再話精準教學
—— 核心素養下數學建模教學的幾點體會

羅華偉，羅國建，王少波

（廣東省大埔縣虎山中學，廣東梅州 514299）

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》中提出了數學學科核心素養，明確指出中學生要具備理性思考和解決問題的能力，且首次將“數學建模”作為中學生必備的數學學科核心素養寫入該標準中。教學建模成為高中數學教學的五個主題之一，其重要性和在數學教學中的重要地位不言而喻。數學建模也將成為教學的一個重點和難點。

一、數學建模的內涵與意義

所謂數學建模，是指當我們面對復雜的實際問題時，可以進行數學抽象、化簡，用數學的語言描述問題，用數學的方法構建模型來解決實際問題。數學建模的主要過程包括：將實際問題抽象、化簡，聚焦數學本質，利用相關數學知識和技術手段建立數學模型，最后檢驗和修正模型。從以上概述中可以看出，數學建模就是一個解決數學相關實際問題的過程，是數學通向實際應用的橋梁。在數學建模的過程中，學生感受到了數學在工程技術、科學與社會實際中的廣泛應用，拓展了思維，積累了實踐經驗，提高了實踐能力，增強了科學精神與創新意識。這就有力促進了新時代對優秀人才的培養[1]。

二、數學建模素養如何在課堂教學中落地

開展數學建模教學不僅是新課標的要求，也是高中數學課程改革的現實需要。以往的數學課程注重對數學知識的掌握和理解，而數學建模卻是以數學問題的解決為核心，往往沒有可以直接利用的現成方案，需要學生綜合所學數學知識、構建合適的數學模型、利用適當的數學工具才能求解。所以在以往傳統教學的過程中，遇到此類建模問題不僅僅是學生畏懼，有些時候老師也沒頭緒。可見，數學建模是真正對學生數學能力的培養與考查。

數學建模是一種數學綜合能力，它要求學生要有堅實的數學基礎和嚴格的數學思維，對社會、生活和大自然具有廣泛的興趣和深邃的洞察力。因此，如何培養學生的數學思維、如何提高學生解決問題的能力、如何提高學生對生活和自然界的認知能力、讓數學建模素養在課堂教學中真正落地，我們認為應從以下幾個方面著手：

（一）“建模”能培養學生的閱讀與表達能力

顧名思義，數學建模的重中之重在于“建”，這需要對實際問題中的復雜關系進行數學抽象化簡、聚焦本質，因而學生需要具備較強的閱讀理解能力與數學語言表達能力。在實際教學過程中，我們發現學生建模失敗的一個重要原因是無法進行問題表征，即閱讀理解與數學語言表達能力差，無法挖掘問題描述中各個變量的關系、抓不住要點。只有當學生充分理解題目條件和信息時，才能開展有效的數學建模，提高建模效率。因此，提高學生的閱讀與表達能力是培養數學建模素養的關鍵一步。

在教學中，我們經常遇到具有數學建模背景的應用題、材料題。這一類問題的特點要么是文字材料特別多、變量間的關系較為復雜，要么是關系隱藏很深、表面上看不出明顯的變量關系，需要我們進一步挖掘。遇到這一類問題時，由于現有考試評價機制等問題，一方面，學生往往存在畏懼心理，懷有考試中出現的可能性不大等僥幸心理而跳過不解答；另一方面，教師也可能因為課堂時間所限或者重視程度不夠而忽略對學生的啟發引導，更多的情況是教師簡單分析一下就直接告知變量關系和結果，使學生的閱讀與表達能力沒有得到培養。在課堂教學過程中，教師更應注重傳授學生科學的閱讀方法和技巧，在課堂上敢于分配時間，敢于讓學生大膽推理、大膽表達，鍛煉學生獨立自主的閱讀習慣，提高其認知意識，鼓勵學生多嘗試使用數學符號、圖表、圖形等方式表達隱藏在文字中的相關變量信息，篩選出關鍵內容，加強對學生“建模”能力的培養[2]。

例1：某廠生產經營洗發液，其中200ml裝的洗發液出廠價為每瓶23.1元，400ml裝的洗發液出廠價為35.9元。現該廠生產一種900ml家庭裝大容量洗發液，請你確定洗發液出廠的價格。

解：出廠價格（y）可以簡化為洗發液成本（y1）加外包裝成本（y2），有y=y1+y2；

洗發液成本（y1）與洗發液的體積ω成正比，有y1=k1ω；

外包裝成本（y2）與外包裝表面積Sω成正比，有y2=k2Sω；

洗發液的體積（ω）和外包裝的表面積（Sω）之間可以看成具有函數關系，而體積公式和面積公式中因分別含有立方式與平方式，所以設定；

最后得到模型[3]：

y=k1ω+，代入題中數據即可求得洗發液的出廠價格。

本題是數學建模中的一個典型案例—— 輪廓模型，從題干信息上來看似乎沒有明確說明存在什么變量以及變量間有什么關系，對學生挖掘信息、表征問題的能力要求較高。教師在教學中可以一步步引導學生，如洗發液價格受到哪些因素的影響，還有洗發液的體積和外包裝的表面積存在哪種關系，鼓勵學生大膽嘗試，多假設、多論證。挖掘洗發液出廠價格與洗發液體積的關系以及洗發液外包裝成本與表面積的關系是本題的一個重難點，它需要學生根據生活常識抽取數學關系，并將數學關系符號化。所以，本題對于提升學生的閱讀與表達能力來說是一個較好的鍛煉素材，對發散學生思維、培養學生的閱讀理解能力和“建模”能力也很有幫助。

從上例中，我們應該認識到數學建模并不是單純地求解應用題，因為應用題中的條件、關系如果明確給出，就跳過了發現問題、提出問題和分析問題這些步驟，跳過了“建模”這一核心過程。數學模型的建立需要學生對問題有充分理解，從而對問題進行認知表征。認知表征是利用圖表、文字、符號等方式來描述建模的過程。在這個過程中，學生需要具備較好的形象思維和抽象思維能力。學生在模型建立的過程中，應根據問題信息較準確地進行模型聯想、模型假設，最后完成模型的構建。當然，這也需要學生熟練掌握一些常見的數學模型。學生的這些能力不是一開始就具備的，教師在平常有關數學建模的教學中，應擺脫考試因素的影響，不能因為考試不考或者難度較大等原因就錯過培養學生“建模”能力的機會[4]。

（二）“解模”能加強學生的數學軟件應用能力

數學建模的第二個重難點環節是模型的求解，這要求學生要具備扎實的數學基礎知識，能夠掌握一些高中階段常用的數學軟件以及具備簡單的軟件編程能力。2017年版新課標中也特別提出，教師應注重信息技術和數學課程的深度融合，從而實現傳統手段難以達到的教學效果。

在數學建模問題的求解過程中，很多計算問題成為了學生在前進路上的攔路虎。無法求解模型得到正確答案是數學建模失敗的一個重要原因。在一些數學建模問題中，如數據采集與統計、圖像擬合、優化問題、求高次方程根等問題，筆算過程繁瑣且不易得到答案，這個時候數學軟件就是解決這些問題的利器，是我們數學建模的好幫手。高中階段常用的數學軟件有Excel，幾何畫板、GeoGebra和Matlab等。接下來，筆者以GeoGebra為例展示數學軟件在“解模”中的應用。

例2：某地區不同未成年男性的身高與體重平均值如表1所示：

表1 某地區不同未成年男性的身高與體重平均值

根據上表提供的數據，能否建立合適的數學模型，使它能比較近似地表示這個地區未成年男性體重y(kg)與身高x(cm)的函數關系?試求出這個函數模型的解析式，并預測這個地區一名身高為175cm的未成年男性的體重。

解：這是一個非常典型的數據圖像擬合問題，通過數據判斷身高和體重存在的函數關系，建立身高與體重的數學函數模型，可以選擇在數學軟件GeoGebra中解決這個問題。我們首先把身高與體重的數據輸入GeoGebra的表格區，在繪圖區得到身高與體重的散點圖像，如圖1：

圖1 身高與體重的散點圖像

從散點圖的增長趨勢可以判斷體重與身高的數學函數模型可能是二次函數模型、指數函數模型、冪函數模型等，在GeoGebra中的數據分析區域可以直接選擇雙變量函數回歸模型，得到指數函數模型y=2.004e0.002x與冪函數模型y=0.001x2.103，預測值分別是 63.08、51.84，如圖2、如圖3：

圖2 指數函數模型y=2.004e0.002x

圖3 冪函數模型y=0.001x2.103

也可以選擇多項式模型，設置多項式最高指數為2，即可得到二次函數模型y=0.004x2-0.431x+19.697，預測值是58.83。

如圖4：

圖4 二次函數模型y=0.004x2-0.431x+19.697

直觀地從圖像上來看，三種函數擬合效果都較理想。在圖像下方的符號計算框內輸入175，即可分別得到這個地區一名身高為175cm的未成年男性的體重預測值，計算方便快捷。在得到數學函數模型的同時，GeoGebra也同時給出了數據的平均值、方差、相關系數和殘差平方和等數據特征值，大大降低了運算量。

例2是一個簡單的函數擬合問題，思維難度不大，對于軟件的操作也較為簡單，是數學軟件在建模過程中的簡單應用。例2也可以利用最小二乘法進行筆算，但是非線性回歸還需要通過換元、取對數等方式，其過程計算量偏大且耗時較長。通過例2可以看到，我們利用數學軟件可以降低工作量、簡化解模過程、縮短解模時間，最終提高建模的效率。值得一提的是，教學實踐中存在的現實問題是較多教師對數學軟件不熟悉、不熟練造成的，所以不僅學生需要提高數學軟件的應用能力，教師也應順應教學改革的要求，提高自身的信息化水平，這也是2017年版新課標中明確提出的要求。

（三）“檢模”能提高學生的生活認知能力

模型的檢驗與優化是數學建模的第三個重要環節，也是數學建模的收尾工作，影響著數學模型的優劣。數學模型的檢驗、修正與優化，除了要求學生具備較強的數學綜合能力外，往往也需要學生聯系生活實際、結合客觀事實，因為數學建模的最后一步還是需要回歸到實際問題的解決上來，這就要求學生具備較高的生活認知能力。然而，真實的教學現狀卻是學生對生活常識極其缺乏，對書本以外的知識所知甚少，可謂“吃過豬肉但是沒見過豬跑”。因此，在日常教學過程中，教師應注意激發學生的興趣，多引導學生認真觀察生活，鼓勵學生將學到的數學知識與實際生活相聯系，這樣對數學建模的“檢模”環節有很大幫助。

例3：某農業研究團隊研究某地區玉米在不同生長階段的植株高度時，獲得玉米在不同階段的植株數據，如表2所示：

表2 玉米在不同階段的植株高度

根據上表數據，請建立適合玉米生長階段和植株高度的數學模型。

解：利用Excel擬合數據可以看出，前8個數據點符合指數增長模型，如圖5，得y=0.415e0.705x，但是發現從第9個數據點開始，散點圖形不再符合指數增長的趨勢。結合生活認知可得，玉米植株高度在生長到一定高度后，不可能繼續指數增長（參天大樹一樣高的玉米不符合常識）。所以，我們在第二階段必須修正優化模型，可以選多項式模型擬合，如圖6，得y=2.368x3-78.75x2+875.8x-3076。

圖5 y=0.415e0.705x

圖6 y=2.368x3-78.75x2+875.8x-3076

雖然本題的背景是玉米的植株高度問題，但是本質上仍然符合人口阻滯增長模型（logistic模型），也可以更簡單地構造為分段函數模型。

在上述例2中，我們也需要通過生活認知對模型進行檢驗優化。從圖1來看，雖然指數函數模型對于各散點的擬合效果較理想，相關系數和殘差檢驗都較低，但是基于生活經驗，選擇冪函數模型或者二次函數模型可能會更加符合身高與體重的實際，更符合人們對常識的認知。又例如，在2017新版高中數學必修一的“茶水溫度與時間模型”中，考慮到茶水溫度不會降低到室溫以下這一生活常識，我們結合傳感數據的散點圖可選擇函數y=kax+25（其中25為室溫）為數學模型。如果在建模過程中忽略這一生活常識，就會導致得到的茶水溫度與時間的模型中，隨著時間的推移，茶水溫度會降至零攝氏度的荒謬答案，這也體現了提高學生的生活認知能力對于模型的檢驗具有重要的影響作用。因此，數學建模絕不是一個單純的數學問題，而是要回到“數學建模用數學手段、建立模型解決生活實際背景的有關問題”這一本質。

三、結束語

總之，高中生數學建模的教學應從建模、解模、檢模這三個重要環節入手。這三個環節是學生數學建模過程中的攔路虎。教師在教學過程中應給予重視并要逐個擊破。教師要從培養學生的閱讀與表達能力、加強學生的數學軟件應用能力和提高學生的生活認知能力出發，有效破解數學建模教學中存在的問題，突破重點難點。通過數學建模能力的培養與錘煉，學生不僅學會了數學建模的方法，發現問題和解決問題的能力也得到了提高。同時，這也加強了學生對高中數學知識的理解和應用，有助于提高學生的數學核心素養，從而實現推動數學建模教學的目的，讓數學核心素養真正在課堂中落地生根。