基于殘差修正GM（1，1）模型的采空區殘余變形預測研究

薛永安，冀 哲，張文志

（1.河南理工大學 測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000；2.太原理工大學 礦業工程學院，山西 太原 030024；3.河南省采空區場地生態修復與建設技術工程研究中心，河南 焦作 454000）

地下礦產采出后，開采區周圍巖土體的原始應力平衡狀態被破壞，巖土體上出現位移與變形[1]，對采煤沉陷區土地再利用和建（構）筑物安全運維帶來了安全隱患。剩余變形是采空區地表移動變形基本穩定后的變形，也稱為采煤沉陷區的殘余變形[2]。目前，針對殘余變形預計的研究眾多[3-9]，大多基于開采沉陷的概率積分法進行修正[6-10]，并有殘余下沉系數的計算[11]，同時有基于非線性數學模型的預測方法[4,12]和組合預測模型[13-14]被實踐驗證，對開展殘余變形精準預測模型研究具有較好的參考價值。然而，采空區殘余沉降呈非線性特點，且時間跨度大、變形量小，一般很少開展長時間序列化監測，樣本數據偏少，給預測模型建立及驗證帶來了一定的困難?；疑到y模型是目前解決非線性問題的重要數學方法之一[15]，因其建模時所需數據樣本較少、計算簡單且預測精度較好等特點而被廣泛研究與應用[16-18]，基于灰色系統模型開展采空區地表殘余變形預測具有方法可行性?；疑到y理論體系中，GM（1，1）模型屬于灰色預測的核心模型，針對GM（1，1）模型的改進、優化等預測應用較多，主要從數據預處理[19]、殘差修正[20]、灰色模型背景值優化[21]、綜合改進[22]等角度進行了探索，研究成果及行業應用較為豐富，為灰色系統理論在殘余變形預測領域的深入應用提供了理論與實踐參考?；谏鲜鲅芯楷F狀，從預測結果殘差修正入手，開展針對GM（1，1）模型的后改進研究，對比一元二次多項式擬合修正GM（1，1）0模型和正化殘差后一元二次多項式擬合修正GM（1，1）1模型的預測精度，為老采空區殘余變形精準預測模型構建進行初步探索。

1 殘差修正GM（1，1）預測模型

1.1 灰色GM（1，1）模型

灰色系統模型相比較其它預測模型所需建模信息量小，但預測精度較高，且越靠近預測時間段時預測精度越高。目前，依據不同目的所建立的灰色系統預測模型較多，GM（1，1）是其中較常使用的預測模型之一，主要針對1 個變量建模進行一階灰色預測[23]。

設非負離散數據序列x(0)為：

式中：n 為序列長度。

對x(0)進行一次累加生成，即可得到1 個生成序列x(1)＝｛x(1)（1），x(1)（2），…，x(1)（n）｝，對此累加生成序列建立一階微分方程（GM（1，1）模型）：

式中：a、b 為灰參數；t 為時間。

求出u 后代入式（2），并做累減生成，可得到還原后的原始數據序列預測值x(0)（k）：

當k＜n 時，x(0)（k）為模型擬合值；當k=n 時，x(0)（k）為模型濾波值；當k＞n 時，為x(0)（k）模型預測值[23]。

1.2 監測數據序列插值

GM（1，1）模型是針對等間距數據序列的預測模型，然而受各種因素影響，實際獲取到的變形監測數據序列一般都是不等間距[24]，限制了GM（1，1）模型的應用場景及預測有效性。針對數據不等間距的問題，學者們從不同的角度開展了研究與模型改進[25-27]，其中，插值法通過對原始非等間距監測數據進行等距處理使其等間距化，然后按照等間距數據序列進行建模，最后將數據還原[28]。常用的插值方法包括加權平均法、三次樣條法、拉格朗日法、切比雪夫多項式法和牛頓法，經過對比實驗，綜合考慮插值精度和構造簡便性等因素，選用牛頓插值法作為等間距監測數據序列的構造方法。

設x0，x1，…，xn為n+1 個插值節點，且x≠xi（i＝0，1，2，…，n），牛頓插值多項式的表達式f（x）為[29]：

式中：Nn（x）為牛頓插值公式；Rn（x）為牛頓插值多項式余項。

Nn（x）與Rn（x）的表達式分別為：

1.3 殘差非線性擬合修正

任何1 個復雜的曲線都可以采用1 個多項式來進行描述，也就是說多項式可以逼近任意函數?；贕M（1，1）預測模型所建立的殘差曲線，通過預測值與觀測值確定的殘差序列，使殘差序列的平方和最小，此時的曲線就是利用多項式所建立的殘差非線性擬合曲線，利用該殘差曲線修正所有的預測值，從而達到提升預測精度的目的。

針對非線性特征明顯的采空區地表殘余變形GM（1，1）模型預測值殘差序列，采用一元二次多項式擬合方式對殘差值進行擬合修正，改善GM（1，1）模型的預測精度。

設GM（1，1）模型預測值殘差序列為：

式中：ε(0)（k）為觀測值x(0)（k）與GM（1，1）模型預測值x^(0)（k）之間的殘差；k=2，3，…，n。

對殘差序列的一元m 次多項式擬合函數如下[22]：

式中：k=1，2，…，n-1；m∈［2，n/3］，cp為一元m次多項式系數。

經對比實驗后取m=2，采用最小二乘原理通過迭代法求解cp值，將得到系數值代入式（9），則殘差修正預測值的一元二次多項式如下：

式中：c0、c1、c2為系數。

利用式（10）求得的ε^(0)（k）對ε(0)（k）進行修正，修正公式如下：

1.4 正化殘差非線性擬合修正

預測值殘差序列的符號很難保持一致性，而是在正負之間跳躍，使得對符號一致性有要求的數學模型難以適用。為了提升殘差修正效果，先構建原始殘差值的符號矩陣B，記錄殘差值的正負號。

其中：

將殘差序列進行正化（符號一致為正）處理，構建改進正化殘差序列ε+(0)（k）：

再對正化后的殘差序列利用公式（10）進行擬合，得到殘差修正值ε^+(0)（k）。

將得到的殘差修正值根據原始殘差的符號進行正負恢復，令：

其中：

最后用ε^(1)（k）補償殘差ε(0)（k），預測值x^ε(0)（k）計算公式如下：

2 模型等級與預測精度評價

2.1 模型等級評價

GM（1，1）模型檢驗通常以C、P 值判定，C、P 值的計算方法見文獻［23］，根據C、P 值的計算結果判定GM（1，1）模型精度等級，GM（1，1）模型精度等級評價標準見表1[23]，總體評價時一般取C 值與P 值評價結果中最高等級為模型等級。以C、P 值組合評價GM（1，1）擬合模型的精度等級。

表1 GM（1，1）模型精度等級評價標準Table 1 Accuracy grade evaluation standard of GM（1，1）model

2.2 預測精度評價

一般常用預測誤差平方和、均方誤差、平均絕對誤差、平均絕對百分比誤差和均方百分比誤差5 種指標進行預測模型的預測精度評價[13]，選擇均方誤差和平均絕對百分比誤差組合評價GM（1，1）模型的預測精度，具體計算方法如下[13]：

1）均方誤差（MSE）。以預測誤差值平方和取平方根的平均值MSE 作為評價指標，計算公式如下：

式中：N 為觀測次數；xt（t=1，2，…，N）為觀測值；x^t為xt的預測值。

2）平均絕對百分比誤差（MAPE）。MAPE 以預測值相對誤差絕對值的平均值作為評價指標，計算公式如下：

均方誤差和平均絕對百分比誤差的值越大，預測精度越低，預測模型也越差，反之亦然。

3 試例驗證

3.1 試驗數據

3.1.1 試驗1（等間距數據序列）

收集到陜西省北部某煤礦52406 工作面開采后地表沉降監測數據集，觀測方法為三角高程測量，選取地表沉降趨于穩定后的15 期實測累計沉降觀測值為數據源，以A09 號監測點開展等間距數據序列殘差修正GM（1，1）模型的采空區地表殘余變形預測及結果驗證。A09 號監測點等間距累計下沉觀測值見表2。

表2 A09 號監測點等間距累計下沉觀測值Table 2 Accumulated observation values of A09 with equal time distance

A09 號點共有15 期近似等間距沉降觀測數據，選取該數據中的前11 期數據進行GM（1，1）模型擬合，對后4 期數據進行預測，并對比觀測值分析預測精度。

3.1.2 試驗2（非等間距數據序列）

收集到山西省北部某大型輸水線路下伏老采空區地表沉降監測數據集，觀測方法為二等水準測量，選取19 期實測累計沉降觀測值為數據源，以ⅡR1—1 號監測點開展非等間距數據序列殘差修正GM（1，1）模型的采空區地表殘余變形預測及結果的驗證。ⅡR1-1 號監測點非等間距累計下沉觀測值見表3。

表3 ⅡR1—1 號監測點非等間距累計下沉觀測值Table 3 Accumulated observation values of ⅡR1—1 with non- equal time distance

ⅡR1—1 號點共有19 期非等間距沉降觀測數據，首先對非等間距監測數據按月進行牛頓插值法內插，獲取到等間距監測數據共53 期，然后選取該數據序列中的前47 期數據進行GM（1，1）模型擬合，對后6 期數據進行預測，并對比內插等間距監測數據分析預測精度。

3.2 殘差修正GM（1，1）模型預測結果

記傳統GM（1，1）預測模型為GM（1，1），采用非線性改正進行GM（1，1）模型預測結果殘差修正的模型為GM（1，1）0，采用正化殘差非線性改正進行GM（1，1）模型預測結果殘差修正的模型為GM（1，1）1。

分別采用GM（1，1）、GM（1，1）0和GM（1，1）1模型對試驗1 與試驗2，數據進行預測3 種模型在A09、ⅡR1—1 號監測點的擬合與預測結果對比見表4，3 種模型預測殘差對比如圖1。

圖1 3 種模型預測值殘差對比圖Fig.1 Residuals comparison of predicted values of the three models

表4 3 種模型預測結果對比表Table 4 Comparison of prediction results of three models

由表4 可知：GM（1，1）模型在A09 點與ⅡR1—1 點的擬合平均相對誤差分別為0.07%和44.86%，GM（1，1）0模型分別為0.06%和42.58%，GM（1，1）1模型分別為0.03%和23.26%；GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1模型在A09 點的擬合值殘差中誤差分別為1.62、1.36、0.71，而在ⅡR1—1 點的預測值殘差中誤差分別為0.81、0.80、0.42。顯然，通過對GM（1，1）模型的擬合結果進行殘差修正的GM（1，1）0模型一定程度上提升了模型精度，而正化殘差修正的GM（1，1）1模型精度則較GM（1，1）0模型進一步提升。

由表4 可知：GM（1，1）模型在A09 點與ⅡR1—1 點的預測平均相對誤差分別為0.20%和15.38%，GM（1，1）0模型分別為0.53%和37.99%，GM（1，1）1模型分別為0.16%和6.80%；GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1模型在A09 點的預測值殘差中誤差分別為4.95、11.95、3.85，而在ⅡR1—1 點的預測值殘差中誤差分別為0.32、0.75、0.15。顯然，試驗1 與試驗2 中，GM（1，1）1模型的預測平均相對誤差和殘差中誤差總體較GM（1，1）0和GM（1，1）模型都小，預測效果改善明顯。

圖1 顯示：試驗1 與試驗2 中3 種模型的預測值殘差趨勢一致，GM（1，1）1模型的預測值殘差均最小，GM（1，1）模型次之，GM（1，1）0模型的預測值殘差均最大。綜合表4 中擬合平均相對誤差、擬合殘差中誤差、預測平均相對誤差和預測殘差中誤差，可以看出，采用一元二次多項式擬合方式對殘差值進行擬合修正可以提升GM（1，1）模型擬合的精度，但是模型的預測精度沒有提升，且出現了大幅降低，而采用正化殘差非線性擬合修正則顯著提升了GM（1，1）模型在擬合與預測中的精度。

3.3 模型檢驗與預測精度

計算得到各監測點在3 種預測模型中擬合值的C、P 值和預測值的MSE、MAPE 值，模型等級與預測精度評價見表5。

表5 模型等級與預測精度評價Table 5 Evaluation of model grade and prediction accuracy

由表5 可知：GM（1，1）模型和GM（1，1）0模型在A09 點、ⅡR1—1 點的模型等級均相同，分別為二級、四級，而GM（1，1）1模型在A09 點、ⅡR1—1點的模型等級分別為一級和二級；對比C、P 值可以看出，試驗1 中，模型等級由高到低的順序依次是GM（1，1）1模型＞GM（1，1）0模型＞GM（1，1）模型；試驗2 中，GM（1，1）1模型的模型等級最高（二級），GM（1，1）模型和GM（1，1）0模型則基本一致，均為四級（不合格），通過正化殘差非線性擬合修正實現了GM（1，1）模型的合格化，且模型等級提升為二級（合格）。

由MSE、MAPE 值可以看出，GM（1，1）1模型在A09 點和ⅡR1—1 點的預測精度顯著高于GM（1，1）0和GM（1，1）模型。

3.4 討 論

1）由表4 可以看出，試驗1 與試驗2 中，GM（1，1）0、GM（1，1）1模型的擬合精度均較GM（1，1）模型有所提升，但GM（1，1）1模型擬合精度增益更為明顯。其中，GM（1，1）1模型在A09 點擬合結果殘差的中誤差值較GM（1，1）0、GM（1，1）模型分別降低了48.25%、56.73%，而在ⅡR1—1 點則分別降低了51.85%、52.44%，降幅均達50%左右，對提升GM（1，1）模型預測能力提供了基礎保障。顯然，GM（1，1）1模型相比其它2 種模型更適用于煤礦采空區地表殘余變形預測。

2）由表5 可以看出，GM（1，1）0模型較GM（1，1）模型預測精度提升不明顯，但GM（1，1）1模型較GM（1，1）模型預測精度則提升較大。其中，GM（1，1）1模型在A09 點預測精度的MSE 值較GM（1，1）0、GM（1，1）模型分別降低了48.72%、57.45%，MAPE 值分別降低了60.00%、66.67%。而在ⅡR1—1 點預測精度的MSE 值分別降低了50.00%、50.00%，MAPE 值分別降低了45.38%、48.17%。由此表明，對擬合結果殘差先進行正化處理后再進行非線性擬合修正比直接進行非線性擬合修正后預測的效果要好。

3）殘差修正模型大多對殘差序列有符號要求，目前，對GM（1，1）模型的殘差修正多采用GM（1，1）模型進行，這種修正方式顯然未考慮殘差符號各異性特征。本研究采用非線性多項式擬合作為殘差修正模型，對GM（1，1）模型預測結果進行正化殘差非線性修正，預測精度顯著提高，且該方法對殘差序列無特殊要求，適用范圍更廣，為變形預測模型后改進研究提供了參考。

4 結 語

1）以殘差修正方式對GM（1，1）模型進行后改進處理，試例驗證的平均相對誤差、殘差中誤差、C、P、MSE 和MAPE 值統計結果一致表明，殘差修正對提升GM（1，1）模型預測精度具有明顯的增益，是后改進GM（1，1）變形預測模型的有效方式。

2）采用正化殘差多項式擬合修正的GM（1，1）1模型對提升GM（1，1）模型預測精度具有顯著作用，且該模型不受殘差符號統一性的限制，可直接針對預測值殘差序列進行擬合修正，預測精度進一步提升，模型適用范圍更廣，較GM（1，1）模型和直接采用多項式擬合修正殘差的GM（1，1）0模型更適用于煤礦采空區地表殘余變形預測。

3）C、P、MSE 和MAPE 值的評價結果一致，模型等級高的預測模型其預測精度高，反之亦然，這4 種指標互為補充與支撐，是評價灰色系統模型預測能力的合理評價指標組合。

本研究的工作對老采空區殘余變形預測模型研究具有一定的參考價值，但本研究僅采用了后改進處理方式，未對觀測數據序列進行前改進處理，如卡爾曼濾波、粗差探測與剔除等，今后應就此問題繼續開展研究，推進綜合“前+后”改進的GM（1，1）模型在采空區地表殘余變形預測中的應用，推動非線性系統理論變形預測方法體系發展。