用分類討論思想優化初中數學解題教學

謝文秀

(山東省濟南市萊蕪區汶源學校,山東 濟南 271100)

初中生在解決不確定問題、存在含參字母的數學問題時,經常會用到分類討論思想,其可以幫助學生有條理地分析,使學生在分類之后再逐個研究,最終歸納整合,找到問題解答的思路,順利地回答問題.波利亞在問題解答步驟的研究中提出,當遇到數學問題存在多種不同情況的時候,通過分類的方式,按照統一的標準對研究對象進行分類,可以避免學生在問題解答中出現遺漏等情況,使學生在頭腦中形成整體的構思,擬定趨于完整的問題解決方案,有助于學生深刻理解題意,對每種情況擬定解決方案,最終順利解決問題.分類討論思想不僅可以提升學生的數學解題能力,還可以用于解決生活實際的問題,如水電費問題、出租車計費問題等,其應用價值不容小覷.因此,教師要指導學生掌握分類討論的方法,形成分類討論思想,并且能夠在數學問題解答中靈活地運用分類討論思想,促進學生數學學習質量的提升.

1 分類討論思想應用的原則

1.1 同一性原則

在使用分類討論思想研究問題的過程中,學生要始終按照同一個標準,并且按照某一個特定的邏輯順序對研究對象進行分類討論[1].實際上,學生們在日常的生活中已經接觸過分類的事件,只是沒有形成系統化的分類意識.比如,按照國家劃分,我們常常會將不同國家的人分為中國人、英國人、日本人、韓國人等,按照膚色劃分人的時候,有白種人、黃種人、黑種人等.在數學學習中也接觸過許多分類的情況,比如,在學習三角形的時候,學生會接觸到銳角、直角、鈍角三角形,這是按照角的度數大小劃分的,這些都是按照同一性原則做出的類型劃分.掌握同一性原則可以幫助學生明晰分類標準,避免出現分類混亂的問題.

1.2 完整性原則

我們發現,許多學生在數學問題的分類討論中,會出現遺漏、重復討論的現象,究其原因在于學生在分類討論中并沒有考慮到分類的子項之和是否與母項總和相等的問題,若是子項的總和小于母項的外延,則說明存在遺漏的問題,相反則說明有重復討論的部分.對此,需要學生在問題的分類討論中遵循完整性的原則,即為分類出的每一種情況之和與總體范圍是相等或相同的.如在自變量取值的問題解答中,有些題目中會將自變量取值問題隱藏得比較深,很多學生會在簡單解答了問題之后,忽視了自變量“x”的取值問題,或者是取值的范圍確定不對.想要避免此類問題的出現,學生要一一列舉,并且主動思考自變量的取值范圍是否全面,從而確保分類討論的完整性.

1.3 層次性原則

分類討論思想應用中的層次性原則是指在類型的劃分中,若是經過一次分類后,子項中還存在著不同的情況,并且這種情況的存在影響著問題的解答,則需要學生對子項繼續分類討論,直至滿足問題解決的條件需要,保障類型劃分的層次清晰,邏輯分明.“怎么教”比“教什么”更重要,“會學”比“學會”更重要.在初中數學解題教學中,教師應引領學生掌握層次化分類的方法,發展其高階思維,促使學生在類型的劃分中學會分析子項是否獨立,子項與子項中是否存在交叉點,子項是否可以繼續分類,等等,鍛煉學生的數學思維能力,幫助學生在問題解答中找到最優化的解題方案[2].

2 分類討論思想在初中數學解題教學中的運用

2.1 在問題驅動中探索,滲透分類討論思想

初中生的思維能力有限,正處于具象思維向抽象思維過渡的階段.考慮到這個時期學生的思維發展特點,初中數學教材在編寫中融入了許多與現實生活相關的內容,目的在于幫助學生建立數學與現實之間的聯系,消除學生對數學學習的畏難心理以及陌生感.同樣的,要求教師在數學問題的設計中,能夠基于創設生活化的問題情境,以問題為載體,帶領學生在情境中理解分類討論思想,啟發學生形成分類的意識,激發對問題的討論熱情,讓學生形成濃厚的學習熱情和分類討論的意識[3].

比如,在“方程的運算”這一知識點講解之后,教師通過情境創設的方式提出了這樣的問題:“H學校決定統一采購一批學習用品,將此次采購任務指派給張老師完成,張老師為了減少采購的成本,在某網購軟件中選擇了兩家店面,但是因為兩家店面的優惠政策不一樣,張老師一時拿不定主意了.A店鋪的優惠政策是100元內正常繳費,超過100元的部分打9折;B店鋪是50元內不打折,超過50元后,超出部分打9.5折,請你結合兩家店鋪的優惠政策,幫助張老師算一算,去哪家采購商品花費最少?”在問題提出之后,為了引導學生進行分類討論,教師可以繼續提問.比如,教師設置了如下的幾個問題:(1)你理解的題意是什么?請將其說給身邊的同學;(2)若是張老師在此次購物中消費了x元,你能夠用函數的方式表示在兩家商場中花費的錢數嗎?(3)你能通過列表格的方式,清楚地表示出上述中的問題嗎?(4)怎么判斷在哪個店鋪中花費的更少呢?通過一連串問題的提出,引發了學生的分類討論,促使學生從采購費用的不同角度分析,將討論的類型分為“0100”,將三種情況通過表格的方式羅列出來,促使學生產生分類討論的意識,活化所學知識.

2.2 在問題討論中生成,掌握分類討論方法

在以往的數學教學中,許多教師只教會了學生分類,卻沒有組織學生對不同的問題類型開展討論,從而導致學生對分類討論思想的掌握不夠深刻.為了避免這種問題的出現,教師應在解題教學中給學生提供充分的討論機會,鼓勵學生在問題的討論中表達個人的觀點,促使其在想法的表達中實現思維的碰撞,并且不斷地完善認知內容,提升認知高度.在問題討論過程中理解知識,進而提高學生對分類討論思想的掌握程度,為問題解決中的實踐運用奠定基礎.

如在針對三角形存在性問題,教師設計了這樣的問題:“直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上的一個動點,若三角形PAD與三角形PBC是相似三角形,那么滿足條件的點P的個數有幾個?”要求學生先認真讀題,再展開討論.這道題很明顯是分類討論的題型,在解題教學中,教師要給學生留足夠的討論時間,鼓勵學生敢于說話.例如,一名學生說道:“我想到了使用畫圖的方式解決問題,將P點可能存在的位置畫出來,結果發現P點可以靠近A點,另一種是靠近B點,因此滿足條件的P點位置有兩個.”另一名學生又說道:“我第一時間想到的是使用對應邊比值相等,計算AP的長度,這樣就可以確定P點的個數了.”還有一名學生表示:“我覺得他們兩個說的并不對,應該先確定相似三角形的對應點,然后再使用對應邊比值相等的規律,完成計算,這樣可以解出AP有幾個值,AP的值有幾個就說明P點有幾個.”學生們在問題討論中,實現了思維的交流,解題思路也在不斷的討論中變得更加清晰.學生從中發現分類討論的解題方法,實現了數學思想的主動建構.

2.3 在解題中適時點撥,提升數學解題能力

數學知識本身具備較強的抽象性,數學問題的解答更是對學生的邏輯思維有著較高的要求.在初中數學解題教學中,教師可以通過習題訓練的方式,培養學生使用分類討論思想解決問題的自覺性,當學生遇到難以解決的問題時,通過教師的適時點撥,讓學生產生撥開云霧見明月的感受,在解題中領會分類討論的應用價值,促進學生數學解題能力的提升.

如在含有絕對值的代數式化簡教學之后,我們發現許多學生在去絕對值符號中存在一定的困難,比如,在對|a-1|+|b+1|+|a-b|,(a

2.4 在練習中不斷鞏固,靈活使用數學思想

在數學解題教學中發現,學生在習題解答中無法順利完成的習題,經過教師的講解后看似聽懂了,但是在相似的或者是相同類型習題出現的時候,又重新陷入了解題困境中,究其原因在于學生缺少習題的訓練,無法在數學問題解答中做到靈活地運用.為了避免學生在解題中出現分類討論思想使用生澀、不熟練的情況,教師應注重合理進行習題訓練,一方面避免學生遺忘,另一方面達到鞏固與提升的作用.

如在角的分類討論內容教學之后,教師給學生布置了這樣的課后作業:“在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射線OM、ON分別平分∠AOB、∠BOC,求∠MON的大小.”通過課后作業,將分類討論思想的教學進行了進一步的延伸,也給學生提供了更多的思考時間,學生們在課后的習題解答中,會自覺地聯系課堂學習中的內容,主動從分類討論的視角出發,尋找習題解答中的不確定因素,發現這道題中的不確定因素是∠BOC的位置,因此可以從這個角度開展分類討論,即對射線OC在∠AOB內、射線OC在∠AOB外兩種情況進行討論,經過對兩種不同情況的討論、計算,發現射線OC在∠AOB內、∠AOB外的兩種情況下,∠MON的角度分別為20°、50°.經過課后習題訓練,可以促進初中生對分類討論思想的進一步理解,提升學生的分類討論思想應用能力,并從中不斷地積累解題經驗,提升學習效果.

總之,分類討論思想在解題教學中的運用,可以幫助學生找到關鍵的解題思路,促使其掌握重要的數學思想方法,在問題解決中提升思維邏輯性、縝密性,進而鍛煉學生的數學思維能力.由此可見,分類討論思想對于提升學生數學問題解決能力有著重要的作用,因此,教師應把解題教學與分類討論思想融合,優化教學指導方式,提升初中數學解題教學質量.