解三角形中的困惑與策略

王永軍

（重慶市廣益中學校，重慶 400065）

在解三角形中，正、余弦定理具有核心、重要的作用，加之三角形面積公式、三角函數的變換等，構成了解三角形最基本的工具。

一、“誤”解（困惑）與正解策略

（一）“誤”用余弦定理

例1（2020年高考浙江卷）在銳角△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知。

（1）求B；

分析：本題條件簡單、敘述清晰。（2）問在（1）問的基礎上進行解答，B=；由銳角、內角和可得，對cosA+ cosB+ cosC進行變形，可變為；利用正弦曲線得到，于是所求取值范圍為。下面重點探討（1）問的求解。

1.“誤”解（困惑） 用余弦定理化簡求角

為了得到①式，這里雖然省去了詳細的書寫過程，但依然可以清晰想見化簡、轉化的“艱辛與痛苦”，很明顯運算的過程很繁雜 而充滿“技巧”（要不斷向“目標”式子靠近），“一不小心”將“前功盡棄”。

2.正解 用正弦定理化簡求角

這里全程口算。

遇見問題要三思而后行，所謂磨刀不誤砍柴工。通過對比，繁簡自知。

（二）平分秋色

例2 在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、。

（1）求cosA；

（2）求c。

分析：本題條件簡單、敘述清晰，是解三角形的常見題型，屬于中檔題。（1）問由正弦定理、三角函數的二倍角公式易于求得。下面探討（2）問的“誤”解與正解。

1.“誤”解（困惑） 用余弦定理直接求c

即c=3或5。

本題好像就可以結束了。實則不然。若c=3，則由余弦定理可以算得，此時B為鈍角；實際上，，B=2A，由二倍角公式，-1=，這表明B為銳角，與前述矛盾。因此c=3其實為“增根”。經驗證 滿足條件，即為所求。

這里“增根”隱藏得很深，通常的矛盾如大邊對大角（大角對大邊）、負數根等情形都排除不了，的確難以發現。下面的正解可以回避討論、檢驗“增根”，過程略顯曲折。

2.正解

這里解題過程稍顯“復雜”，但其中回避了討論與驗證，干凈利落。

（三）更好選擇，回歸“初心”

例3 （2018年高考新課標全國Ⅰ卷）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2 ，BD=5。

（1）求cos∠ADB；

分析：本題是借用平面四邊形為載體，初看條件，容易看成是平行四邊形模型從而進入誤區（一時半會兒作不出示意圖，耽誤時間、容易焦躁，影響心情、影響考試成績）。解答本題必須先畫出示意圖（圖1），本題是解三角形的常見題型。

圖1

1.“誤”解（困惑）

（1）問用余弦定理先求出AD，再用余弦定理求cos∠ADB，分析思路清晰、求解過程有條有理。

如圖1所示，在△ABC中，∠A=45°，AB=2，BD=5。由余弦定理，，

再由余弦定理，在△ABC中，可算得

這里的計算量是驚人的。從②式到③式，在計算上都十分繁雜，一步錯必將導致后續計算步步錯。下面的正解將從正弦定理的角度來減少計算量，以便達到能夠快捷解題的目的。

2.正解

（1）在ΔABC中，考慮正弦定理，

易見∠ADB為銳角，

（2）由題，∠ADC=90°，故。

在△BDC中，BD=5，，考慮余弦定理，

其實，本題還有更加簡便的解法，可以不用所謂的正弦定理、余弦定理，直接口算。

3.另解：回歸“初心”

如圖2，過點B，作BE⊥AD， E為垂足；作BF⊥CD，F為垂足。易見四邊形BEDF為矩形，△EAB為等腰直角三角形。

圖2

（1）在Rt△EAB中，由勾股定理口算可得；在Rt△EBD中，由勾股定理口算可得。由余弦的定義，即有。

回歸“初心”，“高等”數學“低等”化，不僅會給解題帶來“眼前一亮”的“靈感”，而且會收獲數學解題的快樂與滿足。學習中的“小確幸”也是生活中的“大確幸”。

二、“結構不良”問題的求解探討

（一）憑“直覺”做“恰當”選擇

例4 （2021年高考北京卷）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=2bcosB，。

（1）求B；

（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使 存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度。

①c=2b；

②△ABC的周長為；

③△ABC的面積為。

注意到是求角B，結合正弦定理運用“邊化角”可得，代入數據即有，再由三角形內角和為π、，故B∈ ()。于是2B∈ (0,)，由正弦曲線立即可得，即。

這樣細致的分析有助于后續問題的處理。這里分析得越清楚、透徹，三角形的大致形狀也就會看得越清晰、簡單，這些對數學解題是大有裨益的。

在（1）問的基礎上求解（2）問。（2）問屬于“結構不良”試題的典型問題，極具開放性，對數學邏輯推理的思維層次要求較高。下面主要探討求解（2）問的困惑與應對策略。

1.“誤”解（困惑） 選擇條件①：c=2b

從另一個角度看條件①：c=2b，結合正弦定理知，這表明，與題目條件矛盾。故這樣的△ABC不存在。

考試中的選擇須要快速、精準，不能在條件①上耗費時間和精力，要能夠迅速找到△ABC不存在的理由。其實在前面的解答中（包括題干條件）找不到關于長度、面積等“長度”的度量，而條件①：c=2b其實是“邊”之間的比例關系，如何能求出BC邊上的中線的長度？試想：滿足題目條件的三角形即便存在，由三角形相似可知其也必不唯一，而是有無窮多個，也不合題意。

取BC邊上的中點D。

在△ABC中，結合，由余弦定理可以直接得出BC邊上的中線的長度為。

由a=b、，面積為，于是=，故b=4。從而a=b=4，c=。

類似于上述解答過程，可得BC邊上的中線的長度為。

很明顯，選擇條件②、條件③都能使△ABC存在且唯一確定，而且這兩種情況下的運算量也差不多，都是所謂的“通法通解”的范疇，是學習中應該掌握的精熟的常規解題辦法。

對于條件③：△ABC的面積為，為了求出三邊之長，面積公式的選擇其實是多種多樣的。除了上述常規方法外，還可以選擇（Heron（海倫）公式，其中、（秦九韶“三斜求積”公式）等，但它們都沒有用常規方法解題來得簡潔、快速、高效。

（二）憑“存在”做“合理”推論

例5 （2021年高考新高考Ⅱ卷）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若b=a+1，c=a+2。

（1）若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數a，使得ΔABC為鈍角三角形？若存在，求a；若不存在，請說明理由。

分析：本題（1）問用正弦定理“角化邊”立即可得2c=3a，再由題目條件b=a+1，c=a+2，故a=4、b=5、c=6。

注意到角是銳角，先用余弦定理求出

再由同角關系得到

因此△ABC的面積為。

本題（2）問“誤”解（困惑）點主要是對存在性問題的基本處理方法。一般都是先假設“存在”，加上原題干的條件，再在此基礎上進行合理的邏輯推導，若能順勢求出“存在”那自然就存在了；倘若推出“矛盾”的結果（例如，例4中（2）問中的條件①）那當然先假設的“存在”就不存在了。這種對邏輯推理素養的培養至關重要，其在學習生活中處處有用。

現在回到本題（2）問上來，先假設存在正整數a，使得△ABC為鈍角三角形，試著求出a。

事實上，欲構成三角形，必須兩“邊”之和大于第三“邊”，注意到c最大，故只需a+b＞c ，解出a＞1 。

同時欲使△ABC為鈍角三角形，則角C必為鈍角。由余弦定理、結合三角函數的性質知，只需cosC＜0 ，故，又a＞0，解出1＜a＜3，從而a=2。經驗證，合題。

即存在a=2 ，使得△ABC為鈍角三角形。

三、教學啟示

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。學會從問題的不同側面去處理問題，在對比中學會取舍、感悟、提升，帶著疑問去理解問題、分析問題，真正把解三角形的各種情形進行歸納、總結，要對題目條件、待解決的問題等同時進行化簡、抽絲剝繭，直抵問題的內核。只有經過如此訓練方可舉一反三、熟能生巧。

數學學科核心素養的落地生根離不開對數學問題深入細致的探究。數學運算與邏輯推理相輔相成、相得益彰，借助于直觀想象可對數學抽象進行感知、理解，進而用數學思想來解決生產生活中的實際應用問題、發揮好數學應有的工具性作用。