隨機變量及其分布章節小測

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學)

(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時120分鐘)

一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.)

A.μ1最大,σ1最大 B.μ3最大,σ3最大

C.μ1最大,σ3最大 D.μ3最大,σ1最大

2.隨機變量ξ的所有等可能取值為1,2,…,n,若P(ξ＜4)＝0.3,則n＝( ).

A.3 B.4 C.10 D.不確定

3.已知隨機變量X,Y滿足Y＝aX＋b,且a,b為正數,若D(X)＝2,D(Y)＝8,則( ).

A.b＝2 B.a＝4

C.a＝2 D.b＝4

6.某校在一次月考中有600人參加考試,數學考試的成績服從正態分布,即X～N(90,a2)(a＞0),試卷滿分150分),統計結果顯示數學考試成績在70分到110分之間的人數為總人數的,則此次月考中數學考試成績不低于110分的學生人數為( ).

A.480 B.240 C.120 D.60

7.排球比賽的規則是5局3勝制(在5局比賽中,優先取得3局勝利的一方,獲得最終勝利,無平局),在某次排球比賽中,甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等,均為,前2局中乙隊以2:0領先,則最后乙隊獲勝的概率是( ).

8.已知離散型隨機變量ξ的概率分布如下表所示,則其數學期望E(ξ)＝( ).

A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4

9.當P(A)＞0時,P(B|A)＋P(ˉB)＝1,則事件A與事件B( ).

A.互斥 B.對立 C.獨立 D.不獨立

10.已知隨機變量X的分布列如下表所示,若,則實數x的取值范圍是( ).

A.4≤x≤9 B.4＜x≤9

C.4≤x＜9 D.4＜x＜9

11.設0＜a＜1,則隨機變量X的分布列如下表所示,則當a在(0,1)內增大時( ).

A.D(X)增大 B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大

12.某地的臍橙果皮中厚、脆而易剝,果肉酸甜適度、汁多爽口、余味清香,榮獲農業農村部優質水果、中國國際農業博覽會金獎等榮譽.據統計,臍橙的果實橫徑(單位:mm)服從正態分布N(80,52),則果實橫徑在[75,90)的概率為( ).

附:若X～N(μ,σ2),則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827;P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545.

A.0.6827 B.0.8413

C.0.8186 D.0.9545

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)

13.已知離散型隨機變量ξ～B(3),隨機變量η＝4ξ＋1,則η的數學期望E(η)＝________.

14.李明上學要經過4個路口,前3個路口遇到紅燈的概率均為,第4個路口遇到紅燈的概率為,設在各個路口是否遇到紅燈互不影響,則李明從家到學校恰好遇到一次紅燈的概率為_________.

15.已知隨機變量X的概率分布如下表所示,其中a,b,c成等比數列,當b取最大值時,E(X)＝________.

16.某校一次高三年數學統考,經過抽樣分析,成績X近似服從正態分布N(110,σ2),且P(90＜X≤110)＝0.3.某校有800人參加此次統考,估計該校數學成績不低于130分的人數為_________.

參考數據:若T服從正態分布N(μ,σ2),則

三、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)設ξ為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當兩條棱相交時,ξ＝0;當兩條棱平行時,ξ的值為兩條棱之間的距離;當兩條棱異面時,ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0);

(2)求ξ的分布列,并求其數學期望E(ξ).

18.(12分)根據以往的經驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表所示.歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求:

(1)工期延誤天數Y的均值與方差;

(2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.

19.(12分)某產品按行業生產標準分成8個等級,等級系數ξ依次為1,2,…,8,其中ξ≥5為標準A,ξ≥3為標準B,產品的等級系數越大表明產品的質量越好,已知某廠執行標準B生產該產品,且該廠的產品都符合相應的執行標準。從該廠生產的產品中隨機抽取30件,相應的等級系數組成一個樣本,數據如下:

該行業規定產品的等級系數ξ≥7的為一等品,等級系數5≤ξ＜7的為二等品,等級系數3≤ξ＜5的為三等品.

(1)試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率;

(2)從樣本的一等品中隨機抽取2件,求所抽得2件產品等級系數都是8的概率.20.(12分)某大學生命科學學院為激發學生重視和積極參與科學探索的熱情和興趣,提高學生生物學實驗動手能力,舉行生物學實驗技能大賽.大賽先根據理論筆試和實驗操作兩部分進行初試,初試部分考試成績只記“合格”與“不合格”,只有理論筆試和實驗操作兩部分考試都“合格”者才能進入下一輪的比賽.在初試部分,甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為,在實際操作考試中“合格”的概率依次為,所有考試是否合格相互之間沒有影響.

(1)假設甲、乙、丙三人同時進行理論筆試與實際操作兩項考試,誰獲得下一輪比賽的可能性最大?

(2)這三人進行理論筆試與實際操作兩項考試后,求恰有兩人獲得下一輪比賽的概率.

21.(12分)一個袋子內裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球(所有的球除顏色外其他均相同),從中一次性任取2個球,每取得一個黑球得0分,每取得一個白球得1分,每取得一個紅球得2分,用隨機變量ξ表示取2個球的總得分,已知得0分的概率為

(1)求袋子內黑球的個數;

(2)求ξ的分布列與均值.

22.(12分)在學校組織的足球比賽中,某班要與其他4個班級各賽一場,在這四場比賽的任意一場中,此班級每次勝、負、平的概率都相等.已知這四場比賽結束后,該班勝場多于負場.

(1)求該班勝場多于負場的所有可能情況的種數;

(2)若勝場次數為X,求X的分布列.