基于結構化“數(shù)的運算”單元整體教學實踐研究

王銳利

［摘 要］《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”兩個主題整合為“數(shù)與運算”主題，凸顯了數(shù)學學科內(nèi)容的整體性和結構性，也更好地體現(xiàn)了學科本質，強化了數(shù)的運算與數(shù)的概念的一致性。作為“數(shù)與運算”主題內(nèi)容的子主題，“數(shù)的運算”單元整體教學不僅需要遵循“概念本質和算法的一致性”“基本活動經(jīng)驗的一致性”和“數(shù)學思維方式及其抽象水平的一致性”三個原則，還需要依次具體落實“從結構化主題提煉大概念”“明確單元學習目標和學習評價體系”“確定單元關鍵問題”和“設計單元學習任務序列”四個步驟。

［關鍵詞］數(shù)；運算；一致性；單元整體教學

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）35-0029-05

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年課程標準》）延續(xù)了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年課程標準》）對領域的分類，仍為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四個領域。在“數(shù)與代數(shù)”領域，《2022年課程標準》將《2011年課程標準》的“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”兩個主題整合為“數(shù)與運算”主題，這樣“數(shù)的運算”就從之前的單獨主題調(diào)整為“數(shù)與運算”主題中的子主題。

加、減、乘、除四則運算是義務教育數(shù)學課程內(nèi)容的重要組成部分，承擔著培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的育人價值，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)感、運算能力和推理意識。以北師大版教材編排為例，教材對“數(shù)的運算”的編排常以自然單元呈現(xiàn)。例如，100以內(nèi)的整數(shù)加減法就是分為6個相互銜接的單元，編排在一年級上、下兩冊教材中。

那么，在組織“數(shù)的運算”單元教學時，教師要如何凸顯“數(shù)與運算”主題的結構化特征，從而實施“數(shù)的運算”單元整體教學呢？

一、從“數(shù)與運算”主題整合的視角分析“數(shù)的運算”

“數(shù)與運算”包括整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的認識及相應的加、減、乘、除四則運算。學生對整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的認識主要依托生活情境，并由此理解數(shù)的意義。數(shù)的運算需要以數(shù)的意義、運算的意義和運算律為基礎。

1.結構化視角“研究對象+”的內(nèi)涵與價值

將“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”整合為一個主題，可以凸顯兩者的緊密性。數(shù)的運算是在數(shù)的認識基礎上的結構化表達，形式上是基于抽象的結構，可以表述為“研究對象+”。其中，“研究對象”可理解為數(shù)的概念，也就是整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)。基于研究對象的“+”則指的是整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)各自的意義、性質、四則運算方法和混合運算方法，以及它們之間的聯(lián)系。史寧中教授認為，這樣的主題調(diào)整可使相同學科本質的內(nèi)容更具結構化，凸顯學科核心內(nèi)容的穩(wěn)定性，強化內(nèi)容的整體性和結構性，體現(xiàn)學科內(nèi)容本質。

2.數(shù)的概念與運算的一致性

《2022年課程標準》指出：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”數(shù)的運算的重點在于理解算理、掌握算法，算法是對算理的抽象概括，對算理的理解最終都要追溯到數(shù)的意義和運算的意義上。

二、“數(shù)的運算”單元整體教學的原則

1.概念本質和算法的一致性

“數(shù)的運算”自然單元教材的編排是基于相同研究對象結構化的呈現(xiàn)，隱含數(shù)的概念的一致性：同一單元課時均聚焦于相同的研究對象，前后課時關于運算的方法也存在一致性。

例如，一年級下冊“加與減（三）”單元中，學生主要學習兩位數(shù)的進位加法和退位減法，解決“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法（28+4）”“兩位數(shù)加兩位數(shù)的進位加法（38+17）”“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法（30-7）”和“兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法（40-28）”四個問題。學生在探索解決第一個問題“28+4”的過程中，逐步明白其算理是將相同數(shù)位上的計數(shù)單位相加，即兩位數(shù)“28”十位上的數(shù)字“2”不變，只需將個位上的數(shù)字“8”和“4”相加得12，滿十進一，結果為32。教師強調(diào)“相同的計數(shù)單位相加”和“滿十進一”的意義，有助于學生進一步探索解決“38+17”“30-7”和“40-28”三個問題。

2.基本活動經(jīng)驗的一致性

數(shù)學活動經(jīng)驗是學生在探索與學習活動中所形成的感性意識和個性化感受。學習活動經(jīng)驗有助于學生探索算理并提煉算法，是學生個性化理解算理、掌握算法的基礎。教師在設計“數(shù)的運算”單元整體教學時，要充分考慮單元內(nèi)活動經(jīng)驗的可遷移性和一致性。

例如，三年級下冊“除法”單元中，學生要學習并掌握兩位數(shù)、三位數(shù)除以一位數(shù)的計算方法，依次解決“兩位數(shù)除以一位數(shù)”“三位數(shù)除以一位數(shù)、商是三位數(shù)（包括被除數(shù)中沒有0和有0的情況）”“三位數(shù)除以一位數(shù)、商是兩位數(shù)”和“除法的驗算”等問題。分析本單元的知識結構，筆者發(fā)現(xiàn)在第一課時“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的探索活動中，教材借助實物圖、小棒、除法豎式等多樣化表征“平均分物”的過程，使學生積累了用不同抽象水平的方式解決平均分問題的經(jīng)驗，掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法，也為繼續(xù)學習其他平均分問題和包含除問題奠定了經(jīng)驗基礎。通過遷移、類比兩位數(shù)除以一位數(shù)的直觀操作經(jīng)驗或者抽象的算式表達方式來解決更復雜的平均分問題和包含除問題，凸顯了學生對該單元認知經(jīng)驗的一致性，有助于學生構建結構化的單元知識體系。

3.數(shù)學思維方式及其抽象水平的一致性

數(shù)學在培養(yǎng)人的思維方面有著不可替代的作用，在不同領域和主題中都有相應的思維方式，不同的思維方式之間呈現(xiàn)不同層級的抽象水平。通常，同樣的思維方式會在同一個“數(shù)的運算”單元中反復出現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學思維方式的一致性。

例如，四年級下冊“小數(shù)的意義和加減法”單元中，學生先學習小數(shù)的意義，再探索小數(shù)加減法運算（1.25+2.41）。教師要怎樣引導學生理解算理、概括算法，感悟“小數(shù)加減法計算中小數(shù)點要對齊”的道理呢？在經(jīng)歷借助“元、角、分模型”等實物表示小數(shù)—脫離實物借助面積模型理解小數(shù)—用小數(shù)的計數(shù)單位理解小數(shù)的意義三個過程后，學生可能出現(xiàn)三種抽象水平的思維方式：一是仍然借助“元、角、分模型”，將相同面值的人民幣擺放在一起，得到計算結果；二是借助面積模型“百格圖”表示小數(shù)1.25和2.41，直觀表征小數(shù)的意義，進而得出計算結果；三是根據(jù)小數(shù)的概念，通過相同計數(shù)單位相加來嘗試兩位小數(shù)的加減法豎式計算。本單元在解決兩位小數(shù)進位加法和退位減法計算問題時，將繼續(xù)遷移使用相同抽象水平的思維方式。

三、基于結構化的“數(shù)的運算”單元整體教學實施步驟

指向學科核心素養(yǎng)的單元整體教學設計應按單元整體教學模型指導教學。邵朝友教授和崔允漷教授認為，實施大觀念統(tǒng)領下的單元整體教學包括“確定核心素養(yǎng)”“確定大觀念等既有目標”“形成一致性目標體系”“設計單元評價方法”和“圍繞主要問題創(chuàng)設學習活動”五個關鍵行動。馬云鵬教授深刻分析了基于主題的大單元整體教學，認為基于主題的大單元整體教學有“提煉核心概念，形成系列單元”“整體分析單元學習內(nèi)容和學生學習，確定學習目標”和“針對關鍵內(nèi)容，設計體現(xiàn)知識與方法遷移的單元整體教學活動”三個關鍵要素，這里的核心概念也就是數(shù)學大概念。張丹教授和于國文教研員則提煉出了具體的實施流程（如圖1），他們認為在數(shù)學大概念統(tǒng)領下實施促進理解與遷移的單元整體教學需依照教學模型。

分析發(fā)現(xiàn)，許多專家均將單元教學方案設計聚焦在“確定學科核心素養(yǎng)”“確定大概念”“明確單元學習目標”“形成單元關鍵問題”“設計系列單元學習任務”和“設計匹配的單元體系”等重要元素上。

1.從結構化主題提煉大概念

提煉核心大概念是實施單元整體教學的關鍵。如何提煉大概念是一直以來困擾教師的現(xiàn)實問題，究其原因是國內(nèi)外關于大概念的本質與內(nèi)涵的理解未達成一致，具體可以從“學科本質”“專家思維”“生活價值”“高通路的遷移”等不同方面進行闡述。

為便于小學數(shù)學教師提煉大概念，實施單元整體教學，馬云鵬教授建議在聚焦數(shù)學學科結構化主題內(nèi)容的前提下提煉數(shù)學大概念，這是一種更容易實踐的策略。“數(shù)的運算”是“數(shù)與運算”的重要組成內(nèi)容，是基于研究對象“數(shù)的概念”的“+”。提煉“數(shù)的運算”單元大概念需考慮數(shù)的概念本質和運算的意義。從數(shù)的概念的一致性上分析，計數(shù)單位是構建數(shù)的基礎，由計數(shù)單位理解整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的構建是關鍵；從運算的意義的一致性上分析，減法、乘法和除法都可以由加法衍生而來。由此可以得到數(shù)的概念和運算的一致性的框架（如圖2）。加、減法的一致性體現(xiàn)為相同計數(shù)單位的累加（減），乘法的一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位（計數(shù)單位上的數(shù)字）與計數(shù)單位（計數(shù)單位上的數(shù)字）相乘，除法的一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位（計數(shù)單位上的數(shù)字）與計數(shù)單位（計數(shù)單位上的數(shù)字）相除。

經(jīng)過以上分析，筆者發(fā)現(xiàn)計數(shù)單位是“數(shù)的運算”的單元大概念，延續(xù)到“分數(shù)乘法”單元，則是“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘”“計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”這兩種情況。

2.明確單元學習目標和學習評價體系

根據(jù)威金斯在《追求理解的教學設計（第二版）》的單元設計理念，以目標為導向的逆向設計是最佳的。確定單元學習目標是設計教學的前提，教師在明確單元具體目標后能更有針對性地設計單元整體教學。《2022年課程標準》將教學內(nèi)容分為“內(nèi)容標準”“評價標準”和“教學提示”三個部分，教師確定單元整體教學目標需要以此為基礎。理解為先的教學目標包括遷移目標（T目標）、理解目標（U目標）、技能目標（K目標）。“分數(shù)乘法”單元的TUK目標和具體行為表現(xiàn)如表2所示。

3.確定單元關鍵問題

單元關鍵問題指向單元具體觀念。通過關鍵問題驅動學生深度思考、開展合作與探究，是達成理解目標的關鍵途徑。大概念統(tǒng)領下的單元整體教學的開展需要教師依托單元具體觀念，提出驅動學生思考的關鍵問題。提煉單元關鍵問題可以根據(jù)實際情況，采取“于知識遷移中提煉核心問題”“于知識對比中提煉核心問題”和“于學科知識本質中提煉核心問題”等策略。

例如，在五年級下冊“分數(shù)乘法”單元中，教師可以引導學生分別從“幾個相同分數(shù)相加”和“求一個數(shù)（整數(shù)和分數(shù)兩種）的幾分之幾”兩個不同角度，探索并理解整數(shù)乘法和分數(shù)乘法的一致性。為了讓學生在對比遷移中體會“求幾個相同整數(shù)相加的和”與“求幾個相同分數(shù)相加的和”的算法一致性，教師需要提出關鍵問題：“如何求幾個相同分數(shù)相加的和。”同時為學生提供面積模型圖、方格紙等直觀學具，引導學生理解分數(shù)乘法的運算意義、算理并提煉算法。（見表3）

4.設計單元核心任務序列

學習任務是學生在關鍵問題和好奇心的驅動下，通過合作探究完成的具體學習活動。學習任務相比關鍵問題而言更加直觀，它是將學生的注意力聚焦在某一個或某一系列問題的具體數(shù)學學習活動，是形成并理解單元具體觀念的依托。學習任務具體指導學生需要學習什么，決定了他們怎么思考、發(fā)展和理解數(shù)學活動。

例如，在“分數(shù)乘法”單元中，教師要為學生創(chuàng)設問題解決和意義構建的學習任務序列（見表4），讓學生在核心問題的引領下明確思考的方向，為學生提供學習的腳手架。

根據(jù)《2022年課程標準》的理念，“數(shù)的運算”是以數(shù)的概念為研究對象的“+”，其單元整體教學更加需要注重數(shù)的概念與運算的一致性，從而凸顯“數(shù)與運算”主題知識的結構化。在實施單元整體教學時，教師要基于核心概念計數(shù)單位、運算的意義和數(shù)學思想提煉單元大概念，明確單元學習目標和評價體系，提出符合生活情境的關鍵問題及子問題，進而設計出與問題對接的學習任務序列，促使學生的學習真正發(fā)生。

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