聚焦二項式定理的四類常考問題

浦紹華

(云南省曲靖市會澤縣茚旺高級中學)

辯證唯物主義告訴我們,做任何事情都要抓主要矛盾,只有這樣才能達到事半功倍的效果,學習二項式定理也是如此.二項式定理雖然有著廣泛的應用,但在高考題中只有四類問題時常出現,我們必須牢牢把握.那么究竟是哪四類問題呢? 本文對此舉例說明.

1 二項展開式特定項的系數問題

特定項系數問題主要包括求展開式中的第n項、求展開式中的特定項、已知展開式的某項求特定項的系數等,一般可借助二項式定理的通項公式來求解.

例1已知在的展開式中第9項為常數項.求:

(1)n的值;

(2)展開式中第7項的二項式系數及x5的系數;

(3)展開式中的所有有理項.

2 三項式或乘積形式的展開式問題

求解有關三項式或乘積形式的展開式問題,關鍵是弄清展開式的特征,將問題轉化為二項式進行處理,解題時可以利用乘法原理進行求解.

3 二項式系數的性質問題

抓住二項式系數的性質是解題的關鍵,解題時需注意區分二項式系數與展開式中項的系數,在Tr＋1＝是該項的二項式系數,與該項的(字母)系數是兩個不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分,前者只與n和r有關,恒為正,后者還與a,b有關,可正可負,同時,要牢記通項公式Tr＋1＝是展開式的第r＋1項,不是第r項.

例3已知的展開式中,前三項的系數成等差數列.

(1)求展開式中二項式系數最大的項;

(2)求展開式中系數最大的項.

4 二項式系數之和問題

求解二項式系數之和問題一般都采用賦值法.它主要有以下兩種情形:1)二項式定理給出的是一個恒等式,對于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設定為一些特殊的值.在使用賦值法,令a,b等于多少時,應視具體情況而定,一般取“1,－1或0”;2)一般地,若f(x)＝a0＋a1x1＋a2x2＋…＋anxn,則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為偶數項系數之和為

通過分析不難發現,求解二項式定理的應用問題,主要有三種方法:一是通項法,利用通項將所求問題轉化為方程問題;二是轉化法,將非二項式問題轉化為二項式問題;三是賦值法,將一般問題特殊化.

(完)