帶相移的離散時間相耦合振子系統的同步

張 華,肖斯斯

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

0 引言

相耦合Kuramoto振子系統的同步現象，比如漸近同步[1]、爆炸性同步[2-3]、分群同步[4]、有限時間同步[5-6]和固定時間同步[7]等，在過去幾十年受到了世界范圍內眾多學者的廣泛關注。該網絡系統作為一個經典模型能很好地刻畫和描述來自生物學[8]、化學[9]、經濟學[10]到工程學[11]、社會學[12]、地震學[13]等不同學科中的群集動力學行為。諸如心臟起搏器單元、腦神經元、平面車輛協同、螢火蟲集群、鰻魚中樞神經系統、半導體激光器、微波振蕩器等均為該模型在實際生活中的典型應用[14-15]。相耦合振子系統通常由大量的同質或異質振子以及表述振子之間相互作用的網絡拓撲圖構成，其異質性和網絡特性常使得該系統呈現出豐富的動力學行為[16-21]。

含有N個相耦合振子系統的一般動力學方程通常可以表示為

(1)

式中：變量θi(t)表示第i個振子的相位狀態，ωi為自然頻率,aij表示振子i和j之間的耦合關系，如果i和j之間有相互作用，那么aij>0，否則aij=0。

相耦合模型的力學模擬彈簧質點網絡系統[15]，如圖1所示。該網絡由大量在單位圓上運動且互不碰撞的粒子構成，τi為外部驅動扭矩，kij為彈簧的剛度系數。除力學模擬之外，在振蕩電路、電網、自驅車輛、社會網絡中觀點同步[22]等應用中均有類似方程(1)的動力學方程。

圖1 耦合振子系統的力學模擬示意圖

在經典相耦合振子系統的相互耦合作用中引入相移可以描述更加豐富的動力學行為。例如，文獻[23]研究了帶有時滯和相移效應的振子同步群集行為，該模型中時滯為零時即為帶有相移的連續時間型Kuramoto振子模型，其動力學方程為：

(2)

式中：λ為耦合強度,γ為相移。此類模型具有廣泛的實際應用。例如，由3個帶相移的且非恒同的振子系統構成的模型可用于研究太陽深部經絡環流的重建及其在太陽發電機方面演化的作用[24]。

帶有相移因素的模型在理論方面同樣具有重要的研究意義。例如，基于Watanabe-Strogatz (WS) 變換，文獻[25]針對一種廣義Kuramoto系統，提出了如何確定該WS變換系統初始值的方法，研究了WS變量的漸近行為，給出了帶相移的Kuramoto振子系統的定量漸近行為，并得到了達到相位或頻率同步的一些充分條件。此外，還有帶隨機相移的振蕩器網絡同步[26]、帶相移和慣性作用的振子鎖相態唯一性和有序性[27]等研究報道。

以上關于相耦合振子系統的建模，大都集中在振子之間的連續相互作用方面，而針對時間離散型的研究相對較少[28-33]。例如，文獻[33]給出了在離散時間步長趨于零時，系統的穩定性可以轉化到連續時間型系統的穩定性分析方法。值得注意的是帶有相移因素的離散時間耦合振子系統的相位同步和頻率同步研究鮮有報道。鑒于此，建立了一種帶有相移因素的離散時間耦合的Kuramoto振子模型，給出了含有相移的離散時間型振子系統的相位同步和頻率同步的充分條件。最后，計算機數值模擬進一步驗證了所得充分條件的正確性。

1 模型描述

對式(2)兩邊求導，得

(3)

然后對式(2)和式(3)分別按照時間變量離散化，得

(4)

以及

(5)

這里，θi(k)=θi(tk)，vi(k)=vi(tk)為tk處的頻率，時間步長h=tk-tk-1>0，k=0,1,2,…。

2 相位同步

首先討論系統(4)在振子頻率恒同的情況下系統的相位同步問題。

定理1對于恒同振子，即ωi=ω，若hλ<2，DΘ(0)0,ε=min{γ/2+π/4, π/4-γ/2, 0.001}。

證明對任意k,令c=max{|1-hλ|, |1-hλcos(b+γ)|,|1-hλcos(γ-b)|}<1，首先證明如下不等式：

DΘ(k+1)≤cDΘ(k)

(6)

不失一般性，假設θM(1)、θm(1)分別表示k=1時的最大值和最小值。因為DΘ(0)

sin(θj(0)-θm(0)+γ))=

(θM(0)-θm(0))-hλcos(ξj,0)×

(θM(0)-θm(0))≤

|1-hλcos(ξj,0)||θM(0)-θm(0)|≤

cDΘ(0)

式中：ξj,0介于θj(0)-θM(0)+γ和θj(0)-θm(0)+γ之間。

由數學歸納法，假設不等式DΘ(k)≤cDΘ(k-1)

3 頻率同步

下面討論系統(5)的頻率同步問題。為方便模型分析，對參數γ、h、λ以及直徑D(Ω)和DΘ(0)，作如下假設：

假設1設常數l、α、β、p、μ滿足以下條件：

l=min{π/3-γ, π/3+γ}

(7)

hD(Ω)≤α<(1-p)β<π/2,p∈[1/3,1)

(8)

α+(2+p)β≤μ

(9)

DΘ(0)≤l

(10)

2(1-p)≤λh≤1+p

(11)

在下面給出如下關于振子相位差的一個重要性質。

定理2若γ∈(-π/3,π/3),那么在假設1的條件下，系統(4)或(5)的相位滿足如下結論：

1)DΘ(k)≤l≤π/3,k=0,1,2,…

(12)

(13)

式中：「x?表示對x取整，且「x?≥x。

證明首先由式(10)有DΘ(0)≤l，由數學歸納法，假設不等式DΘ(k)≤l成立。令θM″(k+1)、θm″(k+1)分別表示Θ在k+1處的最大值和最小值，θM′(k)、θm′(k)分別表示在k處的最大值和最小值。那么由拉格朗日中值定理得

DΘ(k+1)-DΘ(k)=θM″(k+1)-θm″(k+1)-θM′(k)+θm′(k)≤hD(Ω)+

sin(θj(k)-θm″(k)+γ))-θM′(k)+

θm′(k)+θM″(k)-θm″(k)=

hD(Ω)+(hλcos(φj,k)-1)×

(θm″(k)-θM″(k))-θM′(k)+θm′(k)≤

hD(Ω)+pDΘ(k)-DΘ(k)=

hD(Ω)+(p-1)DΘ(k)

(14)

式中：φj,k介于θj(k)-θM″(k)+γ和θj(k)-θm″(k)+γ之間。又因為DΘ(k)≤l，故φj,k∈(-DΘ(k)+γ,DΘ(k)+γ)?[-π/3,π/3]，進而有cosφj,k∈[0.5,1],又2(1-p)≤hλ≤1+p，故|hλcosφj,k-1|≤p。由式(14)得

洪澤湖現狀興利水位13.0 m，死水位11.30 m，2012年確定其旱限水位為11.80 m。根據《江蘇省流域性、區域性水利工程調度方案》中有關洪澤湖水源調度要求、省供水范圍的供水調度計劃及當時雨水情、用水形勢，確定省管及其他重要引水口門的出湖流量。在遭遇干旱年份，為確保城鄉生活等重點用水，需要采取江水北調、挖掘死庫容等措施。在不影響防洪和排澇的前提下，洪澤湖可在后汛期根據雨水情適時攔蓄尾水，逐步由汛限水位抬高至汛末蓄水位13.0 m，充分利用洪水資源。

|DΘ(k+1)-DΘ(k)|≤hD(Ω)+

|hλcos(φj,k)-1||θm(k)-θM(k)|+

|θM′(k)-θm′(k)|≤

hD(Ω)+(p+1)DΘ(k)

若DΘ(k)≥β，由式(8)可得

DΘ(k+1)-DΘ(k)≤hD(Ω)-(1-p)DΘ(k)≤

α-(1-p)β<0

DΘ(k+1)≤DΘ(k)+|DΘ(k+1)-DΘ(k)|≤

hD(Ω)+(p+2)DΘ(k)<

α+(p+2)β≤l

因此，由數學歸納法,式(12)得證。

接下來證明式(13)。首先證明如下結論：若DΘ(K)<α+(p+2)β，則對任意的?k≥K有

DΘ(k)<α+(p+2)β

(15)

按照式(12)的證明方法，即可說明式(15)的正確性。只需要證明

DΘ(K0)<α+(p+2)β

(16)

即可證明式(13)成立。因為當DΘ(k)≥β時，由式(14)，可知DΘ(k)至少以(1-p)β-α的比率遞減，所以存在K1，當

(17)

且k=K1時，有DΘ(k)<α+(p+2)β。

故由式(15)可知，無論DΘ(k)≥β還是DΘ(k)<β，總有DΘ(K0)<α+(p+2)β，證畢。

于是，基于定理2可得系統(5)達到頻率同步的一個充分條件。

證明對于某i,j,由式(5)可知

vi(k+1)-vj(k+1)=(vi(k)-vj(k))+

θj(k)+γ)(vq(k)-vj(k))

(18)

對上式兩邊平方得

(vi(k+1)-vj(k+1))2=(vi(k)-vj(k))2+

E1+E2

式中：

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))

以及

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))2

由定理2，有

θi(k)+γ)-cos(θq(k)-θj(k)+γ))×

(vq(k)-vj(k))+cos(θq(k)-θi(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k))+cos(θq(k)-θi(k)+γ)×

(19)

式中：η為θq(k)-θi(k)+γ和θq(k)-θj(k)+γ之間的一個常數。然后由引理1得

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))2≤

|vq(k)-vj(k)|)2

(20)

由式(19)和(20)得

|vq(k)-vj(k)|)2

(21)

對上式兩邊同時關于i、j求和得

|vq(k)-vj(k)|)2=

(1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2) ×

(22)

因此，有

(1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2)k-K0×

由式(8)、定理2以及hλ<(1-2μ)/4，有1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2<1,故有

4 數值模擬

本節用含有10個Kuramoto振子的系統驗證所得相位同步和頻率同步理論結果的正確性。首先模擬系統(4)的相位同步，相關參數設置如下：步長h=0.02，耦合強度λ=0.5,自然頻率ωi=0.5,i=1,2,…,10，相移γ=π/3，ε=0.001,相位初值Θ(0)= [0.001,π/20,π/18,π/16,π/15，π/14,π/13,π/12,π/10,π/8,π/6]Τ,則初始相位直徑DΘ(0)=π/6-0.001。容易驗證這些參數滿足定理1的條件，振子的相位時間反應曲線如圖2所示。相位最大值和最小相位之差在t=20 s時為0.003 6，其狀態曲線漸近衰減趨勢如圖3所示，可見系統(4)相位能漸近達到同步。

圖2 振子相位的時間反應曲線

圖3 振子相位最大值與最小值之差曲線

對于系統(5)的頻率同步設定如下參數：步長h=0.01，耦合強度λ=40,相移γ=π/4，振子的自然頻率和初始相位值分別設置為Ω=[0.02,0.1,0.16,0.04, 0.14,0.2,0.4,0.6,0.8,1.02]Τ,Θ(0)=[0,π/20，π/19，π/18，π/17，π/16，π/15，π/14，π/13，π/12]Τ，則DΘ(0)=π/12,D(Ω)=1。常數p=0.8，α=0.01,β=0.075,μ=π/13。可以驗證以上參數滿足定理2和定理3的條件，系統(5)中振子的相位和頻率的時間反應曲線如圖4和圖5所示。振子頻率最大值與最小值之差的漸近衰減效果如圖6所示，在時間t=0.3 s時，該差值可以達到4.066×10-5。表明振子的頻率最終可漸近同步到一個穩定值。

圖4 振子相位的時間反應曲線

圖5 振子頻率的時間反應曲線

圖6 振子頻率最大值與最小值之差曲線

5 結論

主要研究了帶有相移的離散時間型相耦合Kuramoto振子系統達到同步問題，分別給出了系統達到相位同步和頻率同步的充分條件。通過分析同一時刻任意2個振子相位差的最大值趨于零時所需條件，給出了該系統達到相位同步的充分條件。在證明頻率同步時，通過設置某一時刻任意2個振子的相位差的上限值，得到了振子相位差的一個有界性質，然后利用這個有界性證明了該模型的頻率同步性。最后數值模擬進一步驗證了最大相位差和最大頻率差的漸近衰減性和有關充分條件的正確性。