“等差數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)

張娜

等差數(shù)列是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)課題，在數(shù)學(xué)發(fā)展早期已有許多人研究過(guò)數(shù)列這一課題。古埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《萊因特紙草書(shū)》中就有相關(guān)的問(wèn)題。其中一個(gè)問(wèn)題的大意是：

把100個(gè)面包分給5人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的七分之一是較小的兩份之和，則最小的一份為多少？

在巴比倫晚期的《泥板文書(shū)》中也有按級(jí)遞減分物的等差數(shù)列問(wèn)題，其中有一個(gè)問(wèn)題大意是：

10個(gè)兄弟分100兩銀子，長(zhǎng)兄最多，依次減少相同數(shù)目。現(xiàn)知老八分得6兩，問(wèn)相鄰兩兄弟相差多少？

印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)末給出了求末項(xiàng)公式。在我國(guó)公元5世紀(jì)寫(xiě)成的《張丘建算經(jīng)》中，也曾得出這個(gè)公式。自張丘建之后，我國(guó)對(duì)等差數(shù)列的計(jì)算日趨重視，特別是在天文學(xué)和堆棧求積等問(wèn)題的推動(dòng)下，從對(duì)一般的等差數(shù)列的研究發(fā)展成為對(duì)高階等差數(shù)列的研究。在北宋沈括的《夢(mèng)溪筆談》中，“垛積術(shù)”就是第一個(gè)關(guān)于高階等差數(shù)列的求積法。東漢時(shí)期的劉徽在《九章算術(shù)》中已經(jīng)提出求等差數(shù)列各項(xiàng)以及已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)求公差的問(wèn)題。南宋數(shù)學(xué)家楊輝豐富和發(fā)展了沈括的成果。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》和《算學(xué)啟蒙》中得到一系列重要的高階等差數(shù)列求和公式。朱世杰的垛積根差術(shù)，全面地推進(jìn)了宋元數(shù)學(xué)家在這方面的研究工作。

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）通過(guò)生活中的實(shí)例理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義，知道等差中項(xiàng)的概念。（2）能在具體的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，能判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。（3）會(huì)利用定義推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式。

【教學(xué)難點(diǎn)】

（1）通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律以及規(guī)律的符號(hào)化表達(dá)。（2）等差數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納。

【教學(xué)過(guò)程】

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，形成概念

在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了數(shù)列的定義、表示方法，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列。

請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列。

情境1：北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為

9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是

38，40，42，44，46，48. ②

情境3：測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500? m以下的大氣溫度，得到從距離地面20 m起每升高100 m處的大氣溫度（單位：℃）依次為

25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③

情境4：某人向銀行貸款a萬(wàn)元，貸款時(shí)間為n年，如果個(gè)人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開(kāi)始，每月應(yīng)還本金b

=萬(wàn)元，每月支付給銀行的利息（單位：萬(wàn)元）依次為

ar，ar-br，ar-2br，ar-3br… ④

問(wèn)題1：對(duì)于情境1中的數(shù)列，你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其中的取值規(guī)律嗎？

對(duì)于數(shù)列9，18，27，36，45，54，63，72，81，學(xué)生可能很自然地想到“9+9=18，18+9=27…72+9=81”，我們把這種表達(dá)方式改成了“18-9=9，27-18=9，81-72=9”，并在教科書(shū)“邊空”的提示中指出“改變表達(dá)方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了”。然后，用字母代替數(shù)列中的具體項(xiàng)，得到a2-a1=9，a3-a2=9，a4-a3=9…從而使“規(guī)律”呈現(xiàn)出了一般性，由此就容易概括出這個(gè)數(shù)列的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)9。緊接著我們追問(wèn)：你能仿照數(shù)列①的運(yùn)算規(guī)律寫(xiě)出情境2、3、4中數(shù)列的一般規(guī)律嗎？

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生要自己驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其共同的規(guī)律：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。我們?cè)诖藦?qiáng)調(diào)同一個(gè)常數(shù)。

在上述基礎(chǔ)上，我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行共性歸納，然后再用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出等差數(shù)列的概念。

問(wèn)題2：你能描述等差數(shù)列的概念嗎？

我們得到了等差數(shù)列的定義：一般，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作公差，通常用字母d表示。

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生得出定義，并體會(huì)定義中的關(guān)鍵詞，讓學(xué)生把握定義的關(guān)鍵點(diǎn)，為等差數(shù)列的判斷提供依據(jù)和方法。

追問(wèn)1：你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系嗎？

我們從定義中可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系：an-an-1=d（n>1）或an+1-an=d。我們用數(shù)學(xué)符號(hào)表示了等差數(shù)列，得到了遞推關(guān)系。

追問(wèn)2：你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)分析也可以得出相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系：an-an-1=an+1-an（n>1）即2an=an+1+an-1（n>1）。在教學(xué)過(guò)程中，我們要強(qiáng)調(diào)n的范圍，讓學(xué)生形成習(xí)慣，為之后數(shù)列的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

接著，從一般到特殊，我們研究只含三項(xiàng)的等差數(shù)列，給出了“等差中項(xiàng)”的定義及其性質(zhì)。

問(wèn)題3：若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，你能得到a，A，b的關(guān)系嗎？

如果a，A，b成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，我們可以得出A=，我們稱(chēng)A為a，b的等差中項(xiàng)，由此我們引入了等差中項(xiàng)的概念。從數(shù)值上看，等差中項(xiàng)等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)，這可以看成等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)。這里要特別強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)”在等差數(shù)列研究中的重要意義。實(shí)際上，對(duì)于一般的等差數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)，滿足2an=an+1+an-1（n>1），與追問(wèn)2一致。

環(huán)節(jié)二：利用概念，推導(dǎo)通項(xiàng)

研究了等差數(shù)列的概念與遞推公式之后，緊接著我們就想去探究一下等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

問(wèn)題4：設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能從等差數(shù)列的定義出發(fā)推出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

推導(dǎo)1

a2=a1+d

a3=a1+2d

a4=a1+3d

...

an=a1+（n-1）d

這是一種迭代的思想，屬于歸納推理，其正確性需之后的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)一步驗(yàn)證。

推導(dǎo)2

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

...

an-an-1=d（n≥2）

累加：an=a1+（n-1）d

當(dāng)n=1時(shí)，a1亦滿足上式，所以an=a1+（n-1）d。

環(huán)節(jié)三：典例分析，形式特征

我們得到了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，在教學(xué)中我們引導(dǎo)學(xué)生分析通項(xiàng)公式，探究通項(xiàng)公式中涉及的量，引導(dǎo)學(xué)生知三求一，引導(dǎo)學(xué)生明確首項(xiàng)a1和公差d為兩個(gè)基本量，為之后建立方程的思想做準(zhǔn)備。在這個(gè)過(guò)程中，我們可以通過(guò)具體例題加以體現(xiàn)基本量的方法。

例1.（1）已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=5-2n，求{an}的公差和首項(xiàng)及a5;

（2）求等差數(shù)列2，5，8…的第20項(xiàng)及通項(xiàng)公式;

（3）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=6，求{an}的公差d和首項(xiàng)及a5;

（4）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

學(xué)生借助等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，可以得到：

（1）d=an+1-an=5-2（n+1）-5+2n=-2，a5=-5;

（2）由題知a1=2，d=a2-a1=3，

所以通項(xiàng)公式為an=2+（n-1）3=3n-1，a20=59;

（3）d=an+1-an=0，a1=6，a5=6;

（4）由題知a1=-5，d=a2-a1=-4，

所以通項(xiàng)公式為an=-5+（n-1）（-4）=-4n-1，

令-4n-1=-401，得n=100，所以-401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng)。

問(wèn)題5：觀察上述（1）（2）（3）（4）4個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類(lèi)函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生通過(guò)表達(dá)式分析得到與一次函數(shù)有關(guān)，但又區(qū)別于一次函數(shù)，首先是數(shù)列這個(gè)特殊函數(shù)的定義域?qū)е碌膮^(qū)別，函數(shù)圖象是一系列點(diǎn)，但這些點(diǎn)分布在一條直線上。其次我們發(fā)現(xiàn)（3）這個(gè)常數(shù)列的通項(xiàng)公式不是一次函數(shù)。我們將通項(xiàng)公式做變形為an=dn+（a1-d），類(lèi)比于一次函數(shù)y=dx+（a1-d），我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)d≠0時(shí)，{an}就是一次函數(shù)的自變量取正整數(shù)時(shí)的函數(shù)值（如圖1）。

例2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：

（1）1，1，2，3，4…

（2）1，1，1，1，1…

（3）1，3，1，3，1，3…

（4）1，3，5，7，9，…2n-1…

（5）a1=1，an-an-1=2（n≥2）

（6）a1=1，an-an-1=n（n≥2）

（7）an=an+b（a，b為常數(shù)）

（8）2an=an-1+an+1（n≥2）

（9）an=（-1）n

通過(guò)此題學(xué)生可以進(jìn)一步理解等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的形式特征，并總結(jié)判斷等差數(shù)列的方法：定義法、等差中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法。

環(huán)節(jié)四：當(dāng)堂檢測(cè)，課堂小結(jié)

1.已知等差數(shù)列{an}中，a10=10，a12=16，則這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是（? ）

A.-6? ? ? B.6

C.-17? ? ? D.17

2.等差數(shù)列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，則n等于（? ）

A.48? ? ? ? B.49

C.50? ? ? ? D.51

3.已知數(shù)列{an}中，a1=，數(shù)列an=2-，（n≥2，n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=（n∈N*），求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解了等差數(shù)列的概念，可以判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列并能解決等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題。

環(huán)節(jié)五：課后作業(yè)

教材P15（練習(xí)）第1、2、3、4、5題。

環(huán)節(jié)六：課后反思

在本節(jié)課中，我通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而直接得出等差數(shù)列的概念，在給出概念之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的關(guān)鍵字進(jìn)行標(biāo)注并解釋?zhuān)缮瞎?jié)課所學(xué)的遞推關(guān)系提問(wèn)學(xué)生兩項(xiàng)間的遞推關(guān)系，從而得出數(shù)學(xué)表達(dá)式，提問(wèn)三項(xiàng)間的遞推關(guān)系得到等差中項(xiàng)的概念。在這節(jié)課中，我們可以先給出一道例題，讓學(xué)生完成填空，并提出更高的要求，求出數(shù)列的第20項(xiàng)，甚至第2023項(xiàng)。這時(shí)提出：“要有通項(xiàng)公式該有多好啊！”進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。這樣的設(shè)計(jì)可能更為自然流暢，在推導(dǎo)過(guò)程中學(xué)生容易進(jìn)行歸納總結(jié)，所以在此需要強(qiáng)調(diào)歸納總結(jié)之后的結(jié)果需要進(jìn)行驗(yàn)證，在推導(dǎo)過(guò)程中，給出迭代和累加兩種方法，這也是數(shù)列中處理問(wèn)題比較重要的方法。

（作者單位：太原市常青藤中學(xué)校）

編輯：李琴芳