概念是怎樣開花的
——以“一次函數”為例

南京師范大學附屬中學樹人學校 劉密貴

概念是數學邏輯的基礎，是學生認知數學的起點.在初中數學的課型中，概念教學往往難度較大.如何突破這個教學難點呢？

卜以樓老師指出，數學概念教學，要重視概念的生長過程，生長過程源于概念產生的事實背景.所以，教師要選擇適切的問題情境，引導學生親歷建立數學概念的思維之路，領悟數學概念形成、生長之魅力[1].

受此啟迪，筆者以蘇科版八年級上冊“ 一次函數(第1課時)”為例，進行了實踐和思考.

1定位與設計

1.1 教學內容

在初中階段，學生會學習一次函數、反比例函數、二次函數，這三種函數都是基于代數式的結構來定義的.《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出“教師應把握數與式的整體性”[2]，這個整體性完全可以延伸到函數的教學中.

筆者將本節內容設置為“舉出不同的函數實例，根據表達式的結構初步認識不同種類的函數；初步認識一次函數(正比例函數)”，引導學生從宏觀的角度鳥瞰初中階段的函數全貌.

1.2 主問題串設計

(1)你能發現身邊的函數嗎？

(2)你能找到結構不同的函數嗎？

(3)根據表達式的結構，將以上函數分類.

(4)哪些函數是一次函數(正比例函數)？

2 實踐與說明

2.1 身邊的函數

問題1我們班共29人，有1位同學缺勤，實到28人.這里其實就蘊涵著函數關系，你發現了嗎？

師生活動：

生1：如果缺勤的同學有x人，實到y人，那么①y=29-x.

師：y是x的函數嗎？為什么？

生2：是的，因為對x的每個值，y都有唯一的值與它對應.

師：很好！另外，該函數源于實際，還應確定自變量的取值范圍，這里的x可以取哪些值呢？

生3：x是一個正整數，并且1≤x≤29.

說明：該實例是貼近學生實際的一次函數，學生容易理解和接受.一次函數是函數的外延，從實例出發，感受實例中函數的特征是形成概念的必經之路.

問題2我們的身邊有形形色色的函數，你能再舉出一個函數的實例嗎？

師生活動：學生舉出函數的實例，并說出表達式，老師板書并引導學生繼續思考.

生4：一個水池原來有水50 m3，如果放水速度是5 m3/h，且放水xh后還有ym3.那么②y=50-5x.

生5：汽車油箱里有40 L汽油，行駛過程中每小時耗油2 L，如果行駛xh后油箱里剩余yL油，那么③y=40-2x.

師：請看①～③式，怎么感覺它們非常像？

生6：它們都是一個總量減去x的倍數.

師：難怪這么像，結構都一樣！那么大家能舉出和它們結構不同的函數嗎？

說明：教師沒有給出材料而是讓學生自主發現，這樣做是為了真實呈現學生的理解水平.看到學生舉例的辦法是換情境，教師指出以上函數的“同”，引發學生對“不同”的追索.

2.2 不同的函數表達式

問題3繼續舉出函數的實例，要求函數表達式的結構與以上不同.

師生活動：學生舉例，老師板書并引導生思考.

生7：一顆小樹高60 cm，假設它每年長高10 cm，如果x年后小樹高為ycm，那么④y=60+10x.

師：哦，有變化了！從“減”到“加”了！不過它們的結構仍可以看作是相同的，大家試著從代數式的類型來看一看.

生8：29-x，50-25x，40-2x，60+10x都是多項式，并且都是一次二項式.

師：有沒有函數的表達式不是一次二項式呢？

(課堂陷入了沉默中.)

師：想不出來不著急，我們一起來看個例子.(教師畫出兩個邊長為x的正方形.)

師：第1個正方形，若y是它的周長，那么……

生：⑤y=4x.

師：在第2個正方形中，若y是它的……

生：若y是它的面積，那么⑥y=x2.

看到不同的代數式了嗎？再想一想，試一試.

說明：什么是表達式的結構？學生剛開始的認識比較模糊，通過教師指明“代數式的類型”，學生對“結構”的認識開始明晰.由于生活經驗不足，學生很難想到不同的實例.教師的舉例讓學生轉變視角，從單薄的生活現實回歸到熟悉的數學現實中.

生9：一個棱長為x的正方體，它的體積是y，那么⑦y=x3.

師：大家很棒！以上例子幾乎已經涵蓋了初中階段所有可能出現的函數.

2.3 不同種類的函數

問題4觀察我們剛才寫出的10個函數，根據代數式的類型，你能給它們分類并命名嗎？

①y=29-x； ②y=50-25x；

③y=40-2x； ④y=60+10x；

⑤y=4x； ⑥y=x2；

師生活動：教師請學生在黑板上寫出代數式的分類圖(圖1)，學生自行嘗試.教師巡視發現多數學生能依據代數式類型對10個函數進行簡單分類，少數學生能類比圖1畫出圖2.

圖1

圖2

學生普遍認為⑩是分式函數，⑧⑨是無理函數，多數學生認為⑤～⑦是單項式函數，①～④都是多項式函數.在此基礎上，學生進行了如下討論.

討論1：

生13：剛才我們說①～④都中代數式都是一次二項式，整式既有項數(單項式項數是1)又有次數，所以只根據項數分類是不全面的，還可以按式子的次數分類，比如①～⑤都是一次函數，⑥是二次函數，⑦是三次函數.

生14：還可以根據次數、項數兩個標準交叉分類，比如⑤是一次一項函數，①～④都是一次二項函數，⑥是二次一項函數.

討論2：

師：發現得好！這告訴我們，將表達式化簡到底，才能看到它的真面目.

綜上，可將函數①～⑧的歸類整理成下表1.

表1

說明：這個環節中還隱藏著一個問題，那就是對整式函數的劃分，項數和次數哪個更重要.

2.4 一次函數

師生活動：通過閱讀補充材料，學生知道正比例函數的命名來自小學階段“正比例關系”.在定義的基礎上，學生體會兩種函數的關系，并舉出一些不同的一次函數例子.

問題5正比例函數和一次函數二者之間有什么關系？我們學習過類似的關系嗎？

生16：正比例函數是特殊的一次函數.

生17：像這樣的特殊與一般的關系還有很多，比如，正方形是特殊的長方形，整數是特殊的有理數，有理數是特殊的實數……

問題6我們已經舉了很多一次函數的例子，你覺得一次函數能舉得完嗎？

生18：舉不完.因為系數、常數是無窮無盡的.

師：可以用什么代表無窮無盡、千變萬化呢？

生：字母！

師：對，字母表示數！誰來試試看？

生19：y=ax+b(a，b為常數，a≠0).(括號是在其他學生提示下加的.)

師：由于正比例函數中的自變量系數又叫做比例系數，常用k表示.于是約定：

定義2一般地，形如y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的函數叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數.

特別地，當b=0時，y=kx(k為常數，k≠0))，y叫做x的正比例函數.

例1表2中，y是x的一次函數嗎？是正比例函數嗎？如果是，指出k和b的值；如果不是，指出函數的類型.

表2

師生活動：教師引導學生總結要先把一次函數寫成一般形式后再確定k和b的值.

例2已知一次函數y=-2x+3.

(1)當x為何值時，y=0？

(2)當x為何值時，y>2？

師生活動：教師引導學生發現當y的值確定時，實際上得到了關于x的一元一次方程、一元一次不等式，學生初步體會方程、不等式、函數之間是可以互相轉化的.

2.5 結語

師：今天這節課拉開了豐富多彩的函數世界的帷幕，我們會從一次函數開始踏上認識函數、理解函數、應用函數的征程.

3 反思與提煉

數學概念不但是數學認知的基礎，還是積累數學活動經驗的載體，為培養學生“三會”提供了得天獨厚的思維平臺.概念教學不僅是教學任務，還是教學機遇.

3.1 概念形成需要多元化的實例——真

概念的形成常始于從實例抽象，而限于篇幅，教材中往往給出的都是符合概念的完美例子.在概念教學中，應該鼓勵學生舉出多元化的例子，學生在對比和沖突中自發摒棄不完美的例子，從而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模樣.事實上，這指向了學生概念學習的一個重要要素——“真”.

3.2 概念形成要回歸到概念體系中去——貫與破

數學概念之間有嚴密、精確的關聯，任何一個概念總是概念體系中的一點，它們不是孤立、憑空而生的，新概念的形成往往既有“一以貫之”(合理性)，又有“破而后立”(必要性).

“貫”是內部和諧，“破”是外部需求，回到概念體系中認識貫與破，恰是概念教學的核心任務.

“貫”是繼承，“破”是創造，其實哪個概念的形成不是貫與破的共舞呢！

3.3 概念形成不妨兼顧周邊概念——窮

函數的外延不止有一次函數，還有反比例函數、二次函數等.在學習一次函數概念時，由于出現了不同類型的實例，因此完全可以順勢而為，窮盡不同的同級概念.本節課中，同級概念的提出，不但無損于一次函數概念的形成，反而通過對比強化了彼此的理解.

在概念形成的過程中，“真”是土壤，“窮”是花園，“貫、破”是陽光雨露，萌發的是學生思維之芽，綻放的是學生思維之花，結出的是學生思維之果，而教師在這個生長過程中，只需培土、澆水、維護，是一個護花使者.

進一步看，“真”指向以生為本的人文教育觀念，“貫、破”指向數學教學特有的結構意識，為教學提供了生長視角，“窮”指向無限可能的生長課堂.

概念是這樣開花的，開花的不止是概念，還有學生思考的心靈.