知易行難：踐行“運算的一致性”理念過程中的困惑與思考

黃劍峰

【摘 要】分數除法是學生體悟運算一致性的關鍵內容與主要難點。本文圍繞運算教學實踐中師生遇到的困惑，闡述一些思考和建議。

【關鍵詞】分數除法 運算一致性 算理 算法

分數除法是小學階段初等運算的壓軸部分，也是學生感悟運算一致性的關鍵內容和主要難點。它的算法并不困難，困難的是如何統整“除數是整數”和“除數是分數”兩種分數除法的算理，以及厘清“顛倒相乘”與“計數單位與計數單位相除，計數單位的個數與計數單位的個數相除”這“一乘一除”兩種算法之間的關系，使學生體悟到除法運算的一致性。

一、“除數是整數”和“除數是分數”兩種除法算理表述不一致的困惑

整數除法的核心在于計數單位的細分，即在繼續除的過程中，將大的計數單位細分成小的計數單位，使計數單位的數量增加，從而能夠繼續除下去。在這個過程中，被除數被分解成不同計數單位下的若干部分，它們分別參與運算，而除數整體參與運算，沒有被分解。［1］比如144÷12的算理：144÷12=［12（十）+24（個）］÷12=［12（十）÷12］+［24（個）÷12］=1（十）+2（個）=12。我們不會也無法寫成144÷12=（12×10+24×1）÷（1×10+2×1）的形式計算。“分數除以整數”的算理與整數除法的算理是一致的，教學中并不解釋成“計數單位的個數與計數單位的個數相除，計數單位與計數單位相除”。［2］事實上直到“除數是分數”的除法出現，其算理才第一次真正需要表述為如上形式。這是因為在具體問題情境下，“一個數除以分數”的運算意義一般表示為“求被除數里包含有幾個除數（包含除）”。如教材例4：量杯里有[910]升果汁，玻璃杯的容量是[310]升，量杯里的果汁能倒滿幾杯？算理表達：[910]÷[310]=[9×110]÷[3×110]=9×[110]÷3÷[110] =（9÷3）×[110÷110]=3。學生在結合直觀圖理解算理時，需要先統一被除數和除數的分數單位，才能對計數單位個數的運算進行合理解釋。至此，學生遭遇了“除數是整數”和“除數是分數”的除法算理表述不一致的困惑。而如何幫助學生厘清這兩種表述之間的關系并統整為分數除法的通理，是體悟除法運算一致性的關鍵。

二、理解算理到底是基于運算意義還是基于數學推理的困惑

現行教材教學“除數是分數”的除法的基本思路是：先結合問題情境通過直觀表征的手段理解基于計數單位個數運算的算理，再結合學習“分數除以整數”的經驗，提出“顛倒相乘”的猜想，然后通過計算驗證的方法證明其合理性。在這“化除為乘”的過程中，學生就產生了困惑：直觀圖上明明講的是基于計數單位個數運算的除法的“理”，但是歸納出的卻是看起來“風馬牛不相及”的“顛倒相乘”的乘法的“法”。教學過程重法輕理、法理不通、邏輯不清，讓人一頭霧水。于是有學者提出，可以運用運算的法則、性質等進行復雜的演繹推理，證明“一個數除以分數等于乘這個分數的倒數”。對此，筆者的困惑是：（1）基于運算定律、性質的推“理”與基于運算意義和計數單位的算“理”是同一個理嗎？（2）演繹推理本身是一種抽象的運算過程，用它解釋算理并不需要依賴具體的問題情境，我們為何還要在具體問題情境下學習分數除法？

三、思考與建議

1.“除數是整數”和“除數是分數”的除法實際上都是基于計數單位個數的運算。只不過在不同問題情境和運算意義下，“除數是整數”的除法算理常表述為“把被除數分解為若干個計數單位后等分成除數份”。而“除數是分數”的除法算理表述為“先統一被除數和除數的計數單位，再作計數單位的個數運算”。事實上“除數是分數”的除法算理表述才是除法運算通理的標準表述形式，“除數是整數”的除法算理表述只是其中的特殊情況，是可以通過推理統整為“統一計數單位后，計數單位個數的運算”的通理。

因此，筆者認為，現行教材先教學“分數除以整數”雖能和整數除法的算理實現關聯融通，但與學生理解“除數是分數”的除法算理并無太多因果關系，而這才是分數除法運算的重點和難點，也是體現除法運算一致性的關鍵。本單元不如先教學“除數是分數”的除法，使學生理解“分數除法”與“分數加減法”一樣，都是先統一計數單位后再運算的道理，再通過推理的方式把“除數是整數”的特例統整進來。也就是說在運算一致性理念的認知邏輯下，分數除法的教學不應用“除數是整數”的老瓶來裝“除數是分數”的新酒，而應用“除數是分數”的新瓶裝“除數是整數”的老酒。

2.基于對我國古代分數除法發展的了解，筆者認為，重新設計分數除法教學內容時可先只教學“經分術”，使學生清楚理解分數除法本來的算理和算法，感悟除法運算的一致性。然后另設一課時，引導學生用數學推理的方法將“經分術”轉化為“顛倒相乘法”，將“顛倒相乘法”作為分數除法基于運算法則推理得到的一種簡便算法。這樣就既可以在“計數單位”這個核心概念統領下解釋清楚分數除法的算理算法，使學生充分體悟到運算的一致性。也使“顛倒相乘法”可以脫離具體情境的束縛，運用數學推理的方法在抽象層面進行合理解釋，發展了學生的推理意識和運算能力。具體設想如下。

第一課時，先教學例4“同分母分數除法”，結合問題情境的直觀圖，學生易于理解：同分母分數相除，因為分數單位相同，所以只要把分數單位的個數（分子）相除就行了。然后通過算式的恒等變形使學生理解，同分母分數相除，分數單位和分數單位相除，分數單位的個數與分數單位的個數相除。接著通過“試一試”教學“異分母分數除法”。引導學生明白，只要像“異分母分數加減法”那樣，把“異分母分數除法”轉化為“同分母分數除法”即可。

第二課時教學例2、例3的“整數除以分數”。比如例3的“4÷[23]”，學生借助幾何直觀容易想到，整數4就是12個[13]，即[123]，4÷[23]=[123]÷[23]=（12÷2）×[13÷13]=12÷2=6，因而又轉化為“同分母分數除法”計算。然后在“練一練”中讓學生說一說例1“分數除以整數”的算理與算法。注意，此處不建議要求學生轉化為“同分母分數除法”計算，而應用“除數是整數”的除法算理解釋。但在厘清算理的基礎上可以讓學生通過以下推理過程感悟運算的一致性。[45]÷2=[45]÷[105]=[4×15]÷[10×15]=4×[15]÷10÷[15]=4÷10×[15]÷[15]=（4÷10）×[15÷15]=[25]。

第三課時教學“顛倒相乘”算法的推理過程。此時可以脫離具體的問題情境，分類呈現分數除法、整數除法、小數除法及相應的顛倒相乘的乘法算式，使學生通過計算發現結果總是相等的規律并提出猜想，然后讓學生舉例驗證初步得出結論，再引導學生運用運算律、運算性質等進行靈活多樣的恒等變形和數學推理，最后用字母式的形式進行代數推理從而得到“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數”的一般化表達。

（作者單位：江蘇省常州市新北區安家中心小學

本專輯責任編輯：王彬）

參考文獻

［1］鞏子坤，劉萍.論數的概念與運算的一致性之三：整數運算算理、算法的一致性［J］.小學數學教師，2022（10）：77-81.

［2］鞏子坤，張丹.論數的概念與運算的一致性之四：分數運算算理、算法的一致性［J］.小學數學教師，2022（12）：85-88.