因式分解法在解題中的運用技巧

江蘇省如東縣賓山初級中學 徐維東

“因式分解”是初中數學的重點內容，學生在八年級上學期學過“提公因式法、公式法”等因式分解方法.將一個多項式變為幾個整式的乘積，各個因式的次數不會超過原有多項式的次數，這樣可以達到“降次”的目的；經過分解因式，一些多項式的特點顯露得更加明顯，彼此間的關系就容易找到，多項式所隱含的性質也就明確化了；因式分解有利于降次、消元，以及把握多項式的特性，能夠達到“化繁為簡、化難為易”的目的.由于因式分解具有這些特點與優點，因此，“因式分解”作為一種數學方法，與其他一些常規的解題方法相比，顯得更加簡捷、靈活，獨樹一幟，在解題中具有極大的優越性[1].下面通過典型實例的解析，來學習和掌握因式分解法在代數、幾何解題中的一些運用技巧.

1 在多項式整除中的應用

因式分解可以把一個多項式化為幾個整式的乘積形式，根據這個特點，我們可以運用因式分解法，巧妙快捷地解決多項式的整除類問題.

例1已知多項式6x2+7x+k能被2x+1整除，求k的值.

解：由題意知，多項式6x2+7x+k分解后含有因式2x+1，則可設

6x2+7x+k=(2x+1)(3x+m).

由(2x+1)(3x+m)=6x2+(2m+3)x+m，得2m+3=7，m=k.故k=m=2.

方法與技巧：本題根據“多項式能被2x+1整除，就肯定含有因式2x+1”這個性質，運用待定系數法，根據恒等式的定義來求k的值，其中最關鍵的還是運用了因式分解的思想與方法.

例2證明:當n取任意自然數時，數2n3+3n2+n是6的倍數.

證明：2n3+3n2+n=n(2n2+3n+1)=n(n+1)·(2n+1)

因為n(n+1)是兩個連續自然數的乘積，所以能被2整除，故原數能被2整除；

綜上，對于任意自然數n，2n3+3n2+n是6的倍數.

方法與技巧：要證明數2n3+3n2+n是6的倍數，只需證明該數既能被2整除，又能被3整除即可，因此可采用分解因式法證明.

2 在代數式恒等變形中的應用

對于代數式的化簡、求值、證明等問題，通常要進行代數式的變形，在變形過程中，因式分解法發揮著重要的作用.

例3計算

方法與技巧：本題如果直接計算，顯然非常麻煩，如果運用因式分解法就會簡捷多了.觀察原式，首先將其變形，這時我們發現每個括號都有x2+4的形式，于是先對x2+4進行因式分解，按照x2+4=(x2+2)2-4x2=(x2-2x+2)(x2+2x+2)=[(x-1)2+1][(x+1)2+1]的形式一直分解下去，最后即可得出結果.本題的技巧實際上就是運用因式分解法逐步化簡.

解：因為a是方程x2-3x+1=0的根，所以a2-3a+1=0，即a2+1=3a.

方法與技巧：按照常規的解題思路，首先想到的是解方程求出a的值，再代入分式中計算，但這樣的運算十分繁瑣.如果采用因式分解法，先將所求分式的分子因式分解，并注意到a2-3a+1=0這個條件，這樣計算就簡捷得多了.

3 在解方程中的應用

因式分解法在解方程中，尤其是在一些能夠化為一元二次方程的求解中，具有極大的便捷性.

例5解方程：

解法1：將原方程進行因式分解，可化為

方法與技巧：看到這個方程，我們首先想到的就是可否對左式進行因式分解.解法1最簡捷，對于因式分解法運用熟練的學生來說能夠想到；解法2的思路有點新奇，愛動腦筋的同學可能會這樣思考.

例6解方程：(x2+2x)2-14(x2+2x)-15=0.

解：設y=x2+2x，則原方程可變形為

y2-14y-15=0.

將其分解因式為(y-15)(y+1)=0 ，解之，得y1=15，y2=-1.

由y1=15，得x2+2x=15，即x2+2x-15=0

分解因式為(x+5)(x-3)=0，解得x1=-5，x2=3.

同理，由y2=-1 ，得x2+2x+1=0.分解因式為(x+1)2=0,解之，得x3=x4=-1.

故原方程的解為x1=-5，x2=3，x3=x4=-1.

方法與技巧：本題通過另設未知數進行代換的方法，把原來的四次方程轉化為一元二次方程，然后通過兩次因式分解使得一元二次方程輕松獲解.

圖1

4 在幾何中的應用

有些幾何問題，在證明及計算中經常要用到因式分解法，還有些幾何問題本身就可以轉化為分解因式的問題.

例7在四邊形ABCD中，BN⊥AD，CQ⊥AD，BN=5，CQ=6，AQ=8，ND=10,求四邊形ABCD的面積S.

方法與技巧：本題靈活地運用了因式分解法，從第二步開始先分組，再提取公因式，一步步將未知線段轉化為已知線段，最后利用三角形面積公式順利求解.

例8已知三角形的三邊a，b，c滿足如下關系：a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0.試求最大角的度數.

因為b>0，所以a>3.

所以最大邊為c，于是

所以，∠C=120°為所求最大角.

方法與技巧：本題看似一個求角度的幾何題，實際上是一道綜合題，求解時需要運用包括因式分解法在內的幾種運算技巧.要求最大角的度數，必須首先確定哪個角最大，而題設的兩個條件提供了邊與邊之間的關系，是確定最大角的突破口.由于恰當地運用了因式分解法，因此運算過程變得簡潔明快.

綜上所述，運用因式分解法解題，方法靈活，實用性強，也有很強的技巧性[2].學習和熟練掌握這些方法與技巧，有助于激活學生的思維能力，拓寬解題思路，不斷提高綜合解題能力.