稀疏表示自編碼網絡的齒輪平穩型故障特征提取研究

鄭 琛，丁 康，何國林,2，蔣 飛，葉 鳴

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院， 廣州 510640； 2.人工智能與數字經濟廣東省實驗室， 廣州 510640； 3.廣州華工機動車檢測技術有限公司， 廣州 510640)

0 引言

信號特征提取是定軸齒輪故障診斷的基礎，在復雜惡劣的工況下實現高精度的特征提取，可以為后續分析提供有力依據，具備重要的工程應用價值。

神經網絡因其強大的特征學習能力[1-3]，在故障診斷領域得到了越來越廣泛的應用。但神經網絡提取的抽象特征不具備可解釋性[4]，為提取具備魯棒性的特征，需要大量樣本進行特征學習，實際工程中難以實現。針對該問題，有學者嘗試將信號處理方法與神經網絡結合，使神經網絡部分結構在信號時頻特征層面具備可解釋性，從而提高特征的敏感性[5-9]。Yang等[5]將優化粒子群算法與小波基函數結合，通過優化小波基函數尺度與時刻參數提取與信號時頻特性相關的特征，其編碼層在信號時頻特征層面具備可解釋性，可以提取信號的敏感特征。Qu等[6]在輸入層對信號進行短時傅里葉變換與分段頻譜特征分析，使編碼層特征提取過程具備可解釋性，實現了小樣本量下的機械健康狀態特征提取。Li等[7]用小波函數代替卷積核，使第一層卷積層具備可解釋性，從而提高特征的時頻敏感性。但以上方法得到的仍是抽象特征量，無法為診斷結果提供物理依據。

信號稀疏表示方法對于故障信號特征具備強大的表征能力。稀疏表示方法通過少量元素在特征空間中重構出目標信號[10-12]，隨著齒輪傳動系的故障信號特征研究[13-14]與故障模型更新[15-16]，有學者嘗試提取故障信號中有物理意義的特征量。Sun等[17]基于齒輪故障模型，改進稀疏表示方法，提高了信號重構的精度。Wang等[18]基于旋轉設備機理模型設計字典，通過稀疏分解實現旋轉設備的故障分類。Fan等[19]基于齒輪故障響應機理設計小波字典，提取出齒輪故障信號的特征分量。Tang等[20]基于隱成分分析設計稀疏分解方法，提取早期微弱故障特征。何國林[21]使用相關濾波法，通過相關性匹配特征參數構造字典，實現了具備物理意義的平穩型故障特征提取過程。隨著研究深入，稀疏表示方法可以提取定軸齒輪平穩型故障信號的特征參數，但該類方法基于相關濾波法得到的解析字典無法自適應優化，存在精度限制，且稀疏表示方法通過故障信號中提取的諧波分量結合人工頻譜分析獲得平穩型故障特征，無法直接提取平穩型故障特征參數。張明[22]通過分析實驗證明傳動系中存在偏心設備時，系統響應信號會存在與故障無關的干擾諧波分量，此時稀疏表示方法會提取干擾分量，影響后續頻率特征分析。

綜上所述，與稀疏表示方法結合可使神經網絡特征學習過程具備可解釋性，通過神經網絡將原始輸入映射為本質特征的深度學習能力，可直接提取高精度的平穩型故障特征參數，實現兩者優勢的互補。在神經網絡中，自編碼網絡可以實現故障信號的特征提取與重構[23-24]，與稀疏表示方法具備相似的算法邏輯，兩者具備理論上的通性。本文研究目標為結合定軸齒輪平穩型故障機理模型，基于稀疏表示方法的物理意義賦予自編碼網絡可解釋性，實現定軸齒輪平穩型故障信號的降噪重構，提取平穩型故障響應信號的高精度特征參數。

1 定軸齒輪平穩型故障響應機理、稀疏表示原理及自編碼神經網絡模型

定軸齒輪發生周布型損傷時，齒輪嚙合振動的幅值發生變化，產生平穩調制信號，通過式(1)可以模擬定軸齒輪平穩型故障信號[16]。

cos(2πifzt+φi)+η(t)

(1)

式中:A為對應諧波原子的幅值，φ為對應諧波原子的相位，fz為嚙合頻率，其對應階次為i，fn為故障軸轉頻，故障軸轉頻階次為j，η(t)為噪聲分量。

對式(1)進行三角函數轉化可得式(2)[21]為

(2)

圖1 自編碼神經網絡結構示意圖

信號稀疏表示原理[12]如式(3)所示，O為原始信號，D為過完備字典，a為稀疏向量，‖a‖0為0范數，表示a的稀疏程度，ε≤ 0是近似稀疏的容差，信號稀疏表示方法通過最稀疏向量a與過完備字典D在一定精度下重構信號O，實現信號稀疏表示，稀疏表示過程包括字典構造與稀疏向量求解。

(3)

2 稀疏表示理論融合自編碼網絡

在自編碼網絡中，將編碼過程等效稀疏向量求解，解碼過程等效信號重構，解碼層權值矩陣Wd等效字典矩陣D，編碼向量y等效稀疏向量a。神經網絡每一次迭代，都完成了一個字典學習(解碼層矩陣更新)、稀疏向量更新(編碼層矩陣更新)、信號重構的過程，控制解碼層矩陣在適當的特征空間內生成與更新，使自編碼網絡具備可解釋性。將構成平穩型故障信號的諧波原子表示為

dm(t)=cos[2π(ifz±jfn)t+φm]

(4)

通過神經網絡算法優化原子特征參數，從而實現直接對平穩型故障本質特征參數(嚙合頻率fz、故障軸轉頻fn)進行提取，故障響應可以表示為諧波原子的線性疊加，代入式(2)為

(5)

式中:A為原子幅值向量，dm(t)為某一特征參數下的故障響應信號原子，m為原子階數，F(fz,fn,φm)是原子在特征參數維度上的函數式同式(4)，解碼層矩陣由3組參數生成，具備物理意義。該自編碼網絡實現了信號稀疏表示過程，命名為稀疏表示自編碼網絡，其結構如圖2所示。

圖2 稀疏表示自編碼網絡結構示意圖

根據平穩型故障信號特征，為保證幅值求解范圍，編碼層不設激活函數。其參數更新圖如圖3所示，更新變量包括We、be與參數向量組fz、fn、φm，損失函數為均方誤差函數，達到一定重構精度時，解碼層的特征參數即為該故障系統的特征量，實現了定軸齒輪系平穩型故障信號的降噪重構。

圖3 神經網絡參數更新圖

3 神經網絡算法設計與模型搭建

通過鏈式法則實現特征參數的更新，特征參數偏導公式為

(6)

(7)

(8)

根據鏈式求導法則，將參數偏導式乘上損失函數對字典原子的偏導式得到式(9)，式中，MSE為損失函數，F為解碼層字典矩陣原子，S為對應參數的步長。

(9)

根據原子階數m、每階嚙合頻率及其調制邊頻總階數M可以得到求解嚙合頻率階次i與調制頻率階次j的公式(10)，其中∥為整除，%為取余。

i=(m-1)∥M+1

j=(m-1)%M-(M-1)/2

(10)

3組參數梯度值差異較大，工程中常見特征參數及其原子對參數偏導梯度的均值數量級見表1，可見數量級存在較大差異，無法通過單一步長使所有參數得到有效優化。針對該特征，將參數按數量級差異分步激活為變量參與更新，分別適配學習率，提高收斂速度。

表1 特征參數數量級表

基于算法優化后的神經網絡，根據定軸齒輪平穩型故障特征設計N+1層深度稀疏表示自編碼網絡如圖4所示，進行齒輪平穩型故障信號的降噪重構與高精度的特征提取。

圖4 深度稀疏表示自編碼網絡圖

隱層神經元數：從原始信號中截取分析信號xr，輸入神經網絡做特征提取，根據原子階數m設定隱藏層神經元數量。將涵蓋信號主要故障頻率成分的頻率范圍上界稱為最大分析頻率fh，為減少計算涉及的頻率特征量，將fh取為接近最高故障頻率成分的值，根據原始信號頻譜確定fh與嚙合頻率階數k，fh與k以及參數M存在關系式[21]為

fh=kfz+(M-1)fmin/2

(11)

式中:Mh=(M-1)/2為最大邊頻階次，fmin設為系統最小轉頻，從而使得到的M為最大值，以保證充分提取平穩型故障響應成分，原子階數m=k×M，在神經網絡收斂后，冗余諧波階次幅值為0。

平穩型故障信號提?。合到y可能存在N個平穩型故障源，如一對嚙合齒輪就存在兩個潛在的平穩型故障源，設定稀疏自編碼神經網絡層數為N，以保證提取出所有的平穩型故障。為防止提取到無關頻率成分，根據系統轉頻進行決策，對非系統轉頻成分幅值置0，而后將故障信號殘差輸入下一層，完成N層平穩型故障特征提取后，隱藏層幅值非0的參數即為平穩型故障特征參數。

剔除干擾諧波分量：在部分設備中齒輪系故障信號會存在干擾諧波[22]。神經網絡會將大幅值噪聲分量以諧波的形式重構，也會在平穩型故障信號重構過程中引入干擾諧波。在平穩型故障特征提取層中，干擾諧波分量無法通過嚙合頻率與轉頻的特征公式重構，保證了故障特征參數提取的精度。

而在信號處理工程中通常需要剔除干擾諧波分量[21]，故增設干擾諧波成分提取層。神經網絡如圖5所示，該層神經網絡諧波原子為公式(12)，變量為干擾諧波頻率fm，算法與平穩型故障提取層相同，從而剔除殘差信號中的干擾諧波成分，進一步保證輸出的重構信號為平穩型故障信號。

圖5 干擾諧波成分提取層網絡結構圖

4 仿真驗證

單級定軸齒輪箱特征參數見表2，設定輸入軸轉頻為30 Hz，嚙合頻率fz為780 Hz，幅值與相位隨機生成，采樣頻率fs設為20 480 Hz，采樣時間0.2 s，故障信號有3階嚙合頻率，每階嚙合頻率受到1階轉頻調制，假定輸入軸齒輪出現平穩型故障。

表2 仿真定軸齒輪箱參數

為模擬實際工程中機械設備特性產生的干擾，在信號中加入干擾諧波，頻率為770、800、1 500 Hz，相位與幅值隨機生成，并加入沖擊響應成分。為模擬實際工程中的噪聲干擾，加以-10 dB的高斯噪聲，表達式為

SNR=10log(PS/PN)=-10 dB

(13)

式中：SNR為信噪比，PS為系統響應信號的功率譜，系統響應信號包括平穩型故障響應、沖擊型故障響應與機械設備產生的干擾諧波成分，PN為噪聲功率譜。實際工程中，-10 dB信噪比的噪聲對信號的干擾比多數工況的噪聲干擾更嚴重，通過-10 dB加噪信號的重構與特征提取來驗證所提方法在惡劣工況下的抗噪性能。得到故障信號分別如圖6、7所示。

使用所提方法提取信號的平穩型故障成分，如頻譜圖6圖(b)與圖7(b)所示，故障信號有3階嚙合頻率，紅色虛線為最大分析頻率fh= 2 380 Hz，最小轉頻為fmin=20.53 Hz，根據式(11)可得M=5，原子階數m=3×M=15。

圖6 無干擾信號及其頻譜

圖7 受干擾信號及其頻譜

所提方法通過解碼層學習定軸齒輪箱平穩型故障特征參數，傳統神經網絡通過提取信號的抽象特征在分類層實現故障診斷，兩者實現的功能存在差異，難以進行對比，而基于相關濾波的稀疏表示方法[21]可以較高精度地提取平穩型故障信號的物理特征參數，與所提方法實現的功能近似，故在以下仿真與實驗中將其作為對比方法。對比方法的4組初始參數中頻率原子為fc=[0∶0.01∶fh]，相位原子為φc=[-π∶0.01∶π]，嚙合頻率階數k與所提方法相同為3階，最大邊頻階次為Mh= (M-1)/2=2。所提方法及對比方法重構信號如圖8所示，圖8(a)、(b)為所提方法提取的平穩型故障信號，(c)為對比方法的受干擾故障信號重構圖，從圖中可以看出，所提方法可以分離接近嚙合頻率的干擾諧波成分，單獨提取平穩型故障信號，而對比方法會重構所有的諧波分量，忽略干擾諧波成分，從對比方法提取的特征量中篩選平穩型故障特征，其重構信號如圖8(d)。

對圖8(a)、(b)、(d)截取時間段(0.100,0.104)得到放大圖9，從圖中可以看出所提方法在嚴重干擾下仍然有著較高的重構精度，且重構精度高于頻率成分篩選后的對比方法。將所提方法提取的特征參數及其誤差均值列入表3。從對比方法獲得的特征參數中提取平穩型故障相關參數并計算其平均誤差列入表4。通過與原無噪聲仿真信號的均方誤差體現信號重構精度與整體參數精度。

圖8 信號重構圖

圖9 局部信號重構放大圖

表3 所提方法特征參數及誤差

表4 對比方法篩選后特征參數及誤差

從表中可以看出，對比方法提取諧波成分的頻率，所提方法直接提取平穩型故障特征參數。對比2種方法故障特征參數的精度，信號重構精度、頻率參數精度和相位參數精度都得到了提高。

在信號受干擾仿真中，任意提取一行解碼層矩陣原子如圖10所示，可見解碼層矩陣由各平穩型故障的諧波原子F(fz,fn,φm)構成，神經網絡直接提取了定軸齒輪箱的平穩型故障特征參數，其故障信號重構與特征學習過程具備可解釋性。

fz= 780.0 Hz, fn= 30.0 Hz, φm=2.79圖10 某行解碼層矩陣原子圖

5 實驗驗證

單級定軸齒輪箱平穩型故障實驗在傳動實驗臺上進行，輸入軸轉速為800 r/min，輸出軸齒輪存在平穩型故障，設置采樣頻率為51 200 Hz，單級定軸齒輪箱參數見表5，實驗設置如圖11所示。

表5 實驗定軸齒輪箱參數

圖11 實驗臺架圖

實驗信號如圖12(a)所示，截取分析信號段如圖12(b)，分析信號頻譜如圖12(c)所示，信號主要嚙合頻率階數為k=8，第8階嚙合頻率放大后得到最大分析頻率fh=2 590 Hz，最小轉頻fmin=5.7 Hz，根據式(11)得到每階嚙合頻率及其邊頻總和階數M=13，原子階數m=k×M=104。

圖12 實驗信號圖

對比方法頻率原子為fc=[0∶0.01∶fh]，相位原子為φc=[-π∶0.01∶π]，嚙合頻率階數k與所提方法相同為8階，邊頻最大階次為Mh= (M-1)/2=6。所提方法提取的平穩型故障響應信號如圖13(a)所示，其整體幅值趨勢與分析信號具有較高的擬合度，某行解碼層原子如圖14所示，神經網絡特征學習過程具備可解釋性，對比方法重構信號如圖13(b)所示。

圖13 重構信號圖

圖14 所提方法解碼層矩陣原子圖

所提方法提取的故障特征參數見表6，可見所提方法直接提取了平穩型故障特征參數，無需進行頻譜分析，嚙合頻率為fz= 319.21 Hz，故障轉頻為fn= 5.83 Hz，忽略實驗本身導致的誤差，與故障系統特征頻率320 Hz以及5.7 Hz接近，在實際工程中所提方法仍然有效。將對比方法提取的部分平穩型故障頻率成分與干擾頻率成分列入表7，可見對比方法無法剔除干擾頻率成分，計算所有故障特征轉頻的均值為5.42 Hz，所提方法故障特征參數精度較對比方法有較大提升。

表6 所提方法特征參數及誤差

表7 對比方法部分特征參數及誤差

6 結論

1) 將自編碼網絡編碼層等效稀疏向量求解，解碼層等效字典學習，通過平穩型故障特征參數控制解碼層變量的更新，設計了具備可解釋性的稀疏表示自編碼網絡，用于提取定軸齒輪系平穩型故障特征參數。

2) 基于平穩型故障特征參數設計了優化算法，優化了信號重構與參數學習流程，基于平穩型故障系統特征搭建了深度稀疏表示自編碼網絡，實現了定軸齒輪平穩型故障信號高精度的降噪重構與特征參數提取。

3) 用所提方法對定軸齒輪箱平穩型故障進行了仿真分析，結果表明神經網絡學習過程具備可解釋性，提取了高精度的特征參數，分離了與嚙合頻率成分接近的干擾諧波成分，實現了齒輪平穩型故障信號的降噪重構，精度較對比方法有大幅度提高。通過定軸齒輪箱平穩型故障實驗與對比證明了該方法的有效性。