孤立導體電場線作圖規范探討＊

鄧文官，鐘文虎，張 殷?，文藝臻

（1.廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004；2.桂林市第十八中學，廣西 桂林 541004）

0 引言

電場線可以使電場很多抽象或隱含的信息形象化，這種可視化的圖示手段可以讓學生獲得與實體對象相同的直觀感受，看到“思維”的演變過程，方便對電場概念及特征、規律的理解，提升學生抽象思維能力。借助電場線的圖示，能夠考查學生定性分析問題的能力，所以電場線對學生理解電場這一概念有著至關重要的作用，故電場線的繪制要十分嚴謹。但在一些試題中，出現了同一孤立導體不同的電場線的情況。孤立導體的電場線到底該怎么畫呢？影響導體表面電場線的因素是什么呢？

本文針對以上問題，對不同形狀孤立帶電導體的電場線進行研究，用頭發絲模擬電場線，并借助軟件COMSOL 定性繪制孤立帶電導體的電場線圖像，對比仿真模擬實驗與真實實驗的結果。

1 常見的電場線圖

下列圖1 和圖2 是某些試題中常見的孤立導體電場線圖像，都是相似的孤立導體，但是兩端的電場線情況卻大有不同，課本上寫著導體外表面，越尖銳的位置，電荷的密度（單位面積的電荷量）越大，周圍的電場強度越大[1]。但是圖1孤立導體的左端并非平坦，電場線的密度卻是最小的，這對學生的學習帶來了極大的困擾。那么到底這樣的孤立導體的電場線是什么樣的呢？

圖1 孤立帶電導體電場線圖

圖2 孤立帶電導體電場線圖像

2 理論模型

接下來將依據高斯定理推導出電場分布規律，進而得出卵形帶電導體表面上的電場分布。

2.1 電場分布規律

如圖3 在帶電導體外部電場中，任取一個等勢面，在其上截取一小面積元，面積為S，并設S面的兩個主曲率半徑為和，設S面的法線方向即為電場線的方向，外移一段線元dz，得到一個新等勢面的面積元，面積為S+dS，由高斯定理可知，通過面積元S和dS的電通量相同[2]，即電通量的增量為零：

圖3 微小高斯面S

ρ為曲面的平均曲率半徑。

將公式（3）（8）結合起來，得到

公式（9）即為等勢面的曲率與場強沿電場線方向變化率之間的關系式。由公式可知，在電場中任意一點，沿場強方向每單位長度的電場強度的相對變化率，與該點處等勢面的平均曲率半徑成反比。

3.2 卵形帶電導體表面上的電荷分布

如圖4 所示，令導體凸端A 的曲率大于凸端B，在任一等勢面上（如圖4中的C、C'）相對于A 端部分的曲率都大于B端。

圖4 卵形孤立導體

在導體附近的等勢面形狀和導體表面相似，而離導體足夠遠處等勢面形狀近似為球面。

由公式（9）可知，當等勢面為凸面時，電場線發散，發散程度與曲率成正比。因此，從A 端發出的電場線，發散程度處處大于從B端發出的電場線的發散程度，在球形等勢面上，電場線密度是相同的，由電場線連續性可知，在凸端A附近，同樣數目的電場線所通過的等勢面的面積較小，而在凸端B附近，同樣數目的電場線所通過的等勢面的面積較大，即A端的場強或電荷面密度大于B端的，而且導體凸端越尖，電荷面密度越大。

由上述討論可知，導體表面電荷密度分布，是由電場線發散的情況所決定的。而其在空間某處發散的程度是由所在處的等勢面的曲率決定。因此，導體的電荷面密度分布問題，并不只取決于導體表面所討論點的曲率，而且與導體外和討論點對應的沿電場線方向一系列等勢面曲率分布的總體情況有關。

由公式（10）可知，在已知電場中某點的場強后，導體表面附近的場強Eo沿電場線方向，是對一系列曲率各不相同的等勢面進行空間積分的結果。

如圖5 所示，對于導體表面的平面或球面部分來說，各自的曲率雖然保持不變但每一部分的兩個不同點，它們在導體外沿電場線方向所對應的等勢面曲率分布卻不同，因此，這兩點的電荷面密度并不相同。以上討論可以看出，導體表面電荷面密度分布與表面曲率半徑并非存在簡單的對應關系。

圖5 凸起導體表面電場線與等勢面

由公式（10）可知，當滿足以下兩個條件，即

（1）導體表面所討論部分近似為球面的一部分；

（2）在所討論部分等勢面都是近似為與導體表面同心的球面。

這時，導體表面電荷面密度才與表面曲率半徑成正比關系，但上述兩個條件，對于一般導體來說實際上是難以滿足的。

3.3 數值模擬

COMSOL 軟件是以有限元法為基礎，通過求解偏微分方程的多物理場仿真軟件。擁有強大的繪圖功能，在物理仿真中具有明顯的優勢。

本實驗用到的卵形幾何模型由一端半徑較大的半圓和一端半徑較小的半圓組合而成，如圖6 所示。

圖6 卵形導體幾何模型

根據公式（9）進行數值模擬，在COMSOL 軟件中繪制卵形導體的等勢面與電場線圖像如圖7 所示。從圖7 中可以看到，卵形導體中部曲率半徑較大的地方電場線較稀疏，電場強度較小，尖端曲率半徑較小的部分電場線較密集，電場強度較大。仿真實驗的結果與理論公式推導情況一致。

圖7 卵形導體電場線與等勢面仿真模擬圖

3 發絲模擬實驗

在教材中，采用了在蓖麻油中放入發絲來模擬電場線的分布，本研究將按照教材中的方法對卵形帶電導體的電場線分布進行模擬。

首先，在玻璃槽內倒入深度約為1cm 的蓖麻油，在油中放一些碎頭發并攪拌均勻。玻璃槽旁有接線柱，接線柱與玻璃槽中心的導體相連。實驗裝置如圖8 所示。將維式起電機的放電桿與接線柱連接，勻速轉動起電機，中心孤立導體會在周圍產生電場，在電場中碎頭發被極化，碎頭發分子的正負電荷中心會發生偏移，不再重合[3]。整個碎頭發的一端就帶正電，另一端帶負電，極化的碎頭發在電場中受電場力，無數碎頭發在電場中排列起來的形狀，能夠形象反映出電場的大小和方向，這時就用無數碎頭發在電場中排列起來的形狀表示電場線。

圖8 實驗裝置圖

卵形孤立導體表面的電場線分布情況如圖9 所示，導體中部曲率半徑較大的地方頭發絲較稀疏，電場強度較小，尖端曲率半徑較小的部分頭發絲較密集，電場強度較大。這一實驗現象與理論公式推導的結果一致。

圖9 實驗模擬電場線

在一些考察電場線分布規律的試題中，常常會出現隨意改變帶電導體比例的情況。比如，以下習題來源于網絡復習資料，用的是同一題干，兩個不同的電場線圖，分別為圖10 和圖11。

圖10 錯誤的電場線圖

圖11 錯誤的電場線圖

習題1：兩個不規則的帶電體間的電場線分布如圖所示，已知導體附近的電場線均與導體表面垂直，a、b、c、d 為電場中幾個點，并且a、d 為緊靠帶電體表面的兩點，以無窮遠處為零電勢點，則（）。

A.電場強度大小關系有Eb＞Ec

B.電勢大小關系有φb＞φd

C.將一負電荷放在d點時其電勢能為負值

D.將一負電荷由a點移到d 點的過程中電場力做正功

帶電導體中曲率半徑小的部分電場線應較密集，但圖10 和圖11 的部分區域，曲率半徑小的區域電場線稀疏，電場線繪制隨意?？梢?，命題者改變了帶電導體的形狀，卻沒有根據電場分布規律繪制電場線，電場線沒有嚴格與等勢面垂直，出現了科學性的錯誤。

改編一道試題比新命一道試題的難度要小很多，且易操作。所以有許多教師以書中的例題、習題為基礎改編試題，通過改變原題的題設條件、設問角度考查目標、題型形式等方式進行改編，但若隨意改變，常會出現科學性錯誤。

4 結語

《普通高中物理課程標準（2017 年版，2020 年修訂）》（以下簡稱《課標》）在命題建議中提出，命題應依據學業質量標準和課程內容，要充分考慮對教學的積極引導作用。如果教師在命制試題時，就不夠嚴謹，又怎么能期待學生能夠從中體會到物理的科學性，又如何能培養出嚴謹的科學家態度。綜上所述，在命制試題時，務必嚴謹準確，科學推理加實驗驗證，切實幫助學生建立良好的知識體系，幫助提升學生的物理學科核心素養。