基于綜合難度模型的“立體幾何”試題難度分析
——以2017-2022年高考理科數學全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷為例

嚴 瑾 夏世嬌 吳仁芳

一、問題的提出

隨著時代的不斷發展，我國高考試卷呈現出從多樣化發展到統一化回歸的趨勢[1]。為落實高考改革總體要求，新高考試卷成為各省市教師和學者研究的重點，其中試題難度的分析又是研究中的熱點。

綜合難度模型是研究試卷綜合難度的重要工具之一。該模型由學者Nohara 于2001 年建立，首次提出了“總體難度”的概念，將總體難度劃分為“實際背景”“問題擴展”“運算水平”“推理過程”4個部分。我國學者鮑建生在總體難度的基礎上構建了數學課程綜合難度系數模型[2]；隨后，研究者們在該模型的基礎上，提出了多種課程難度模型和實驗難度模型[3-5]。這些模型較好地刻畫了課程難度和實驗難度，但由于分析對象不同，這些難度模型無法直接適用于中高考測試。武小鵬在鮑建生等人的綜合難度系數模型的基礎上，分析并結合中高考特點，構建了基于測試項目的綜合難度系數模型。這一模型改進了以往綜合難度系數模型中權重的計算方式，由直接相加轉變為利用AHP 理論進行計算，一定程度上避免了主觀因素的影響，更加貼近實際情況[6]。

綜觀已有文獻，少有針對某個知識單元進行高考數學試題難度的探討。“立體幾何”單元在高考試題中的分值比重較大，在培養學生數學學科核心素養，尤其是直觀想象、邏輯推理上發揮著重要的作用，對其進行難度分析是必要的。為此，基于武小鵬改進的綜合難度模型，本文對“立體幾何”單元試題進行難度分析。

需要指出的是，3+3模式目前正在全國高考試點推進，2021 年新高考數學全國Ⅰ卷也正式出臺。對比2020、2021、2022 年高考試卷，為便于對試題難度應用綜合難度模型，研究將傳統的全國Ⅰ卷對應到新高考Ⅰ卷，將傳統的全國Ⅱ卷對應至全國Ⅱ卷，全國Ⅲ卷對應至全國甲卷，具體如表1所示：

表1 高考試卷省份統計表

本文將分析各卷“立體幾何”試題的難度特點及差異，以期為“立體幾何”知識單元的命題和教學提供參考。

二、研究設計

（一）研究對象

選取近六年全國卷高考數學理科Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷一共18 套試卷“立體幾何”知識單元涉及的試題，其中解答題將1、2小問拆開成2道題分別統計，具體樣本統計如表2所示：

表2 2017-2022全國高考試卷中立體幾何試題統計

由表2 可見，“立體幾何”試題總體數量上穩定，每種題型的波動不大。考查方式傾向于選擇題和解答題，填空題出現較少。分值在17-22 分上下波動。重點圍繞三視圖、表面積、棱錐棱柱體積、線面之間的位置關系、線線角和線面角以及二面角的正弦/余弦值。要更深層次地了解“立體幾何”試題難度，需要做進一步的難度分析。

（二）研究方法

1.“立體幾何”綜合難度模型的建立

武小鵬團隊的綜合難度模型由背景因素、參數水平、運算水平、推理能力、知識含量、解題的思維方式、認知水平7 個難度因素組成，對整張測試卷的整體難度進行分析，“立體幾何”單元作為試卷的一部分，其知識結構與其他單元存在差異，因此考慮對模型的影響因素進行修改。

綜觀近年關于“立體幾何”單元的研究，以及《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》對于試題命制的要求，初步確定增加條件含量、字符閱讀量、條件是否模糊、解決方案多樣性、結果開放性這5 個難度因素。根據與數學教育教學專家、一線教師的交流研討，發現立體幾何中的概念，主要包括關于位置的概念和形狀的概念，要確定立體圖形的位置與形狀，需要學生弄清條件關系，根據已有條件從二維平面上分析三維圖形特征，應當對條件因素予以保留；閱讀障礙不利于學生在規定時間內提取和處理信息，增加字符閱讀量這個條件是必要的；條件是否模糊、解決方案多樣性、結果開放性這三個因素涉及結構不良問題，結構不良問題對于學生能力考查的層次很高，在近六年高考卷中鮮少出現，缺乏難度對比的樣本，也無從比較差異性，因此不宜放入綜合難度模型中。

由此，“立體幾何“綜合難度系數模型的影響因素確定為背景因素、參數水平、運算水平、推理能力、知識含量、解題的思維方式、認知水平、條件含量及字符閱讀量9 個因素，其水平劃分與內涵如表3所示：

表3 “立體幾何”綜合難度系數模型結構與內涵

綜合難度系數模型是對九個因素和因素內各個水平進行合理加權，整合成綜合指標的過程。因素的難度系數為：

（1）[7]

整套試題的總綜合難度系數為：

（2）[8]

符號意義如表4所示：

表4 公式（1）符號意義

首先確定各個因素的權重。立體幾何單元各個因素的數據幾乎無波動性，數據間相關關系不明顯，而且富有明顯的數字大小的信息特征，適宜選取AHP層次分析法來確定各個因素權重。利用層次分析法確定權重的步驟如下[9]：

（1）構造判斷矩陣

對9 個因素指標進行重要程度的排序，量化標準如表5所示：

表5 指標之間比較量化規定

根據以上評分標準確定判斷矩陣A，aij表示第i個指標相對于第j個指標得到的量化值。

（2）計算九個因素的權重（因素內各水平的權重系數確定方法同上）

其中，λmax表示判斷矩陣的最大特征值，RI為隨機一致性指標，RI的取值表見表6。

表6 RI取值

當CR<0.1，可認為矩陣A具有一致性。

2. 綜合難度模型中各難度系數的構建

使用專家評審法構建判斷矩陣。專家組由11人組成，其中3 人是數學教育方向的碩士研究生導師，2 人是從事基礎數學研究的碩士生導師，2 人是具有多年教學經驗的一線高中教師，2名課程與教學論方向的碩士研究生，2名數學教育方向的碩士研究生，通過專家組的評判得到評分標度數據。

（1）各因素的權重系數計算

依據上述計算方法，通過對11 位教師計算的結果求平均找近似的方法得到如表7的數據。

表7 各因素標度值

不同因素的判斷矩陣A為：

依據判斷矩陣A得到向量

進一步得到9 個因素的權重系數ki=（0.23，0.40，0.73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），經一致性檢驗，CR=0.0563<0.1，該結果具有較好的一致性。

根據專家對不同水平的評判結果，得到不同水平權重系數計算信息表，如表8所示：

表8 各因素不同水平權重系數計算信息表

因素知識含量解題的思維方式認知水平條件含量字符閱讀量代碼e12 e13 e23 f12 g12 g13 g23 h13 0.81 i12 0.29 0.27 0.22 0.33 0.23 0.26 0.39 0.29 0.25平均值0.65 0.72 0.38近似值1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 1/5 i13 1/3 h23 1 1 1/3 1/5 1/5 1■1■■1 h12 1 3■1 5■■■■■1 5 1 5 1■ ■■■■1 3 A 1 3 3 1■■■■■■■■( )1 3■■■■■■■■1 1 3■■■■■■■1 3 1■■■■1 5 1 1 1 3 1 1■■■■5■■ ■i23■3 1■5 1■■5 3 1 5 1■ ■3 1 1 3 1 1■ ■Ai 1/15 15 1/5 1/25 1 2/3 1 15 1/9 3 3 1/3 1 3 0.61 0.64 0.14 0.10 0.43 0.26 0.25 0.75 0.43 0.22 0.09 0.32 ai 0.46 k52 k61 k53 k51 k62權重編碼k72 k91 k92 k93 0.50 k71 5 0.30 k73 k81 0.90 1.92 0.78權重1.50 k82 0.27 1.83 1.29 0.42 1 1 k83 0.30 1.29 0.66 0.96 1.38

經一致性檢驗，CR1=0.0121，CR2=0.0331，CR3=0.0121，CR4=0.0331，CR5=0.0331，CR6=0.0000，CR7=0.0612，CR8=0.0000，CR9=0.0868。CRi<0.1，不同水平的權重系數之間存在較好的一致性。

（2）模型數據的收集與分析

邀請6 名數學教育碩士依據模型結構，對18 套試卷中“立體幾何”題目進行分類編碼，并邀請2 名一線數學教師對其分析的結果進行一致性檢驗。在處理解答題第二問的條件含量時，如果第一、第二小問無關聯，只計算第二問和題干的條件；如果第一問的條件對第二問有影響，則加上第一問的條件。類似地，在計算第二問的字符閱讀量時，如果第一、第二小問無關聯，只計算第二問和題干的字符閱讀量，否則加上第一問的字符閱讀量。以例1為例，編碼如下：

例題 1：（2022 新高考 I 卷選擇題第 4 題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。已知該水庫水位為海拔148.5m 時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m 時，相應水面的面積為180.0km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m 上升到157.5m 時，增加的水量約為

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

此題難度水平如下：生活背景（以南水北調工程為背景）；沒有參數；復雜數值計算（運算水平相對提高）；簡單推理（要求簡單分析海拔變化和增加的水量之間的體積關系）；少量知識含量；順向思維；運用識記水平（要求學習者運用棱臺體積公式）；三個以及以上條件含量（本題可以使用的條件有：水庫水位的海拔高度、水面的面積、海拔高度變化）；大量字符閱讀量。

（3）統計結果

統計編碼結果得表9：

表9 近六年高考數學（理科）全國卷“立體幾何”試題綜合統計

依據9 個因素的權重系數，即（0.23，0.40，0，73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），以及上述表格結果，利用公式2計算每套試卷的綜合難度系數。

三、研究結果

（一）各因素不同水平對比

圖1 各因素不同水平對比折線圖

（二）綜合難度對比

將所收集數據代入模型計算，得出各因素綜合難度系數di，匯總為下表：

進一步計算得到全國Ⅰ卷的綜合難度系數為8.17，全國Ⅱ卷的綜合難度系數為7.80，全國Ⅲ卷的綜合難度系數為7.34。全國Ⅰ卷難度最大，全國Ⅱ卷次之，全國Ⅲ卷難度最小，這符合全國高考試卷以往的命題難度。

根據表10繪制雷達圖，如圖2所示：

表10 2017-2022高考數學（理科）全國卷“立體幾何”試題各因素的難度系數

圖2 2017-2022年高考數學（理科）全國卷“立體幾何”試題綜合難度系數雷達圖

觀察雷達圖可知：

（1）影響“立體幾何”試題難度的9 個因素中，背景因素和參數水平的難度系數最小，而知識含量、解題的思維方式、字符閱讀量比背景因素和參數水平略大一些，難度系數最高的是運算水平、推理能力、條件含量和認知水平；

（2）在運算水平、知識含量2 個因素上，全國Ⅰ卷的難度與全國Ⅱ卷基本持平，高于全國Ⅲ卷；在對推理能力的考查中，全國Ⅰ、Ⅲ卷要高于Ⅱ卷；而在解題的思維方式、條件含量、參數水平這3 個因素中，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷無明顯差異，難度水平基本持平；

（3）計算全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ“立體幾何”試題9 個因素難度系數值的極差R=xmax-xmin，發現全國Ⅰ卷“立體幾何”試題各因素難度系數的極差為R1=1.18，全國Ⅱ卷的極差為R2=1.15，全國Ⅲ卷的極差為R3=0.98，說明全國Ⅲ卷“立體幾何”試題在九個因素難度上的平衡性略強于全國Ⅰ、Ⅱ卷。

四、結論及建議

（一）研究結論

1.“立體幾何”單元難度差異不顯著

從綜合難度系數上看，全國Ⅰ卷難度最大，全國Ⅱ卷次之，全國Ⅲ卷難度最小，符合全國高考試卷以往的命題難度，彼此間差異不明顯。從各因素難度水平上看，對比折線圖可知，九個難度因素各水平占比相似，難度重合度較高，但三種類型試卷所適用的地區有所不同，難度因素水平差異不明顯，不利于學生的發展。

2.“立體幾何”單元在難度上存在較為穩定的層次性

在選擇題中，若立體幾何為第1-6 的試題，基本涉及九個難度因素中較低的水平，若題號為7-10，則涉及九個難度因素中較高的水平，若題號為11-12的試題，其綜合性和技巧性明顯高于其他試題。在填空題中，若出現在13-14 題，一般為較低水平試題，題號15 為中等水平試題，題號為16 的試題則一般綜合性和技巧性較強。在解答題中，每一道立體幾何大題都設有兩問，第一問一般設置難度水平較低的試題，而第二問則會相應地增加難度。

3.“立體幾何”單元在難度上強調學習的過程性

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》強調處理好過程與結果的關系，引導學生在背景和過程中主動探究、認識建構、理解結論[10]。這一點可以從簡單數值運算水平試題較少，而推理能力、認知水平這兩個難度因素的水平相對較高上得到印證。除此之外，字符閱讀量和條件含量較高說明高考試題強調學生在解決相關問題時不僅要注意相關條件的含義，而且還要對試題中的信息進行分析、篩選、加工，進而解決相關問題，體現出數學學習的過程性。

（二）命題及教學建議

1. 對高考命題的建議

基于研究結果，對照《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中課標2020年修訂版”）相關要求，提出以下建議。

（1）增加背景因素，注重問題情境的設置

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數學試卷“立體幾何”單元試題中設置了少量含有不同背景因素的試題，但大部分試題仍然脫離情境，不利于學生應用意識的培養，也不符合高中課標2020 年修訂版對現階段高中生數學學習的要求。應當注重在不同題型中設置含有問題情境的試題，激勵學生應用學科知識探索實際生活，這對學生處理問題的能力提出了更高的要求，有利于發揮數學高考的選拔功能。

（2）適當降低運算水平和解題技巧，注重難度的均衡

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數學試卷“立體幾何”單元試題對運算水平和推理能力的要求明顯高于其他因素，過高強度的運算和高難度的推理，影響學生對整張試卷的時間安排，根據高中課標2020年修訂版的要求，應當均衡各因素難度，處理好考試時間和題目難度的關系，給學生充足的思考時間[10]。

（3）適當改變題型結構與數量，增加試題靈活性

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數學試卷“立體幾何”單元試題在總數量上完全相同，而且每種題型的題目在數量上甚至題號上都無顯著差距，盡管新高考卷與以往不同，新設置了多選題，在思維量上有所增加，但仍然接近傳統的知識考查方式。囿于命題定勢，降低了試題的靈活性，容易導致學生機械的訓練。根據高中課標2020 年修訂版的要求，可以設置一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，從而考查學生靈活應變的能力。

2. 對高中數學教學的建議

（1）注重基礎教學，重視數學本質，培養學生“四基”

高中課標2020 年修訂版重視數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（“四基”）的教學，通過對近六年高考理科數學試卷“立體幾何”部分的研究發現，運算水平、推理能力、知識含量等因素的難度系數均較高，即無論是哪種類型的試卷，都重視對學生“四基”的考查，由此可以推測“四基”仍將是高考試卷考查的核心，因此高中教師在“立體幾何”的日常教學中，不宜讓學生把過多的時間放在解決難題、怪題上，而應當注重基礎知識的教學，使學生更加深刻地理解和掌握基礎知識，讓學生在學習活動中鍛煉基本技能，獲得基本活動經驗，并通過教學設計讓學生體驗立體幾何的基本思想，體會數學的本質。要提高分析能力，理解、抽象試題中的數學關系。采取治本的策略，從根本上解決問題[11]。

（2）注重情境教學，重視數學應用，培養學生“四能”

近年來，新課程改革和相應課程標準都強調重視數學的應用，從近六年高考“立體幾何”試題中也可以看到，包含背景因素的應用型試題在逐漸增加，這有助于考查學生發現、提出問題的能力和分析、解決問題的能力（四能）。因此教師在“立體幾何”單元的教學中，應該創設一些符合生活實際的問題情境，通過教師的引導讓學生參與到情境教學中，既引發學生的學習興趣，也能發展學生的思維過程，提高學生對數學知識的應用意識。此外，還應該注意將“立體幾何”單元的知識與其他版塊知識相結合，引導學生梳理數學知識間的緊密聯系，將這些知識共同用于解決問題。

（3）注重過程教學，重視學習特點，培養學生“六大核心素養”

立體幾何內容重在對直觀想象、邏輯推理和數學運算素養的考查，突出對數學轉化、推理論證和運算求解等關鍵能力的考查[12]。而在近六年高考試卷“立體幾何”單元的試題中，僅需記住公式代入數字計算的題目也在逐漸減少，實行新高考后更是微乎其微，因此硬背公式已不再符合新高考的要求。由于學生學習數學知識具有過程性，其對于數學知識從認識到理解、掌握、應用不能一蹴而就，而是一個循序漸進的過程，因此切不可直接將知識呈現在學生面前讓其記住，而應讓學生在思考的過程中實現對定義、定理以及公式的理解與應用，同時獲得核心素養的發展。