二項分布中概率最大值理論及其應用

楊亭亭

(山東省淄博市沂源縣第一中學)

一般地,在n次獨立重復試驗中,設事件A發生的次數為X,在每次試驗中事件A發生的概率為p,則,此時稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p).結合二項分布的概念可知隨機變量X的可能取值為0,1,2,…,n,那么X取何值時對應的概率最大呢? 這是本文著重解決的一個問題,并通過舉例加以具體說明,在解題中靈活運用概率最大值理論有利于幫助我們快速、準確解題(主要是選擇題或填空題,對于解答題可檢驗所得結論是否正確).

1 二項分布中概率最大值理論

一般求解思路:設X＝k時,對應概率最大,則應滿足然后通過求解該不等式組,結合k的取值范圍即可確定k的具體取值.

現在,我們從單調性的角度出發,探究概率最大值理論.因為

所以令P(X＝k＋1)＞P(X＝k),則(n－k)p＞(k＋1)(1－p),解得k＜(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＝P(X＝k),則有(n－k)p＝(k＋1)(1－p),解得k＝(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＜P(X＝k),則有(n－k)p＜(k＋1)(1－p),解得k＞(n＋1)p－1.

據此分析可知:若(n＋1)p為整數,則

所以當X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p時,對應概率最大;若(n＋1)p不為整數,記(n＋1)p的整數部分為[(n＋1)p],則易知

所以當X＝[(n＋1)p]時,對應概率最大.

綜上,二項分布中概率最大值理論:設隨機變量X～B(n,p),若(n＋1)p為整數,則當X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p時,對應概率最大;若(n＋1)p不為整數,則當X＝[(n＋1)p]時,對應概率最大.

2 概率最大值理論應用舉例

1)簡單應用

例1某人在11次射擊中擊中目標的次數為X,若X～B(11,0.8),且P(X＝k)最大,則k＝( ).

A.7 B.8 C.9 D.10

解得8.6≤k≤9.6.

又因為k∈{0,1,2,…,11},所以k＝9,故選C.

方法2因為(n＋1)p＝12×0.8＝9.6 不是整數,所以根據二項分布中概率最大值理論可知:當X＝[9.6]＝9時,對應概率最大.從而k＝9,故選C.

例2某人投籃命中的概率為0.3,投籃15次,最有可能命中_________次.解得3.8≤k≤4.8.

又因為k∈{0,1,2,…,15},所以k＝4,故最有可能命中4次.

方法2因為(n＋1)p＝16×0.3＝4.8不是整數,所以根據二項分布中概率最大值理論可知:當X＝[4.8]＝4 時,對應概率最大,故最有可能命中4次.

2)綜合應用

例3已知隨機變量X～B(6,0.8),若P(X＝k)最大,則D(kX＋1)＝_________.

解得4.6≤k≤5.6.

又因為k∈{0,1,2,…,6},所以k＝5.于是

方法2因為(n＋1)p＝7×0.8＝5.6不是整數,所以根據二項分布中概率最大值理論可知:當X＝[5.6]＝5時,對應概率最大.從而依據題意可得k＝5.于是

例4(多選題)已知隨機變量ξ～B(2n,p),n∈N?,n≥2,0＜p＜1,記f(t)＝P(ξ＝t),其中t∈N,t≤2n,則( ).

綜上,選ABD.

例5有同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數,當投擲到第35次時,記錄到此時點數1出現5次.若繼續再進行65次投擲試驗,則當投擲到第100次時,點數1 一共出現的次數為________的概率最大.

綜上,關注二項分布中概率最大值理論的推導過程,有利于強化學生的數學運算能力以及邏輯推理能力;關注二項分布中概率最大值理論的解題應用,有助于學生簡捷求解有關問題.故曰,學無止境,且學且悟且應用.

(完)