二項式定理在知識交會處的應用

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學)

1 求近似值

方法指導1)當a的絕對值很小,且n不太大時,常用近似公式(1＋a)n≈1＋na,因為這時二項展開式的后面部分很小,可以忽略不計.類似地,有(1－a)n≈1－na.使用上述兩個公式時應注意a滿足的條件,以及題目對計算精確度的要求.

2)對于有些求近似值的問題,我們常構造(b＋c)n或(b－c)n,然后利用二項式定理來計算.

例1求1.029的近似值(精確到小數點后三位).

2 整除或余數問題

方法指導1)利用二項式定理解決整除問題,通常把底數寫成除數(或與除數有密切關系的數)與某數的和或差的形式,再利用二項式定理展開.

2)解決求余數問題,要構造一個與題目條件有關的二項式.

例2設a∈Z,且0≤a≤16,若42020＋a能被17整除,則a的值為( ).

A.1 B.4 C.13 D.16

因為81和72均能被9整除,所以8011被9除的余數為8,故選C.

3 證明不等式

方法指導1)通過二項式定理的正用與逆用,結合不等式證明的方法進行論證.

2)應用二項式定理時應注意巧妙構造二項式.

3)證明不等式時,應注意運用放縮法.

例4請利用二項式定理證明:3n＞2n2＋1(n≥3,n∈N?).

4 求代數式的值

5 與導數知識的交會

例6已知(x＋2)10＝a0＋a1x＋…＋a10x10,則(a1＋3a3＋…＋9a9)2－(2a2＋4a4＋…＋10a10)2的值為________.

令x＝1,得10×39＝a1＋2a2＋…＋10a10.

令x＝－1,得10＝a1－2a2＋…－10a10.

于是

分別賦值x＝1,x＝－1,即可解題.

6 與數列知識的交會

(完)