大單元視域下的初中函數結構化教學

孫 立

（山東省淄博市張店區第二中學，山東 淄博 255000）

函數是以變量的觀點研究現實世界的一種工具，是反映數量關系和變化規律的直觀模型，在數學領域具有舉足輕重的地位。根據課程標準的要求和數學學科“大概念”的思考，本文從制約函數學習的因素進行剖析，提出了有效的函數結構化教學策略。以大概念為核心，以大單元主題為引領，促進教學內容情景化，實現數學知識橫向、縱向連接，促進學生思維螺旋式上升，進一步發展學生的數學核心素養，優化初中數學課程改革。

一、制約初中生函數學習能力提升的因素

函數是初中數學一個非常重要的學習模塊，也是學習高中數學乃至高等數學的基礎，可是學生學習函數知識是比較困難的，究其原因發現制約初中生函數學習能力提升的主要因素有以下幾點：

（一）函數的概念表達抽象

函數概念的產生和發展經歷了漫長而復雜的過程，前后大概有200 年的歷史。中學數學課本對函數的概念采用變量說定義如下：一般的，在一個變化過程中有兩個變量x 和y，如果對于x 的每一個值y 都有唯一確定的值與它對應，那么我們就稱y 是x 的函數。函數的定義是抽象的，學生很難理解，如果教學時對定義不做分析直接給出，這樣會導致學生對函數的認知僅僅停留在識記層面，對函數本質的理解是很不利的。

（二）函數教學的跨度過大

以魯教版數學教材為例，函數內容分布在六年級下冊《變量之間的關系》、七年級上冊《一次函數》、九年級上冊《反比例函數》《銳角三角函數》與《二次函數》。從七年級到九年級，函數的學習中間斷開了兩年，可是難度卻上了一個大臺階，這些內容對于學生而言是模糊的、抽象的、零散的。可是教材又不可能將這些函數湊到一起呈現，畢竟每種函數所需要的知識儲備是有梯度的。這就導致學生不僅在學習函數新知時前后知識銜接困難，而且在應用函數知識解決實際問題時更加困難。

（三）學生學習的思維局限

函數是用來刻畫變量之間關系的一種工具，數學中的極值問題、動點問題、存在性問題等等，都是在變化的過程中尋找一個靜態的瞬間來解決問題，而學生看到了問題中變化的量卻往往不會想到利用函數這一工具來解決。這是由于現階段學生的函數學習重點關注的是函數的定義、函數的圖象性質，對于為什么要研究這些函數、如何去研究、從哪些方面去研究，學生并沒有理清這些問題的實質，導致學生的高階思維得不到很好的培養與發展。

二、初中數學函數結構化教學策略

教師該如何幫助學生深刻地理解函數的本質，提高學生對函數的理解與應用，這是一個值得關注和研究的課題。法國數學家布爾巴基指出，“數學不是研究數量的，而是研究結構的”。單元結構化教學就是基于結構化理論的一種教學方式，它可以將具有共性的一類知識模塊，把其最本質的內在邏輯關系抽象出來，將分散、零碎的知識條理化、系統化，幫助學生形成清晰、完整的知識結構，最終內化生成學生自身的知識體系。筆者在教學實踐中，對初中函數知識模塊進行了結構化教學的嘗試，通過三種課型引導學生整體建構對函數的認知體系，提升思維能力，發展學生的核心素養。

（一）單元起始課——引導學生抽象和分類

數學概念是數學得以發展的基石，但數學概念又比較抽象。初中生處于具體形象思維到形式邏輯思維過渡時期，抽象能力還比較弱。遵循《義務教育數學課程標準（2022 年版）》對學生核心素養的培養目標：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。單元起始課承擔了兩個重要的任務：一是采用從特殊到一般的歸納思維，從大量的具體現實問題情境中讓學生學會分析、比較、概括，逐步抽象出對函數概念的認知和理解；二是采用分類的數學思想方法，幫助學生建立有序的學習路徑，分門別類地開展函數的探究與學習。

1.抽象函數概念

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》強調了數學的抽象性，即“數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系”。這樣的表述不僅強調了數學的研究對象是抽象的，還強調了數學的研究對象是通過對現實世界的數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象得到的。這意味著數學教育要關注數學的抽象，特別要關注數學如何對數量和數量關系、圖形和圖形關系進行抽象，如何得到和表達數學的研究對象。

函數單元起始課需要呈現大量實際問題，包含行程問題、購物問題、幾何問題、利潤問題、工程問題等等，例如，A、B兩地的路程為900km，求一輛汽車從A到B 地所需時間t（h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的關系式；有一張長方形紙片，長、寬分別為8cm 和6cm，現在長、寬上分別剪去寬為xcm(x<6)的紙條，求剩余部分的面積y 與x 的關系式；已知某商品每箱盈利10 元，現每天可售出50 箱，如果每箱商品每漲價1 元，日銷售量就減少2 箱。設每箱漲價x 元時（其中x 為正整數），每天的總利潤為y 元，求y 與x 之間的關系式，等等。課堂中可以讓學生進行大量的列關系式的練習。之所以在這個過程中強調大量列關系式的訓練，是因為每種新鮮事物的出現，必須要反復刺激學生的感知，學生有大量的感知積累后，可以發現這些關系式中的兩個量是在不斷變化的，在這個變化過程中，對于x 在某一范圍內的每一個確定值，y 都有唯一的值與它對應。知識不是講會的，而是做會的，所以一定要讓學生自己做，讓學生有機會獨立面對問題，經歷觀察、分析、歸納、抽象等各種思維活動，形成概括概念所需要的素材(舍棄無關屬性,聚焦關鍵屬性,得到共同屬性等)，然后定義函數。學生獲得函數的概念后，為了鞏固加深對概念的理解，教師進一步引導學生對比發現變量與方程中的未知數是有區別的：方程中的未知數是可以確定具體值的，在對比過程中讓學生體會方程僅僅是函數的一個瞬間，從而體會到用函數研究現實世界是必然的。

2.將函數進行分類

代數函數的分類與代數式的分類類似，代數函數包括有理函數、無理函數，有理函數又包括整式函數和分式函數。在義務教育階段，不研究無理函數。初中階段主要學習一次函數、二次函數和反比例函數，其中一次函數、二次函數屬于整式函數，反比例函數屬于分式函數。初中階段的函數是按照從最高次冪的角度進行分類的，為了讓學生更好地體驗分類標準，讓學生對抽取概念時獲得的大量的函數關系式進行分類，并說明分類標準。

學生已經學習了方程的分類、不等式的分類，他們具備從最高次冪的角度進行分類的思維。將初中涉及到的幾類函數在解析式層次進行分類建構，一方面可以幫助學生梳理初中的函數類型，另一方面也利于橫向對比和縱向勾連，在后續進一步分門別類地研究函數的圖象和性質發揮重要的作用。當學生了解了初中階段需要學習的函數類型有哪幾種之后，他就會在建立自己的知識結構框架，就會在學習新函數時，不自覺地對比已經學習過的函數類型，然后遷移研究方法，從而更好地幫助學生后續的函數學習，正所謂“隨風潛入夜，潤物細無聲”。

（二）單元深化課——引導學生推理和建模

單元深化課要在初步感知函數概念、類型的基礎上，進一步理解函數的三重表征方法，學會用數學語言進行表達，培養學生的數學運算能力；還要能夠通過學習建立研究函數的一般策略，培養學生的邏輯推理能力，通過建構數學模型學會應用。

1.引導學生推理

很早以前人類就有了函數的觀念，只是一直停留在關系式的層面，直到法國著名的數學家笛卡爾發明了平面直角坐標系，他用一對有序數對刻畫點的位置，而有序數對恰好和函數定義中的自變量與因變量的一一對應關系吻合起來，于是人們想到把每一組對應的自變量和因變量的值列到表格里表達函數，函數的表格法形式就誕生了。之后人們又把自變量和因變量作為有序數對在平面直角坐標系中描出位置，再用平滑的曲線連接起來，就獲得了函數的圖象。教師順勢拋出問題：函數的三種表征分別側重表達哪些方面？引導學生對比各自的優缺點，發現：圖象法的優點是直觀，能夠形象地反映出當自變量的值變化時函數值的變化趨勢，所以常用來研究函數的性質和變化趨勢；不足之處是不能準確地由已知自變量的值求出函數值。列表法的優點是已知表中給出的部分自變量的值時，可以不通過計算直接查出對應的函數值；不足之處是只能表示出自變量的有限個離散值及其函數值。解析法的優點是全面、準確、方便，對于自變量在可以取值的范圍內任取一個確定的值，都可以通過表達式計算求出它的函數值；不足之處是不夠形象直觀，而且并不是每一個函數都可寫出它的表達式。比如心電圖，我們可以畫出它的圖象，但是卻無法用解析式表達；還有一些函數表達式存在，比如y=，但是我們很難描畫出它的圖象。因此在研究函數時，往往將三種表示方法聯合運用，互相補充。

學生理解了函數的三種表征的優缺點之后，我們遵循從簡單到復雜的原則，先研究一次函數。一次函數的解析式為y=kx+b（k，b 為常數，k≠0），教學中讓學生任取k 和b 的值得到一個具體的一次函數，然后列表格并畫圖，全班可獲得50多個一次函數的圖象，之后教師借助幾何畫板將大家繪制的一次函數放到一個坐標系中，學生共同觀察發現一次函數的圖象是一條直線，直線從左到右有兩種走向，k>0 上升，k<0 下降，b 決定了直線與y軸的交點位置。通過動手操作，學生發現一次函數的圖象受到k 和b 的影響。教師繼續啟發學生：從圖象中可以觀察這些規律，從解析式和表格中你能發現這些規律嗎？在函數教學中，通過“形”研究“數”固然重要，但也不要忽視培養學生從“數”的角度觀察，分析、歸納、證明的能力，以此提高學生的代數推理他力。在教學中，要注重函數思想方法的滲透，因為函數思想是解決初中數學問題的常用思想，可以有效地解決許多復雜的問題。

教師要及時將學生自然生發的研究過程進行提升歸納。學生歸納的在同一類一次函數中穩定不變的規律性的東西，稱之為是函數的性質，研究函數就是研究它們的性質，研究的方法就是系數討論法和圖象法。比如，研究一次函數，因為k>0 與k<0 有兩種情況，b>0，b<0，b=0 有三種情況，將k 和b 結合起來，我們總共需要研究六種一次函數，分別是k>0 且b>0，k>0 且b=0，k>0 且b<0，k<0 且b>0，k<0 且b=0，k<0 且b<0，然后分別從每一類一次函數中選取具體的例子進行研究就可以了。

有了一次函數的研究經驗，再研究其他函數比如反比例函數的學習，學生很自然就能考慮到對于解析式，只要分別研究k＞0 和k＜0 兩種情況就能夠分析圖象特點和性質。再到學習二次函數的時候，學生就能順理成章地獨立剖析二次函數的圖象和性質，實現函數的研究方法在各種函數探究過程中的遷移應用。

2.引導學生建模

一次函數是初中函數知識學習的基礎，其知識內容與探究方法對后續函數的學習具有參考價值。教學中，教師需要引導學生關注兩大數學思想：一是對應思想，二是數形結合思想。其中對應思想體現在解析式的列表計算中，即變量之間的一一對應；而數形結合思想體現在繪圖的過程中，即解析式、坐標、點、線四者之間的關聯構建過程。教學中還要突出“什么是函數的性質”“如何研究函數性質”等問題，既要注意研究數學性質的一般思路，又要注意函數性質的特殊性——變化中的規律性、不變性。研究方法上，要加強通過代數運算和圖象直觀揭示函數性質的引導；要構建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，歸納概括出精確刻畫單調性的方法，從而提升數學運算、直觀想象等素養，提升學生的抽象思維水平，促使學生學會思考，培養學生的思維能力。總之，經過一次函數的學習，學生要建構起研究函數的思路和方法，把我研究函數的思想精髓。

三、單元延伸課——引導學生應用和創新

研究函數的目的是為了用變化的觀點研究現實世界，因此教師需注重滲透函數模型思想，讓學生學會構建函數模型，能夠站在數學的角度對問題進行思考與解決，從而提高學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力，實現“三會”的數學核心素養。

1.引導學生應用

函數是刻畫變量之間關系的有效數學模型，現實生活中的許多問題都可以通過建立函數模型得以解決。函數的應用題已經滲透到日常生活的各個方面，比如經濟問題、購買問題、運輸問題、信息收費問題、水產品加工問題等，因此教師要注重提高學生利用函數模型解決實際問題的能力。

2.引導學生創新

除了已經學習過的一次函數、二次函數、反比例函數，在函數大家庭中還有很多其他成員，比如腦電波圖、分段函數，通過單元延伸課讓學生走近函數大家庭。函數大家庭的成員盡管都個性十足，但它們卻能夠和諧相處，因為它們都反映了函數隨自變量的變化而變化這一共性。盡管學生對這些函數比較陌生，但是通過應用建構起來的研究函數的模型，學生采用系數討論法和圖象法完全可以描繪圖象并總結性質，然后展開相應的研究學習，實現知識遷移，培養創新精神。

比如要求學生設計一個方案：用籬笆圍一塊面積為1m2的長方形土地，要求所用籬笆的長度最省。

通過單元起始課、單元深化課、單元延伸課三種課型，開展數學函數結構化教學，強調了函數知識之間的內在關聯，探尋結構化的知識體系，重視通性通法的教學，引導學生在學習的過程中從整體上把握函數學習內容，積累學習的一般方法和基本思維經驗，并遷移到后續的學習中，達到問題解決的目的。

三、結語

隨著新課標的頒布，核心素養培養的關注度不斷提高，結構化教學得到了廣泛應用。結構化教學要求教師在備課過程中一定要站在高位，整體把握教學內容，對數學知識進行結構化整合，教師還要引導學生從關注知識本身轉向關注知識生成過程中所涉及的研究路徑與方法，運用有效的教學方式幫助學生形成屬于自身的知識網絡，實現將分散的知識連珠成串、結串成網的目的，最終達成教學目標，促進學生核心素養的發展。