例談立體幾何探究問題中的引參法

苗興振

(山東省淄博市沂源縣第二中學)

立體幾何中的探究問題在高考和各類模擬考試中經常出現,這類題型有助于考查學生推理能力、探索能力和批判性思維能力,也有利于培養學生的空間想象能力、創新意識和綜合素質,具有一定的區分度,深受命題者的青睞.探究性問題常常涉及平行、垂直、距離和夾角等常考不衰的重點內容,常以解答題的形式出現.這類問題的一個共同特點是要確定動點的位置使得問題具有某種數量關系或位置關系等屬性,而解決這類問題的難點和關鍵最后都歸結為如何確定動點的位置.若用向量法處理,尤其是通過建立空間直角坐標系利用待定系數法求解存在性問題則思路簡潔明了.下面我們通過典型例題解讀立體幾何探究問題中的引參法,供讀者參考.

1 與平行、垂直有關的問題

平行與垂直是立體幾何的兩種重要的位置關系,其中線線的平行與垂直是基礎,線面平行和垂直是重點考查內容,應引起高度關注.

例1如圖1所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD＝NB＝1,E為BC的中點.

圖1

(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;

(2)在線段AN上是否存在點S,使得ES⊥平面AMN? 若存在,求線段AS的長;若不存在,請說明理由.

圖2

所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為

(2)假設在線段AN上存在點S,使得ES⊥平面AMN.連接AE,SE,如圖3所示.

圖3

2 與夾角有關的問題

夾角問題主要有線線角、線面角和面面角,其中線線角是基礎,線面角和面面角是高考重點考查內容.

例2如圖4所示,在四棱錐P-ABCD中,側面PAB⊥ 底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,BC⊥AB,∠PAB＝120°,PA＝AD＝AB＝1,BC＝2.

圖4

(1)證明:平面PBC⊥平面PAB;

(2)在線段PB上是否存在點M,使得直線AM與平面PBD所成角的正弦值為.若存在,求出線段PM的長度;若不存在,請說明理由.

(2)存在.理由如下:如圖5 所示,在平面PAB內,過點A作AE⊥AB交PB于 點E,則AE⊥平面ABCD,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AE的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系A-xyz.

圖5

3 與距離有關的問題

空間中的距離問題主要有點點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離和面面距離等,其中點面距離是高考重點考查內容.

例3如圖6 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,側棱AA1＝2,CA＝2,D是CC1的 中點,試問在線段A1B上是否存在一點E使得點A1到平面AED的距離為.若存在,試確定點E的位置;若不存在,請說明理由.

圖6

圖7

故存在滿足條件的點E,且這樣的點E有兩個,一個是線段A1B的中點,另一個就是點B.

4 變式練習

變式如圖8 所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB＝BC＝2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.

圖8

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

如圖9 所示,連接AF,由BF⊥A1B1,AB∥A1B1,得BF⊥AB,于 是,故由AB2＋BC2＝AC2,得BA⊥BC,故以B為坐標原點,以BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖9所示的空間直角坐標系B-xyz,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,

圖9

設B1D＝m(0≤m≤2),則D(m,0,2),于是,所以,故BF⊥DE.

(2)易知平面BB1C1C的一個法向量為n1＝(1,0,0),設平面DFE的一個法向量為n2＝(x,y,z),則

令x＝3,得y＝m＋1,z＝2－m,于是平面DFE的一個法向量為n2＝(3,m＋1,2－m),所以

當所確定的點在某條直線上運動時,通過建立空間直角坐標系,利用向量平行(共線)的充要條件,通過引入參數λ建立兩個向量的等式,從而用向量的坐標運算確定點的位置.這種確定點的位置的方法稱之為“引參法”,其理論依據是共線向量定理:非零向量a,b共線的充要條件是存在唯一的實數λ,使得b＝λa.

立體幾何中探究問題的解決除了本文所用的方法外,還可用猜測探求、執果索因、假定探索等方法,限于篇幅,這里就不贅述了.

(完)