和“無理數”,這是本單元的第二課內容,擴大了“數”的范圍.從這兩節課的學習中,學生認識到正數與負數的性質,表示運算的符號“+”“-”,“-”還能表示相反數的意義.因此,數的范圍擴大,學生在數的計算上難度有所增加,在問題解答中不僅要考慮到運算符號的使用,還需要考慮絕對值的問題,這就需要教師在問題解答中引領學生對多種情況做出分析.比如,教師給學生布置了這樣一個習題:“小明從家出發,沿著東西方向的路走了5米,后返回3米,若是以小明家為原點,以東為正方向,畫一條數軸,表示出小明的位置,請說明小明家在什么方向,距離家幾米?”以問題的提出引發學生的思考,促使其結合生活經驗分析運動方向的多種可能性,再結合學習過的數軸知識,完成直觀的數軸繪制任務并列出算式.以此引導學生意識到在數學問題解答中遇到問題不確定的情況時,就需要使用分類討論的方法,進而為學生的分類討論思想的形成打造一個良好的開端.

2.2 在分類討論中理解題意

大部分初中生在數學問題解答中存在題意不明的情況,因此,無法理清題干中的關鍵信息,不能使用具體的標準進行數學問題類型的劃分,是阻礙學生順利解答數學問題的不利因素.對此,教師應在解題教學中,引領學生根據統一的分類標準對習題中的不同情況做出具體細致的討論,進而提高學生的題意理解能力以及分析歸納能力.

比如,在“一元二次方程的解法”教學中,教師給學生布置了這樣一道習題:“已知等腰三角形的底邊長9,腰長為方程x2-10x+24=0的一個根,求此三角形的周長”.在問題的解答前,教師應先引導學生從題干中確定條件,并提供統一的分類標準,讓學生可以在思考中認識到一元二次方程有兩個實數根,因此,在題干中并未指明哪一個方程的根才是等腰三角形的腰長,這就需要學生考慮到兩個根都有可能,想要確定就需要繼續討論.又想到在以往的三角形知識學習中,有三角形的任意兩邊之和大于第三邊,將方程的根帶到后續的推理討論中,由此確定分類討論的標準是必須滿足二倍的情況下大于9,才能認定為等腰三角形的腰長,以此幫助學生理清題意,找到問題解決的有效途徑.

2.3 運用分類討論思想求解

讓學生學會使用分類討論思想求解,是解題教學中的關鍵環節.在初中數學教學中,方程是學生最難以掌握的知識點之一,學生普遍認為解方程具有一定的難度.而在方程題的解答中使用分類討論思想,可以將復雜的問題簡單化,幫助學生輕松地攻克解方程的難關,如解方程或解方程組問題、求解含參方程中的參數值問題以及用方程解決實際問題等.

學生在解方程組的習題中,經常會因為字母系數及絕對值而產生不同的答案,因此在此類習題的解答中,需要學生對其中存在的不確定因素展開分類討論.在含有參數的方程問題解答中,往往因為一個參數的變化而引起參數方程性質的變化,面對此類問題就需要學生對參數展開分類討論.如教師給學生出示了這樣一個習題:“已知關于x的方程zx2-(z+2)x+2=0只有一個解,那么z等于多少?”在此題的解答中,學生要認識到只有對參數z值的不同展開分類討論,才能夠順利地解答習題.因為,當z的值發生變化時,很可能會影響方程形式發生變化,促使學生理解參數z對于方程產生的影響.對二次項系數含有參數的情況未作出說明時,也要討論參數.當z=0時,方程zx2-(z+2)x+2=0轉化為-2x+2=0,x=1;當z≠0時,zx2-(z+2)x+2=0轉化[-(z+2)]2-8z=0,經過計算z=2,由此得出z=0或z=2.學生在方程題的解答中使用分類討論思想,可以在很大程度上降低方程題的解答難度,進而快速地找到答案.

2.4 養成主動分類討論的習慣

在數學學習中會涉及大量的平面幾何知識以及代數知識,教師不僅要關注學生代數與幾何知識點的掌握情況,還要注意幫助學生糾正問題解答中容易忽視或常見的錯誤點,滲透分類討論思想打破學生的固化思維,促使學生養成主動分類的習慣.在以往的初中數學解題教學中,我們會發現許多學生看似掌握了分類討論思想,但是在問題解答中卻不能主動地應用,若是教師在旁提醒學生“需要使用分類討論的方法”,學生就會出現茅塞頓開的現象,從中可以看出,學生并不是沒有掌握分類討論的方法,只是沒有養成分類討論的習慣.面對這種情況,教師要予以指導,讓學生在多次的鍛煉中形成分類討論的意識,還要在面對數學問題時,自覺進行分類討論.

比如,在平面幾何教學中,教師出示習題:“從三角形ABC的頂點A,向它所對的邊BC所在的直線畫垂線,垂足為D,所得線段AD叫作BC的高,請學生畫出BC邊上的高AD的位置可能在哪里?”這個習題屬于平面幾何范疇,教師應引導學生基于平面幾何對“三角形的高”形成多樣化的認知,促使學生在問題解答中發散思維,利用圖形多樣化的性質探索問題的答案,提升思維的多樣化與靈活性.在此題的講解之后,還要繼續給學生出示幾個類似的平面幾何問題,讓學生經歷從特殊到一般的推理過程,做到能熟練地使用分類討論方法解答問題,在潛移默化中鍛煉學生的空間想象能力與問題解答能力,形成良好的學習習慣.

綜上所述,分類討論思想在初中數學解題教學中有重要的應用價值,教師應深入地研究分類討論思想,幫助學生掌握分類討論思想的內涵及其基本步驟.教師還應結合解題教學的目標以及初中生的數學學習需求,巧妙地融入分類討論思想,增強學生的分類討論意識,引導學生學會使用分類討論的方法解決問題.以此,形成良好的解題習慣,拓展數學解題思維,提升學生的數學解題能力,滿足其多元化發展需求,為初中階段的數學學習打下基礎.