2.5D編織復合材料齒輪性能仿真分析

劉舒偉，王旭鵬，，劉峰峰，唐欣堯，張衛亮，薛藤元

(1.西安理工大學 軍民融合防護裝備設計創新研究中心， 西安 710054； 2.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

0 引言

從20世紀60年代開始，眾多學者開始了對三維編織復合材料這一新型材料的研究[1]。2.5D作為三維編織復合材料的一種，同樣大受關注。在齒輪方面，齒輪的彎曲、接觸等性能的研究一直是力學分析的基本要素。國內外眾多學者對其力學性能分析展開了廣泛且深入的研究。

對于材料方面，楊甜甜[2]對2.5D機織復合材料的細觀結構、拉伸彎曲力學性能等進行了試驗及有限元研究。李居影等[3]建立了2.5D復合材料單胞模型，仿真分析了材料沿經向拉伸下的彈性性能，并與試驗進行了對比分析。而在齒輪方面，王羽達等[4]研究了一對直齒圓柱齒輪嚙合時的接觸應力和傳動誤差等的變化。陳龍等[5]構建了能夠用于IGA分析的多片拼接NURBS曲面參數化模型。范乃則等[6]采用有限元軟件Abaqus計算了城軌列車傳動系統不同工況下的應力變化，為齒輪箱的開發應用提供了參考。Ignacio等[7]基于網格細化的多點約束的應用提出了一種能夠以低成本獲得接觸應力和彎曲應力精確結果的有限元模型。裴未遲等[8]基于Abaqus計算了半橢圓形裂紋前緣應力強度因子，并分析強度因子的影響規律。Chavadaki等[9]采用2種合金材料對齒輪彎曲應力和變形進行了詳細的分析。Mohsenzadeh等[10]分析了純聚甲醛和聚甲醛/炭黑納米材料齒輪的嚙合過程。王雁東等[11]針對航空齒輪提出了一種輕量化設計方案。余國達等[12]建立了塑料齒輪嚙合溫度場有限元數值模型，預測了塑料齒輪的嚙合溫度，并與實驗結果進行對比。趙中軒等[13]分析了彈性體高分子復合材料齒輪的嚙合特性，并設計了一種高分子復合材料齒輪磨損量的測量系統。Cerne等[14]制備了碳纖維復合材料與金屬齒輪，對其分別采用試驗及有限元分析，研究了復合材料齒輪的力學性能，并提出了一種提高齒輪力學性能的方法。Lu等[15]制作了聚合物齒輪，建立了相應的疲勞模型，預估了聚合物齒輪的接觸疲勞壽命，并進行了相關疲勞壽命試驗，驗證了有限元的正確性。Lu等[16]建立了具有lunker缺陷的聚合物齒輪疲勞模型，并進行了耐久性試驗。學者們對于齒輪的研究大都集中在它的力學性能上，齒輪本身的材料的研究并不是很多，對于復合材料在齒輪上的應用的研究也較少，因此，針對未來陸上機動平臺對輕量化、高效化傳動裝置的需求，實現碳纖維復合材料齒輪與金屬齒輪同等承載下的減重需求，進行2.5D編織復合材料齒輪的力學性能分析。

基于2.5D編織復合材料的結構特點，將紗線截面假設為八邊形，建立起便于力學性能分析的單胞模型，在單胞模型的基礎上進行其剛度力學性能分析，將2.5D編織復合材料應用到機械齒輪上，基于有限元分析軟件Abaqus對齒輪嚙合進行靜應力分析，以實現齒輪的優化設計。

1 單胞幾何模型

三維編織復合材料可以分為三維多向編織復合材料、三維正交編織復合材料和三維角聯鎖織物復合材料(2.5D編織復合材料)。2.5D編織復合材料主要是采用機織和編織或者半機織半編織的方法成型，經向紗和緯向紗相互纏繞互鎖同時厚度方向的紗線以某一確定的角度與經向紗和緯向紗交織起來[17]，這就使2.5D編織復合材料具有良好的層間力學性能、抗剪切性、結構整體性和可設計性。

1.1 材料模型

2.5D編織復合材料按經紗交織深度可分為淺交聯和深交聯。深交聯結構經紗貫穿整個構件厚度，織物變形量大，淺交聯結構經紗并不貫穿整個結構厚度，結構的表面損傷并不會使整個結構厚度的經紗都斷裂，較好地保持了結構的完整性[18]。淺交聯結構最常見的形式為淺交彎聯和淺交直聯結構。根據紗線的走向和屈曲狀態可將紗線分為兩類：經紗和緯紗，其中部分復合材料根據實際需要沿經紗方向增加了平直的增強紗系。

選定2.5D經向增強淺交彎聯結構為研究對象，如圖1，黑點代表的為緯向紗，繞過緯向紗的為經向紗，虛線代表的為經向增強紗，以此種結構建立其材料實體模型[19]。采用三維實體建模軟件Creo實現單胞模型的參數化建模。根據參考公式得到單胞幾何模型，如圖2所示。

圖1 經向增強淺交彎聯結構示意圖

圖2 2.5D紗線實體模型示意圖

1.2 纖維束彈性性能

2.5D編織復合材料是由纖維束和樹脂基體復合而成，纖維束在軸向方向力學性能最強，其他2個方向力學性能相近，故纖維束可被視為橫觀各向同性材料。基體則各個方向力學性能相近，為各向同性材料。現有文獻一般采用如下公式計算纖維束的等效彈性模量[20]。

E11=vsEf1+(1-vs)Em

u12=u13=vsuf12+ (1-vs)um

(1)

式中：E11為纖維束軸向彈性模量；E22和E33為纖維束橫向彈性模量；G23為纖維束橫向剪切模量；G12和G13為纖維束軸向剪切模量；u23為纖維束橫向泊松比；u12和u13為纖維束軸向泊松比；Ef1為纖維軸向彈性模量；Ef2為纖維橫向彈性模量；uf12為纖維軸向泊松比；Gf12為纖維軸向剪切模量;Gf23為纖維束橫向剪切模量；Em為基體彈性模量；um為基體泊松比；vs為纖維束中的纖維體積含量。

式(1)中組分材料的參數見表1。

表1 組分材料的彈性性能參數 GPa

纖維體積分數(紗線填充因子)為0.8，計算得到纖維束的彈性性能參數如表2。

表2 纖維束的彈性性能參數 GPa

1.3 單胞模型

2.5D經向增強淺交彎聯結構具有周期性。為了節約計算成本，采用單胞模型作為研究對象計算材料的整體力學性能。單胞模型能夠通過平移變換得到材料整體結構，單胞分為內部單胞、表面單胞和棱角單胞，而表面和棱角單胞所占比例較小，故本文只研究其內部單胞，其內部單胞模型如圖3所示。

圖3 內部單胞實體模型示意圖

2 材料有限元分析

將通過計算得到的纖維束的彈性力學性能在Abaqus中對單胞進行有限元分析，從而得到材料整體的彈性性能。

2.1 網格劃分

首先將通過Creo建好的單胞實體模型轉換成中性Stp格式，導入網格劃分軟件Hypermesh中，對纖維束和基體分別單獨劃分網格。由于后期要對其施加周期性邊界條件，故在劃分網格時需劃分周期性網格，相對面的網格節點數目要保持一致，并使相對面的節點一一對應以保持力傳遞的連續性。采用四面體網格劃分方法，單元類型為C3D4R，單胞網格模型如圖4所示，單胞模型結點總數為40 531，單元總數為216 939。

圖4 單胞網格劃分模型示意圖

2.2 周期性邊界條件

單胞模型可以大大減少有限元計算的時間及成本，但單胞模型的力學性能與原材料有一定的差距，所以合理施加邊界條件是獲得準確力學響應的前提。由于施加周期性邊界條件比較復雜，故通過python程序施加多點約束方程，進而施加周期性邊界條件，如圖5所示，分析步采用靜力通用分析步。

圖5 單胞周期性邊界條件示意圖圖

2.3 有限元結果

圖6為單胞模型施加單向拉伸和剪切載荷后材料應力云圖，施加在單胞表面上的位移在內部受到抵抗，在位移的邊界表面上產生邊界節點應力，通過輸出邊界節點的應力，用平均應力除以平均應變即可得到這個方向上的彈性模量。

圖6 單胞受力應力云圖

(3)

為了計算材料3個方向的彈性性能，需要分別對3個方向施加拉伸應力和剪切應力來求解單胞的彈性常數。

基于Abaqus的有限元分析得到材料單胞的各個方向的彈性性能參數，如表3所示。

表3 單胞彈性性能參數 GPa

3 齒輪有限元分析

3.1 模型分析

圖7表示為一對外齒直齒輪嚙合情況，其重合度大于1，N1、N2為兩齒輪基圓公切線的切點，N1N2為理論嚙合線。O2為主動輪圓心，O1為從動輪圓心，A、B為主動輪齒頂與從動輪嚙合的起點位置，齒輪嚙合過程中AD、CB段為雙齒嚙合區，DC段為單齒嚙合區。齒輪傳動過程中齒輪的法向載荷不斷變化。故齒輪在嚙合過程中齒面上產生的接觸壓力也隨著運轉不斷變化，由赫茲應力接觸公式可知：

圖7 齒輪嚙合示意圖

(2)

式中：σH為齒輪所受接觸應力(MPa);E1,E2為齒輪1、2材料的彈性模量(MPa)；u1,u2為齒輪1、2的泊松比；L為接觸面長度(mm)；R1、R2為齒輪1、2的分度圓半徑(mm)；Fn為齒輪所受扭矩(N·m)。

由赫茲公式可知，齒輪所受接觸應力與扭矩呈非線性關系。這是由于扭矩的增大，齒輪由于彈性形變，所受力接觸面積增大，相應接觸應力變小。

3.2 齒輪模型

確定齒輪參數，根據實際齒輪參數在Solidworks中生成一對嚙合齒輪，如圖8所示，齒輪參數如表4所示。

圖8 齒輪嚙合模型示意圖

表4 齒輪參數

3.3 網格劃分

由于計算接觸應力所需網格密度較大，為了減少計算成本，只選取6個齒計算嚙合過程中齒輪所受接觸應力(圖9)。將Solidworks中生成的齒輪導入網格劃分軟件Hypermesh中劃分六面體網格(C3D8R)，單個網格越小，網格越密，計算所得的網格精度越高，但隨之計算時間更長，計算效率更低，故要適當劃分網格密度，本文中網格劃分齒輪的節點數為579 474個，單元數為618 249。然后將劃分好的網格導入有限元分析軟件Abaqus中進行齒輪嚙合性能分析。將計算得到的2.5D編織復合材料的彈性常數附加到齒輪的工程常數中，從而計算齒輪的受力情況。

圖9 齒輪的嚙合過程示意圖

3.4 載荷及邊界條件

在Abaqus中計算動態齒輪嚙合時采用全柔性體的仿真分析方法進行。在齒輪嚙合可能接觸的面上設置接觸對，接觸類型為“面-面”接觸，同時2個齒輪都只給繞Z軸方向的轉動自由度。動態過程中分為2個分析步，分析步類型都采用靜力通用分析步，第1個分析步中給右齒輪施加順時針方向100 N·m的力矩，左齒輪保持不動，模擬齒輪在運動前即將運動的臨界過程，在第2個分析步中給左齒輪中心施加順時針轉動位移，計算齒輪嚙合過程的應力變化。

3.5 有限元結果

3.5.1彎曲應力分析結果

當施加100 N·m的力矩時，主動輪和從動輪所受彎曲應力分布如圖10所示。通過分析可以得到齒輪在齒根所受最大彎曲應力為98.59 MPa。

圖10 最大彎曲應力云圖

分別計算了50～300 N·m間6個不同扭矩下齒輪所受彎曲應力的大小，并繪制出齒輪的彎曲應力隨扭矩變化曲線，如圖11。在許用載荷范圍內，齒輪的最大彎曲應力與扭矩呈線性變化關系。

圖11 彎曲應力-扭矩關系曲線

3.5.2接觸應力分析結果

齒輪在運動過程中，相應齒輪不斷相互接觸嚙合。在直齒圓柱齒輪嚙合過程中，齒面沿軸線方向的節點受力情況基本相同，故而將三維齒輪簡化為二維來分析其受力情況。以從動輪上的一個齒輪作為研究對象，如圖12(a)所示。選取單側從齒頂A到齒根D處的19個節點作為研究對象，分析在嚙合過程中不同節點所受應力變化。

圖12 單側節點選取示意圖

齒輪的齒廓可以分為雙齒嚙合區和單齒嚙合區，以從動輪的一個齒為參考，齒根和齒頂附近的區域為雙齒嚙合區域，中間區域為單齒嚙合區域，如圖12(b)所示。在力學分析中，單齒接觸面上的接觸應力大于雙齒齒面上的接觸應力，所以中間的單齒嚙合區域被認為是最容易損壞的區域。但是雙齒嚙合區域由于突然的沖擊，其所受載荷非常高，甚至可能大于單齒嚙合區域的載荷，因此，齒根和齒頂附近的區域也很容易受到損傷，需加以考慮。

圖13為當施加100 N·m的力矩時，齒輪單面從嚙入到嚙出齒輪所受應力云圖，齒輪從D點開始嚙入，B點其所受應力達到最大值，然后從A點嚙出，形成一個完整的單齒齒面嚙合過程。

圖13 單齒嚙入嚙出應力云圖

圖14為一個齒面上各個節點在嚙合過程中所受接觸應力的變化情況。由圖14可知，該齒面節點在1.2 s齒根開始嚙合，在1.7 s時齒頂結束嚙合。齒輪的最大接觸應力為222.7 MPa，為節點2 171 006所受應力，可知當齒輪嚙合程度達到最大時齒輪所受接觸應力最大。

圖14 單齒嚙合接觸應力變化曲線

圖15為主動輪在一個弧度過程中最大接觸應力隨時間的變化曲線。由圖15可知，當齒輪平穩運行時，齒輪的最大接觸應力呈現周期性變化，變化的一個周期約為0.27 s。在周期性變化的同時其最大接觸應力基本保持不變。

圖15 主動輪最大接觸應力隨時間的變化曲線

同樣，分別計算了50～600 N·m間不同扭矩下齒輪所受接觸應力的大小，并繪制出齒輪的最大接觸應力隨扭矩變化曲線，如圖16所示。在許用載荷下，齒輪的最大接觸應力與扭矩呈非線性變化關系。

圖16 最大接觸應力-扭矩變化曲線

4 結論

將2.5D編織復合材料應用到齒輪嚙合的靜力學分析過程中，分析了不同扭矩下復合材料齒輪的接觸應力和彎曲應力的變化規律：

1) 在許用載荷下，齒輪的最大彎曲應力與扭矩呈現線性變化規律；

2)在許用載荷下，齒輪的最大接觸應力與扭矩呈非線性變化關系。

本研究為2.5D編織復合材料性能分析及其在齒輪傳動系統領域的應用提供了參考。后續將對2.5D編織復合材料齒輪的編織方式和實現進一步研究與探索。