在“圖形與幾何”領域教學中滲透數學思想
——以“三角形的面積”教學為例

李 喆

(哈薩爾路小學,吉林 松原 138000)

數學思想是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓。《義務教育數學課程標準(2022 年版) 》在總體目標中明確提出: “通過義務教育階段的數學學習,學生能獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！盵1]這充分說明了數學思想的重要性。南開大學的顧沛教授也提到: “小學生、中學生、大學生,數學學習的內容雖然不同,但是通過數學課程,滲透數學思想,提高數學素養這一點是共通的?！盵2]可見,理想的教學效果是: 不僅讓學生掌握基本的知識技能,更重要的是體會數學思想。

“圖形與幾何” 領域是小學數學的核心內容之一,對滲透數學思想具有重要價值。人教版五年級上冊“三角形的面積” 屬于“圖形與幾何” 領域中“圖形的測量” 板塊,教師應把數學思想作為重要教學目標,挖掘有助于學生獲得數學思想的素材,將滲透數學思想的任務落實到教學實踐中。一是要使學生在數學活動中經歷觀察空間形式、抽象研究屬性、發現簡單規律、提出數學問題的過程,體會抽象思想,發展空間觀念和幾何直觀;二是要使學生自覺運用數學思想分析和解決問題,體會轉化思想,發展推理意識;三是要使學生經歷建模過程,構建普適的數學模型,體會模型思想,發展符號意識。下面以人教版五年級上冊“三角形的面積” 教學為例,探討如何在“圖形與幾何” 領域教學中滲透數學思想,促進學生核心素養的發展。

一、經歷操作過程,滲透轉化思想

轉化思想是數學思想的核心,它是從未知領域向已知領域的轉化。在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從已有知識和活動經驗出發,運用轉化法自主探索,經歷經驗遷移、操作轉化、歸納概括等活動,探索三角形的面積計算公式,理解、掌握轉化思想,發展學生的空間觀念。

(一) 在經驗遷移中體會轉化思想

“圖形與幾何” 領域的知識具有系統性和生長性,離不開經驗的遷移。教師要有意識地引導學生觀察、比較,找到知識之間的內在聯結點,將已有知識作為新知識的生長點,通過經驗遷移,將新知識的學習轉化到舊知識的系統中,從而擴展原有的認知結構,促使學生高效地學習新知。例如: 在“經驗遷移” 環節,教師首先呈現紅領巾,提出問題: “可以怎樣求三角形的面積?” 學生基于已有知識經驗猜想: “可以把三角形轉化成學過的圖形來求面積。” 接著教師追問: “為什么要轉化成學過的圖形?” 讓學生在說明理由中體會把未知轉化成已知解決問題的方法。最后,配合課件演示回顧上一課時“平行四邊形的面積” 的探究過程,喚醒學生運用轉化法的操作經驗,為探索三角形的面積計算公式做準備。這樣的經驗遷移,能促使學生將新知識化歸到舊知識的系統中,感悟數學知識的內在本質和思想方法上的共性,體會轉化思想。

(二) 在操作探究中感悟轉化思想

“圖形與幾何” 領域所呈現的知識是抽象的,動手操作可以使抽象的知識形象化,是學生探索平面圖形面積公式的重要手段。將動手操作與幾何直觀相結合,能幫助學生理解圖形之間相互聯系、相互轉化的辯證觀念,滲透轉化思想,積累幾何活動經驗。例如: 在“操作轉化” 環節,要突出學生運用轉化法自主探索的活動性。教師首先給學生提供若干個三角形,讓學生基于已有知識和活動經驗自主探索,將三角形轉化成學過的圖形,并貼在紙上。接著,引導學生觀察思考: “轉化后的圖形與原來的三角形之間有什么關系?” 這是引導學生推導三角形面積公式的關鍵。最后,教師組織各小組展示、匯報探究的成果。第一步: 組織學生交流用兩個同樣的三角形拼擺成一個平行四邊形的方法(如圖1 倍拼法);第二步: 組織學生交流用一個三角形沿一條中位線剪開,割補成一個平行四邊形的方法(如圖2 割補法);第三步: 教師呈現《九章算術》中記載的“圭田術曰,半廣以乘正從”,通過“以盈補虛” 的方法把三角形分割、移補成長方形(如圖3 以盈補虛)。通過不同方法的展示交流,使學生體會轉化方法的多樣性,培養創新意識。這樣的操作活動,能使學生在動手實踐中進一步感悟轉化思想,發展空間觀念。

圖1 倍拼法

圖2 割補法

圖3 以盈補虛

(三) 在實踐應用中強化轉化思想

數學練習是教學活動的重要組成部分。通過練習可以深化學生對知識的理解與掌握,強化學生對數學思想的鞏固與運用,提高學生解決實際問題的能力。如在“鞏固應用” 環節,教師設計了一道發展練習: 你能想到哪些轉化方法來計算這個三角形的面積? 課件依次呈現習題中的①至④(如圖4 轉化思想練習題),找到與轉化的方法相匹配的算式并連一連。在這樣的練習活動中,學生先想象,再理清不同轉化方法的計算原理,進一步強化轉化思想。

圖4 轉化思想練習題

(四) 在回顧反思中升華轉化思想

著名數學家波利亞在《怎樣解題》 中將解題分為四個階段,并指出: “回顧已經完成的解答是工作中的一個重要且有啟發性的階段?！盵3]在新知教學后,教師要引導學生回顧數學知識的形成過程,總結經驗收獲,提煉數學思想,促使學生把經歷變成經驗、把思想化成素養。如在“回顧反思” 環節,借助自我反思單元引導學生從三維目標的角度自我反思: 1.我學會了什么? 2.我是用什么方法學會的? 3.對我今后的學習有什么作用? 回顧反思能梳理三角形面積計算公式的推導過程,提煉升華轉化思想,啟發學生將轉化思想拓展到其他數學問題的研究中,為后續學習做好思想方法的鋪墊。

二、突出思維過程,滲透推理思想

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式,包括合情推理和演繹推理兩種形式[4]。在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從已有知識和活動經驗出發,經過比較聯想、歸納概括、演繹推理等活動,推導三角形的面積計算公式,從而使學生的推理能力得到發展。

(一) 在比較聯想中體會類比推理

類比推理是從特殊到特殊的推理方法。類比推理在“圖形與幾何” 領域的應用主要有: 長度、面積、體積單位的認識,周長、面積、體積的概念及公式的推導?！皥D形與幾何” 領域的知識存在著內在聯系和發展,可以通過觀察、比較、聯想,發現相似的性質,達到遷移類比的目的。教學中要注重知識的結構性和關聯性,將不同的知識用同種方法策略關聯起來,形成知識和方法的結構化。例如:在“經驗遷移” 環節,引導學生思考: “根據前面的學習經驗,你們打算怎樣研究三角形的面積?”學生聯想到: “三角形的面積與平行四邊形的面積很相似,我們可以把三角形轉化成學過的圖形來研究?！?學生通過觀察、比較、聯想,建立新舊知識間的聯結,類比平行四邊形面積的推導方法來研究三角形的面積,初步體會類比推理思想。

(二) 在幾何直觀中體會歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理方法。歸納推理在“圖形與幾何” 領域的應用主要有: 找規律、面積和體積公式的推導。歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理,在三角形的面積推導中用到的是完全歸納推理。例如: 在“歸納概括” 環節,分別探究直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。學生在表達與交流中發現這三種不同類型的三角形都能轉化成平行四邊形。接著,引導學生思考:“觀察轉化后的圖形與原來的三角形,你有什么發現嗎?” 借助幾何直觀,學生歸納概括出: “雖然選取的三角形不一樣,但只要是兩個同樣的三角形就能拼成一個平行四邊形。” 學生經歷從特殊到一般的完全歸納推理過程,能理解完全歸納推理推導出的結論具有普適性,體會歸納思想在推導總結一般性規律中的應用,形成初步的幾何直觀和推理意識。

(三) 在結論推導中體會演繹推理

演繹推理是從一般到特殊的推理方法。演繹推理在“圖形與幾何” 領域教學中的應用主要有: 多邊形內角和的推導、體積和面積公式的推導、角的相等證明、多邊形內外角關系的探索。例如: 在運用幾何變換把三角形轉化成長方形或平行四邊形后,通過建立轉化前后圖形之間的等量關系,推導三角形的面積計算公式。這個過程實際上是應用了演繹推理的三段論結構。三段論包括: 大前提、小前提和結論。學生推理過程: 平行四邊形的面積=底×高,兩個同樣的三角形的面積等于平行四邊形的面積,所以兩個三角形的面積等于底乘高,因而三角形的面積=底×高÷2。這樣學生經歷了演繹推理的過程,能運用三段論結構推導出數學結論,初步體會演繹推理思想。

三、圍繞建模過程,滲透模型思想

模型思想是用數學的概念和原理描述現實世界的一種數學結構。《義務教育數學課程標準(2022 年版) 》 指出: “引導學生在真實情境中發現問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題,促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能,體會和運用數學思想與方法,獲得數學的基本活動經驗?！盵5]在教學“三角形的面積” 時,要引導學生從生活情境中抽象出數學問題,通過觀察抽象、操作探究、歸納概括等數學活動,構建三角形的面積模型,讓學生完整且真實地經歷“問題抽象—構建模型—應用拓展” 的過程,滲透模型思想。

(一) 在問題抽象中感知模型思想

數學知識來源于客觀世界,“圖形與幾何” 領域的知識往往能在生活中找到原型。教師要善于挖掘與數學學習相關聯的生活素材,將數學知識與學生生活實際有機融合,促使學生從直觀的生活現象中抽象出數學模型,建立感性認識,幫助學生理解數學模型。例如: 在“創設情境” 環節,教師將學生每天佩戴的紅領巾作為數學原型,并提問: “對于紅領巾,你們想研究什么問題?” 學生從中抽象出數學問題: “紅領巾是三角形的,三角形的面積該怎么求?” 學生經歷從“境” 到“型” 的抽象過程,能加深對三角形的面積模型的認識,初步感知模型思想。

(二) 在多元表征中建立模型思想

數學建模的目的不僅是獲得數學結論,更重要的是在建模的過程中促進數學知識的內化和思想方法的升華。教師要引導學生在直觀的操作活動中主動構建數學模型,鼓勵學生運用多元的表征方式進行數學思考和表達。例如: 在構建三角形的面積模型時,引導學生通過拼擺、割補、等積變形等操作,感悟三角形與轉化后的平行四邊形的底、高之間的關系,嘗試用字母簡潔地表示推導出的數學結論,建立三角形的面積模型: S=ah÷2。學生經歷“情境表征—操作表征—語言表征—符號表征” 這一數學化的過程,能層層建立起三角形的面積模型的清晰概念,深化對三角形面積模型的理解和把握,初步建立符號意識,體會模型思想。

(三) 在解決問題中應用模型思想

生活中存在許多與空間形式相關的信息,一個數學模型往往能解決一類數學問題,因而數學模型具有普適性。教師要鼓勵學生將已經建構的數學模型運用到新的數學問題中,從而提高學生分析和解決問題的能力。例如: 在“鞏固練習” 環節,回歸到課前的情境中,讓學生自己動手測量紅領巾的底和高,利用三角形的面積公式求出紅領巾的面積。這樣學生在解決問題中又一次經歷了運用數學模型解決生活問題的過程,能體會數學模型的應用價值,增強應用意識。

總之,在“圖形與幾何” 領域的教學中,教師要深入挖掘數學知識背后蘊含的數學思想,引導學生通過抽象、遷移、操作、討論、歸納等數學活動,經歷“抽象數學問題—動手操作轉化—歸納概括結論—提煉數學思想” 的過程,讓學生掌握數學思想,并將其內化為自身的數學素養,從而真正實現受益終身。