二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

姜鐵軍

(江蘇省昆山市第一中學(xué))

1)展開式中共有(n＋1)項(xiàng);

2)a的指數(shù)從n逐項(xiàng)遞減到0,是降冪排列,b的指數(shù)從0逐項(xiàng)遞增到n,是升冪排列;

3)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.

厘清二項(xiàng)式定理及其特點(diǎn)后,我們應(yīng)該學(xué)會(huì)應(yīng)用定理.那么如何用好這個(gè)定理呢?

1 正用

所謂正用就是直接求二項(xiàng)式展開式.求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開,展開時(shí)注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn):前一個(gè)字母是降冪,后一個(gè)字母是升冪,形如(a－b)n的展開式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對(duì)較繁雜的式子可先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.此外,正用二項(xiàng)式定理,還能求二項(xiàng)展開式中特定的項(xiàng),如常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)、有理項(xiàng)等.

例1(1)在的展開式中的系數(shù)是( ).

A.35 B.－35 C.560 D.－560

(2)已知(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,且a2＋2a3＋3a4＋4a5＋5a6＋6a7＝－9,則k＝.

2 逆用

逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn),對(duì)于這類問(wèn)題的求解,要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).逆用二項(xiàng)式定理時(shí),如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間的,則是(a－b)n的形式.

3 活用

靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理,就是對(duì)于看似與二項(xiàng)式定理無(wú)關(guān)的問(wèn)題,通過(guò)創(chuàng)造條件使之與二項(xiàng)式產(chǎn)生聯(lián)系,從而利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決,如利用二項(xiàng)式定理求近似值,證明整除關(guān)系、證明整數(shù)不等式或與組合數(shù)有關(guān)的恒等式等.

例3某同學(xué)在一個(gè)物理問(wèn)題計(jì)算過(guò)程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)0.9810的處理,經(jīng)過(guò)思考,他決定采用精確到0.01的近似值,則這個(gè)近似值是_________.

當(dāng)k＝1時(shí),9k－8k－1＝0,顯然Sn－4n－1能被64整除.當(dāng)k≥2時(shí),式①能被64整除,所以n為偶數(shù)時(shí),Sn－4n－1能被64整除.

例5(多選題)下列關(guān)系式成立的是( ).

綜上,二項(xiàng)定理看似簡(jiǎn)單,但它的應(yīng)用卻“不簡(jiǎn)單”,只要我們學(xué)會(huì)二項(xiàng)式定理的正用、逆用和活用,那么攻克二項(xiàng)式問(wèn)題必然是“不在話下”.

(完)