基于SVD的地鐵盾構洞門鋼環空間形態參數計算

張廣龍， 吳繼忠

(1. 昆山市中建項目管理有限公司， 江蘇 昆山 215300; 2. 南京工業大學測繪科學與技術學院， 江蘇 南京 211800)

0 引言

在我國當前地鐵隧道建設中，盾構法兼顧了施工安全、高效、復雜地層適應性和地表沉降控制等要求，已成為主流工法和機械化施工的典范[1]。在盾構法施工中，盾構的始發和接收位置均要設置洞門鋼環。作為盾構掘進的起始和終止位置，洞門鋼環安裝后的中心位置與設計值的偏差須在允許范圍內。洞門鋼環為圓環形，由于直徑較大，為便于運輸，通常由若干分塊拼接而成，盾構的始發和接收均從洞門鋼環內穿過。為確保盾構按照設計路線掘進，在洞門鋼環安裝完成后，需要獲取洞門鋼環的圓心位置、平整度、垂直度、圓度等空間形態參數，再與設計值進行比較。但上述空間形態參數不能直接測得，只能先通過測定洞門鋼環上若干個離散點的三維坐標后，再進行數據擬合間接得到。

安裝后的洞門鋼環是一個空間圓，本質上是空間平面與球面的相交線。已有的數據處理方法總體上可以分為如下3種： 1)直接用最小二乘法原理列出觀測方程。該方法涉及觀測方程線性化和初始值選取[2-4]，實際應用較為不便。2)先擬合空間平面，再將空間平面旋轉，將觀測點旋轉到二維平面上，然后在平面上進行圓擬合得出圓心坐標和半徑，最后將圓心坐標逆旋轉，得到其真實三維坐標[5-6]。該計算步驟涉及2次空間向量旋轉，程序較為繁瑣。3)在空間平面擬合的基礎上，根據空間圓圓心位于任意2個觀測點連線的中垂面上的特性，由空間向量構建中垂面方程分步求解圓心坐標和半徑[7-9]，也可以將中垂面方程和空間平面方程聯合，一步求解出空間圓參數和空間平面方程[10]； 但該方法需要未知參數的初始值，還可能涉及迭代運算。

本文在分析空間平面方程和球面方程特點的基礎上，利用奇異值分解(singular value decomposition,SVD)法一次求得球面方程參數和空間平面法向量，再由上述參數直接計算洞門鋼環空間形態參數； 并結合方差比值檢驗法剔除粗差。將該方法應用于南京地鐵6號線雙龍街出入線2組洞門鋼環的空間形態參數計算，證明了其有效性，取得了較好的效果。

1 SVD解算球面方程及提取平面方程參數

1.1 空間平面

設重心化前的空間平面方程為

ax′+by′+cz′=d。

(1)

則重心化后的平面方程為

ax+by+cz=0。

(2)

式(2)中(a,b,c)為平面的單位法向量，令

(3)

則空間平面擬合的目標函數為

‖A1X‖2=min。

(4)

‖A1X‖2=‖U1S1V1TX‖2。

(5)

由于U1是正交矩陣，式(5)可變換為

(6)

y=V1TX是單位向量，由于σ1≥σ2≥σ3，當且僅當y1=y2=0時目標函數有最小值，此時y3=±1，正負號不影響空間平面姿態。為便于表示，取y=(0,0,1)T，顧及V1正交矩陣的特點，則

X=V1y。

(7)

代入y=(0,0,1)T可知，X的值為V1的第3列。

1.2 球面

設重心化后的球面方程為：

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。

(8)

式中： (x0,y0,z0)為球心坐標；R為半徑。

(9)

令

(10)

實際應用中觀測點數n通常多于4個，則式(9)的目標函數為

‖A2X-b‖2=min。

(11)

(12)

(13)

(14)

令

(15)

則有

(16)

(17)

2 洞門鋼環空間形態參數計算及粗差處理

2.1 數據采集和預處理

洞門鋼環上點采集一般采用無反射棱鏡全站儀，觀測前根據現場條件在洞門附近建立控制點或者通過全站儀自由設站方式獲取設站點坐標。無論采用哪種方式均需要確保設站位置與已有控制點和洞門有較好的通視條件，實現1個測站完成1個洞門鋼環所需點的采集工作，減少誤差積累和產生粗差的可能性。

圖1 洞門鋼環及其觀測點分布Fig. 1 Portal steel ring and distribution of observed points

2.2 空間形態參數計算

利用重心化后的坐標，根據式(10)構建矩陣A2和b，對A2進行奇異值分解； 根據式(12)求解球心坐標(x0,y0,z0)和半徑R，從A2奇異值分解后的正交矩陣V2最后1列中提取平面單位法向量(a,b,c)。

設球心在空間平面上的投影點為(xc,yc,zc)，該點即為空間圓圓心。球心到空間圓圓心的向量垂直于平面，即

(18)

式中t為直線上的任意一點到(x0,y0,z0)距離的量度。

空間圓圓心位于平面上，由式(2)和(18)得到

(19)

因此，空間圓圓心坐標為

(20)

球心到空間圓圓心的距離

(21)

空間圓半徑

(22)

根據上述信息，計算各個點到平面的垂直距離Δdi和平整度m1。

(23)

計算各個點到圓周的最短距離Δri，其實質是點到圓心的距離與半徑之差，再由Δri計算圓度m2。

(24)

(25)

式(25)計算的是洞門鋼環與XY平面之間的夾角，根據實際需要，也可以代入XZ平面或YZ平面的單位法向量，按照相同方法計算出洞門鋼環與XZ平面或YZ平面的夾角。

2.3 粗差剔除方法

SVD方法不具備抵御粗差的能力，當觀測數據中含有明顯噪聲即粗差點情況時，其估計結果必然會偏離真值。在離散點坐標采集過程中，由于施工現場環境的復雜性，有可能造成部分觀測結果中有較大誤差甚至粗差，有必要對誤差較大的觀測點加以剔除，以消除對結果的擾動。此時可通過借鑒方差比值檢驗法[15]，其基本原理如下：

1)利用所有觀測點，計算殘差v和中誤差σ0。

(26)

(27)

式中：α為顯著性水平；r1、r2為自由度。

根據式(27)統計檢驗結果，確定包含粗差的觀測點并將其剔除。上述過程每1輪循環剔除最大的粗差，需要循環多次，直到所有含有粗差的觀測點都被剔除為止。

3 工程應用實例

3.1 數據采集

以南京地鐵6號線雙龍街停車場入場線和出場線的2個洞門鋼環測量為例，采用免棱鏡全站儀，其標稱測角精度為1"，測距精度為1.5 mm+1×10-6D。觀測時在洞門正前方的隧道中線上設置全站儀，利用自由設站完成測站坐標計算和定向，然后直接繞洞門鋼環外邊緣一周采集點的三維坐標。圖2示出了入場線和出場線洞門鋼環重心化后的觀測點。經檢測，觀測點中不含粗差。

(a) 入場線洞門鋼環觀測點

(b) 出場線洞門鋼環觀測點圖2 洞門鋼環觀測點Fig. 2 Observed points on portal steel ring

3.2 數據處理結果

根據第2節描述的計算流程，利用自編軟件實現了相應功能。圖3示出了觀測點到擬合平面和圓的距離。表1給出了洞門鋼環空間形態參數計算結果，為便于比較，還同時給出了某商業軟件的計算結果。

(a) 入場線洞門鋼環觀測點

(b) 出場線洞門鋼環觀測點圖3 觀測點到擬合平面和圓的距離Fig. 3 Distances between observed points to fitting plane and circle

表1 洞門鋼環空間形態參數計算結果比較Table 1 Comparison of spatial shape parameters for portal steel ring

由圖3可以看出： 就入場線洞門鋼環而言，各觀測點到洞門鋼環所在空間平面距離最大為10.8 mm，最小為-9.4 mm；各觀測點到洞門鋼環所在圓最短距離最大為4.9 mm，最小為-5.5 mm。就出場線洞門鋼環而言，各觀測點到洞門鋼環所在空間平面距離最大為7.5 mm，最小為-9.8 m；各觀測點到洞門鋼環所在圓最短距離最大為2.7 mm，最小為-2.6 mm。出場線洞門鋼環觀測點總體質量優于入場線洞門鋼環觀測點。

從表1可以看出，采用2種不同方法計算洞門鋼環空間形態參數的差異很小，洞門鋼環半徑和平整度的結果幾乎一致，中心坐標最大差異為2 mm，圓度的最大差異的0.8 mm，對實際應用的影響可忽略不計。此外，由SVD法提取出平面的單位法向量后，可以得到洞門鋼環與水平面之間的夾角，但商業軟件目前未能提供該項參數。

3.3 粗差探測效果分析

為分析粗差的影響并評價粗差剔除方法的有效性，統一在每組觀測點第1個點的X方向加入1 m的粗差。按照粗差剔除的流程，顯著性水平取0.05，逐個剔除觀測點并進行假設檢驗。圖4示出了每次剔除1個觀測點后得到的方差比值。

圖4 逐個剔除觀測點后的方差比值Fig. 4 Variance ratio after elimination of each observed point

從圖4可以看出，逐個剔除第2個到最后1個觀測點對應的方差比較為接近，只有第1個觀測點剔除后的方差比明顯小于其他結果且通過了假設檢驗，說明粗差定位是正確的。將各組數據的1號觀測點剔除，比較粗差剔除前后空間形態參數的計算結果比較，見表2。

表2 SVD法粗差剔除前后參數計算結果比較Table 2 Comparison of calculated parameters before and after gross error elimination in SVD method

從表2可以看出，在1號觀測點加入粗差后，對空間形態參數計算結果產生了一定的影響。由于2組觀測點數量較多，分別有15個和16個，粗差對結果的影響不明顯，對中心坐標和半徑的影響最大為1.6 cm，但平整度和圓度明顯增大，分別是原來的2倍和13倍左右。粗差剔除后，計算結果與表1中SVD法計算結果局部最大差異僅為1 mm，其結果可靠，說明粗差定位準確。

4 結論與討論

在盾構始發和接收前，必須準確確定隧道洞門鋼環空間形態參數，針對已有方法步驟繁瑣、需要參數初始值迭代運算等不足，提出基于SVD的計算方法，結合該方法的實際應用，得出如下結論：

1)利用SVD法可以一次性解算出球面方程參數和空間平面法向量，再由上述參數直接計算洞門鋼環空間形態參數，該過程無需初始值和迭代計算，步驟大大簡化，SVD法與商業軟件計算結果的差異可忽略不計。

2)SVD法無法抵御粗差的影響，為應對觀測點中可能存在的粗差，應用方差比值檢驗法進行粗差探測。由于事先無法預知哪個觀測點包含粗差，此時需要通過迭代的方式逐個篩選出粗差。在人為加入粗差后，利用方差比值檢驗可準確實現粗差定位，獲得準確可靠的結果，將二者結合具有較好的應用價值。

需要注意的是，SVD法以空間平面方程和球面方程系數矩陣具有的關聯性為基礎，因此只適合于圓形洞門鋼環的處理。對于其他類型洞門環的擬合解算還有待進一步研究。SVD法計算量較小，適用于全站儀機載程序的開發，可實現觀測結果的實時輸出和現場結果檢核。