類比視域下的整體教學
——“角”教學實錄與反思*

何麗華 (江蘇省常州市金壇段玉裁初級中學 213200)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自筆者的“子弟兵”，對數學學習熱情較高、思維活躍，且已掌握了線段的相關知識，但學生缺乏“有條理地梳理知識”和“主動地遷移知識”的能力.

1.2 教材分析

“角”是蘇科版七上第6章第2節內容，和線段的學習一樣，角的學習研究蘊含著兩個路徑——幾何概念的抽象路徑(實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示)和圖形的研究路徑(概念→表示→大小→性質→應用)，兩者之間的整體一致，可以讓數學學習露出脊梁，變得精干[1]，感受數學知識的整體統一.

教學目標 (1)借助觀察、操作、思考、歸納等活動過程，進一步理解角的概念；(2)經歷線段與角的類比學習過程，自主整體建構“角的知識結構”，感受幾何圖形學習的基本套路，積累學習幾何圖形的基本經驗.

教學重點 運用類比方法研究角，形成對角的整體認識.

教學難點 用多種表征(圖形、文字、符號等)描述角的概念、角的大小、角的和與差.

2 教學過程

2.1 學前先思，結構整理

問題1前面我們一起研究了什么內容？

生1：直線、射線、線段.

師：我們研究的重點內容是什么？

生2：線段.

師(追問)：有關線段你知道哪些知識？(在學生回答的基礎上，板書圖5中的I部分)

設計意圖引領學生“有條理地梳理知識”，幫助學生尋找新知的“固著點”和“生長點”，也為“主動地遷移知識”作好鋪墊.

2.2 觀察思考，歸納定義

(1)靜態定義

過渡：我們在研究線段、射線、直線的基礎上來學習角的相關知識.

問題2①觀察：觀察兩塊三角板，請找出其中的角.(生略)

②操作：請同學們畫出一個角.(生略)

③思考：請對“角”下一個定義.

④分析：請找出定義中關鍵的字詞.(生略)

⑤舉例：請舉出生活中一些“角”的實例.

生3：兩條線交叉組成的圖形叫作角.

生4：應該是兩條射線組成的圖形叫作角.

生5：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角.

生6：鐘的兩根針形成角……

設計意圖“觀察—操作—思考”調動學生多種感官，抽象出本質屬性，逐步提煉出角的概念內涵；“分析”過程明了概念的嚴謹性；“舉例”過程感受角概念的豐富外延.

(2)動態定義

問題3“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，剛才有同學提出鐘的兩根針形成角，這次請同學們觀察針的運動，類比聯想一下，從“動態”的角度，對角下一個動態定義.

生7：角也可以看作一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

師生順勢探究始邊、終邊、角的內部、角的外部、平角、周角等概念.

設計意圖(1)“動態定義”培養學生用不同視角認識同一事物的能力和意識，也能適切地理解相關概念——角的內部、外部、平角、周角等；(2)“類比聯想”拉近了生活和數學距離，讓學生易于理解，開拓學生思維，感受數學與生活的緊密聯系.

2.3 大膽猜想，類比探究

過渡：從線段的知識結構來看，接下來我們應該研究角的什么內容呢？

生：角的表示方法.

·類比學習1——表示方法

問題4請大家利用表示線段的經驗表示一個角.

先獨立思考，再交流討論(圖1)，形成類比學習的兩種認識：(1)類比——相同之處：研究角的表示方法之前，我們應該把角的關鍵元素表示出來，公共端點即頂點為點O，兩條射線分別記為射線OA,OB，這樣很顯然，可以用三個大寫字母把角表示出來，注意用三個字母表示角時，表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間，如∠AOB；在不引起混淆的情況下，頂點處只有一個角時，角還可以用它的頂點字母來表示，如∠A.(2)類比——不同之處：還可以怎樣表示呢？用小寫字母表示，為了便于區分線段表示方法，角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內靠近頂點處畫上弧線.如∠α；角可以用一個數字來表示，用數字表示一個角時，需在角內靠近頂點處畫上弧線，如∠1.

圖1

圖形變式：將圖2中的角用不同的方法表示出來.

圖2

(生略)

設計意圖(1)采用“對比”形式，感受類比學習的關鍵——數學知識之間的區別和聯系，即線段和角表示方法的相同點——都可以用大寫字母表示，不同點——分別用小寫字母、希臘字母和數字表示；(2)“圖形變式”及時改變圖形，培養從復雜圖形抽離簡單圖形的能力，并鞏固所學知識.

·類比學習2——比較大小

過渡：類比線段的研究思路，我們接下來應該研究什么？

問題5如圖3，怎樣比較兩個角的大小？

圖3

小組活動要求：(1)獨立思考、操作完成；(2)交流討論，共享智慧；(3)選一名代表進行大班發言.

學生代表1：可以先用量角器測量這兩個角，然后再比較角的大小.

師：這組同學比較大小的思路有點像比較線段大小中的什么方法？

生(眾)：度量法.

師(追問)：用量角器測量角的步驟是什么？

生8：一對中，二合線，三讀數.

師：線段測量的單位為cm,dm,m，那么刻畫角的單位有哪些呢？

生9：度.

師：角的度量單位除了小學學過的度，還有分、秒，它們之間的換算類似時間單位之間的換算.還有其他方法嗎？

學生代表2：可以將∠AOB平移至∠EDF處，使得邊OB和邊DF重合，若邊OA在∠EDF的內部，則∠AOB<∠EDF；若邊OA在∠EDF的外部，則∠AOB>∠EDF；若邊OA和邊DE重合，則兩角相等.

師：這組同學比較大小的思路有點像比較線段大小中的什么方法？

生10：疊合法.

生11：疊合法的操作思路與量角器測量角的思路相同.

設計意圖(1)繼續采用“對比”形式，在類比學習中深化了研究，有序地建構了角的知識結構，再一次感受了類比學習方法，積累了經驗；(2)從定性描述角的大小到定量刻畫角的大小、再到角的換算，發展數學運算素養.

·類比學習3——角的和差

問題6我們反思一下，在學習線段疊合時，若存在線段不相等，我們發現了線段可以是某些和差的形式，如AB=AC+BC，AC=AB-BC.類似地，請寫出圖4中有關角的和與差的關系式.(過程略，在學生回答的基礎上完善 圖5中的II部分)

圖4

圖5

師：在剛才三個類比學習過程中，我們應該關注什么？還有什么疑問或問題？(過程略)

2.4 變式練習，及時鞏固(略)

2.5 課堂小結，反思提升(略)

3 回顧與反思

3.1 教學立意

“類比視域下的整體教學”著力用高觀點考量數學教學中的各個要素，對相關教學內容進行統籌重組和優化，以學生思維發展為目標，用類比學習的方式學習新知，突顯數學知識的結構性、邏輯性、整體性，促進學生數學素養的形成[2].主要體現在：

(1)“教”的整體性

教程著眼于“引”，盡力激發學生的求知欲望，引導學生在整體上把握本節課的大致內容和學習方法.

(2)“學”的層次性

學程著眼于“探”，倡導類比學習方式，學程設計從“扶”(類比活動1)到“半扶半放”(類比活 動2)，再到“完全放開”(類比活動3)，讓學生拾階而上，步步為營，逐步引領學生“感受—理解—簡單運用”類比學習方法.層次分明的類比探究歷程讓學生思維的發展更清晰、更全面、更深刻、更嚴謹.

3.2 教學反思

為了落實“類比視域下的整體教學”，本節課主要從三個方面精心展開：

(1)問題——激其思

杜威說，如果我們知道問題是什么、困難在哪里，那么有效的思維便比較容易進行了.發展學生的數學思維，創設高質量的問題情境，讓學生有話可說、有話要說，是至關重要的第一步.本節課一開始，問題1引領學生回顧線段的相關內容，喚醒了已有的知識和經驗，有序梳理知識，形成框架，減少認知負荷，幫助學生建立了新知的“固著點”和“生長點”，也為有序地進行類比探究學習作好鋪墊.問題2和問題3用問題串的形式激發學生深入思考，讓學生完整地獲得了研究對象，而接下來的三個類比探究問題成功地展現了學習的曲折、思維的障礙、理解的誤區……也讓學生理解了類比學習的關鍵——找不同點和相同點，積累了數學基本活動經驗.

(2)探究——明其跡

探究，必須要讓學生經歷知識的產生、發生和發展過程.本節課主要經歷兩個探究路徑：

1)幾何概念的抽象路徑.即“實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示”的抽象過程.具體過程為從學生身邊的學具入手，“觀察—操作—思考”調動學生多種感官，逐步除去非本質屬性，抽象出角的本質屬性，豐富概念學習過程，拉長知識的發生發展過程，完善了“角”概念的內涵；在此基礎上教師繼續引發學生思考：觀察鐘面針的運動并進行類比聯想，從“動態”的角度對角下定義.從感性認識生活中的角到理性認識數學上的角，從靜態和動態兩個角度明確了學習對象，讓學生在具體情境中展開認識活動，使學生經歷完整的抽象過程，獲得學習對象，發展數學抽象素養.

2)圖形的研究路徑.即按照“概念→表示→大小→性質→應用”的路徑展開，這也是學生學習幾何的基本過程.以上兩個一致性的學習過程，如武術的套路一樣，從簡單到復雜，從感性到理性，前后一致，邏輯連貫，既反映了數學知識的邏輯結構，也符合學生的認知規律，更為以后探究其他幾何圖形做好了“宏觀鋪墊”.

(3)關聯——暢其徑

關聯是為了找到知識的聯結和結構，去除遮蔽，關聯不是簡單地用一種思維去替換另一種思維，而是讓思維“能夠充分地從一個點到另一點進行連續的活動”(杜威).整個課堂教學中，為了體現思維的關聯，著重考量以下兩個方面：

1)多重聯系.本節課中多處體現生活與數學的聯系，也多處體現了數學知識之間的聯系(如線段與角之間的聯系、度量法和疊合法的聯系等等).

2)結構認知.由于本章新知識多且雜、新舊知識聯系多，故采用“框架式”和“對比式”結合的板書設計(圖5).這樣的板書設計不僅可以使得本節課的關鍵性知識一目了然，減輕學生認知負擔，利于學生學習、記憶，而且也利于遷移和關聯性思考.