精“追”知識路徑 細“問”思維本真

張 云 (江蘇省江陰市華士實驗中學 214421)

課堂教學是教學設計的“實戰”，教學設計就是一次教師基于教學內容與學生學情的經驗性兼創造性“備課”，協調好預設與生成的關系，成為了課堂教學的關鍵.然而，當下的數學課堂教學是在既定的任務背景下開展的，學生的深度學習不夠；問題過于有指向性，主動探究行為不足；問題的解決方法單一，未充分發揮其價值；學生的創新意識與能力不足；等等.追問是解決這一關系的指示燈與風向標.

追問，特指在開展課堂教學活動的過程中，在學生回答了教師提出的問題的基礎上，教師自身或教師引導其他學生對回答者有針對性地進行“再度提問”，再次激活學生的思維，促使學生進行深入思考與探究的教學策略活動[1].如何在學生學習數學的知識路徑上進行追問，將問題引出沖突，觸發思考，是一個亟待解決的問題.

筆者認為，追問，旨在尋路，在探索與辨析中找準思維方向；實在行路，一步一個腳印，形成思維的持續力；意在鋪路，拓寬并延伸思維，構建知識系統.“逢山開路遇水搭橋”，恰當的追問總可以讓課堂成就一番“風景這邊獨好”的景象.

1 追問應“步步為營”：在新知理解上引發悟性，生成思維因子

課堂教學中對于新知的學習，總是有一個不斷更新、承前啟后、循序漸進的過程.以學生已有的認知和學習經驗為背景，選取適切的情景進行探究活動，在知識的關鍵點、學生新知理解的困頓處實施有效追問，引導學生不斷催生新的理解與悟性，及時捕捉學生的想法與疑惑，就可以實現學生思維因子的萌芽與生長.

案例1二次根式的乘法法則的獲得.

如圖1，矩形ABCD的各頂點都在邊長為1的3×3網格的格點上，則S矩形ABCD=.

圖1 圖2 圖3

師：矩形的面積=長×寬，求出長與寬即可計算面積，如何求出長、寬？

師(追問2)：為什么？可否利用如上的3×3網格進行構造說明？

生4：(思考一會兒)好像不能.

生(眾)：嗯，但是這個內容我們還沒有學習，不知該如何得到這一運算法則.

生(眾)：好像不能.

案例1的教學以“聚焦式追問”展開，它是以若干個連續問題為指引，由外而內、由表及里，前者是后者的基石，后者是前者的提升.“聚焦式追問”一步一個腳印，從學生已有的認知水平和知識儲備出發，步步為營，讓學生主動進行探究活動，有話可說，有據可查，有路可尋，有悟可感，在把握重點、突破難點、強化核心點中聚焦知識本質，在拓寬知識面的同時提升思維能力.

“聚焦式追問”是在課堂教學中師生互動的一種雙邊探究手段.它講究“寬入”：從學生熟悉的知識背景中引出新知，觸發學生的學習欲，展開學生的思維力.在案例1中，代數學習以幾何圖形作為情境預設，幾何網格圖的直觀感知、勾股定理的運算、面積公式的合理應用等很好地貼近了學生認知的最近發展區，讓學生切實感知二次根式乘法的真實存在性，形成新知的第一感知.它注重“嚴出”：在漸進式的追問中不斷聚焦問題、深化認知、提升能力，促進思維.在案例1中，以類比學習開啟追問，在追問2、追問3處產生“疑難”；以特例運算感受二次根式乘法運算結果正確的“可能性”，在追問4、追問5處形成“疑問”；回到已有的二次根式的性質，在追問6處解答“疑惑”，達成知識的焦點核心.

2 追問當“拾級而上”：在問題探究中形成反思，催化思維序列

數學課堂教學的過程，就是學生對知識不斷“數學化”的自然經歷，是發展學生核心素養的重要途徑之一.弗賴登塔爾曾經說過：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”[2].不論是幾何教學中性質與判定的歸納，還是代數運算法則的得出，都是“數學化”的最佳體現.對典型問題中條件與結論的弱化與強化處理，通過不斷追問就可以實現“問題—能力”的雙向轉換，所謂“會一類，通一片”就是這個道理.

案例2“等腰三角形的判定”中的例題教學.

如圖4，在△ABC中，AB=AC，兩條角平分線BD,CE相交于點O.請問OB與OC相等嗎？請說明理由.

圖4

在學生思考一段時間后，有些學生舉手了.

生1：由等腰三角性的“等邊對等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE為角平分線知∠ABD=∠ACE；這樣可證△ABD≌△ACE(ASA)，得AD=AE，從而BE=CD，再證△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

師(追問1)：還有沒有其他的證明方法？

生2：我跟同學1的方法差不多，先證明△BCD≌△CBE(ASA)，再證△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

師(追問2)：能否結合等腰三角形的判定方法來證明？

生3：由等腰三角性的“等邊對等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE為角平分線知∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB，所以OB=OC.

師(追問3)：觀察圖形，結合剛才的證明過程，你還能得到哪些結論？

生4：圖形中的任何一個幾何的邊角元素都可以找到對應的相等元素.

師(追問4)：連結AO，你們又有什么發現？

生5：可證△AEO≌△ADO，可得∠EAO=∠DAO，進而AO平分∠BAC.

師(追問5)：AO所在直線與邊BC之間的關系是什么？

生6：因為AB=AC，AO平分∠BAC，由等腰三角形的“三線合一”，所以AO垂直平分BC.

師(追問6)：如圖5，將問題中的“兩條角平分線BD,CE相交于點O”改為“兩條高BD,CE相交于點O”，或者如圖6，將問題中的“兩條角平分線BD,CE相交于點O”改為“兩條中線BD,CE相交于點O”，那么上述得到的結論是否還成立？

圖5 圖6

學生：經過一定時間的自主探究與合作交流，得到了上述結論仍然成立.

生7：只要有AD=AE，或者類似的一組等量關系，就可得OB=OC，AO所在直線垂直平分BC.

師(追問7)：在△ABC中，AB=AC，點D,E分別在邊AC,AB上，連結BD,CE，相交于點O，若BD=CE，則OB與OC相等嗎？

生8：我覺得是正確的，因為上述幾個例子都直觀給出了這一結論.

生9：我覺得不正確.如 圖7，當給定BD，則在AB邊上，存在點E1,E2，顯然在E1處結論成立，在E2處結論不成立.綜上所述，結論不一定成立.

圖7

案例2中的追問是“變式型追問”，是指在教學過程中，以典型問題為鋪墊，對問題的條件或者結論進行巧妙的弱化或者強化處理，在探究中不斷反思，讓問題由典型成為經典，使方法由熟悉化為巧妙，促能力由單薄為厚實，不斷催化學生的思維序列.

“變式型追問”實現了由“大量重復的、單一的題海教學”變為“精準典型教學”，實現由“量”向“質”的轉變，讓問題“不止于此”.它關注解題方法的變式，讓不同層次的學生都有所“真的”學習與收獲.在案例2中，通過追問1、追問2，充分利用學生已掌握的全等三角形的性質與判定，實現了幾何等量與圖形全等的轉化，達成了問題的解答，也可借等腰三角形的判定方法這一新知，巧妙進行幾何證明，優化解題方法.其次，通過對圖形整體的對稱性認知，在結論上實現突破：以追 問3～5為抓手，將典型問題的圖形關系變得豐富多彩，證明方法精彩紛呈.最后，對問題的條件或結論進行弱化或者強化處理，在類比遷移中識圖、用圖，形成思維序列：再以追問6、追問7為新的探究陣地，在反思中前行，在典型幾何背景中“穿新衣”，拾級而上，再次溫故、思辨、提煉，使學生體驗學習的新認識與新高度.

3 追問必“曲徑通幽”：在認知矛盾處催生思辨，培育思維能力

宋代理學家朱熹認為：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進.”學生學習的進程總不可能是一條直路，更不會一蹴而就，遇到矛盾是一種常態.在認知矛盾處把握時機，恰當地進行追問，在探究中改良，在優化中進級，不斷培育思維能力.追問一方面可以在表象上找出產生錯誤的因素，在糾錯中激發學生的求知欲；另一方面也能于內在處梳理思路，探尋本質，以創造性互動實現學生創新素養的形成.

案例3已知直線y=ax-3x-a是一次函數，求a的取值范圍.

生1：將解析式變形為y=(a-3)x-a，由一次函數的定義，可得a≠3.

師：已知直線y=ax-3x-a的圖象過點A(2,-1)，求a的值.

生2：將點A代入，得a=5.

師(追問1)：一次函數y=ax-3x-a的圖象能否過點B(1,-1)？

生3：當x=1時，y=a-3-a=-3≠-1，所以一次函數的圖象不可能過點B(1,-1).

師(追問2)：一次函數y=ax-3x-a隨著a的取值的變化，其圖象有何特征？

學生陷入沉思……

生4：可以嘗試取定幾個a的值，畫出相應直線，去發現圖象特征.

師：很好，請同學們根據這位同學的思路，取幾個符合題意的a的值，畫出圖象.

生(眾)：所畫的函數圖象都經過一點，這個點為(1,-3).

生5：一次函數y=ax-3x-a隨著a的取值的變化，其圖象經過定點(1,-3)，相當于這些直線繞著點(1,-3)在旋轉.

師(追問3)：剛剛大家通過畫圖發現了這一特征，能否從解析式發現這個結論呢？

生6：要得到直線經過某一個定點，就是該定點與a的取值無關，在之前的代數式學習中，有過“合并所含a的項，其系數應該為0”，由此改寫該函數關系式y=(x-1)a-3x，當x=1時，該關系式與a的取值無關，此時y=-3，即定點為(1,-3).

師：已知點M(-3,0)，求點M到直線y=ax-3x-a的距離的最大值.

生7：將定點(1,-3)記為點Q，點M到直線y=ax-3x-a的距離≤MQ，當MQ與直線y=ax-3x-a垂直時，點M到直線y=ax-3x-a的距離取得最大值=MQ=5.

案例3中的追問是一種“螺旋式追問”，它遵循學生對事物認知的一般規律，由簡到難，由粗略到細致，逐級提升思維水平.通過此種追問方式，將問題由單一到綜合，探尋數學屬性；將知識由弱變強，豐富知識內涵.

“螺旋式追問”打通了學生從低階思維向高階思維發展的路徑通道，對問題的深耕探究，實現了學生“學數學—會數學—用數學”能力的培養.案例3中的追問1，讓學生鞏固一次函數圖象與點坐標之間的關系；繼續追問2，由“圖象過點A，不過點B”這一矛盾思考“一次函數圖象隨著a的不確定，其特征是什么”，產生矛盾的過程也是解決矛盾的關鍵，以“特殊與一般、具體與抽象”為思考點，化抽象的a為具體的數，經歷畫圖的數形轉化，直觀感知圖象經過定點，同時也應認識到“幾個a的值以及畫圖操作來說明一次函數圖象經過定點的不規范性”這一新矛盾.在追問3中，實現數學語言的轉化：含參一次函數圖象經過定點→該定點與a的值無關→含a的代數式的系數為0，進而解決問題.巧用已有知識儲備與關鍵能力，助推新知的學習；妙搭知識框架與思維體系，實現能力的提升.

4 追問需“豁然開朗”：在解題發散中發現價值，提升思維品質

隨著教學資源的不斷豐富，大量的新題不斷涌現，師生疲于解題，對題目真實價值的挖掘不夠，思維定式受到影響.我們可用對關鍵題目的追問來消除定勢，開闊思維，啟迪智慧；在綜合探究中發散與聚攏，使自身有“豁然開朗”之感，領會思維的層級，提升思維的品質.

案例4幾何綜合探究教學.

如圖8，在正方形ABCD中，AB=4，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿線段AB方向勻速運動，到達點B停止.連結DP交AC于點E，以DP為直徑作⊙O交AC于點F，連結DF,PF.

圖8

(1)求證：△DPF為等腰直角三角形；

(2)設點P的運動時間為ts，當t為何值時，點E恰好為AC的一個三等分點？

此題為某區九年級上學期期末考試中的試題，它以正方形為背景，借助動點引入動圓，直觀感知三角形的大小變化，并以正方形與圓的性質證明三角形的形狀；在運動過程中選取臨界位置“E為AC的三等分點”來求運動時間t的值.

一方面，教師的解題是崗位基本功；另一方面，教師的研題是職業追求.追問讓題目有了新的“外衣”，讓“似曾相識”成為“記憶猶新”；追問使教師的業務能力更具專業化，教學引領能力不斷增強；追問讓學生實現深度學習，提升思維水準.

追問1 問題條件不變，求證：△ADE∽△PFE.

追問2 問題條件不變，求證：△FPE∽△FAP.

追問3 如圖9，點P是邊長為2的正方形ABCD的邊AB上一動點，連結DP，交對角線AC于點E，作△ADP的外接圓，交AC于點F，若EF=2AE，則AP的長為( ).

圖9

案例4中的追問是一種“研究性追問”，是指在綜合題探究中對問題進行橫向的并列式追問，使問題的形式多樣化，對問題的分析多視角；或者對問題進行縱向的遞進式追問，對試題進行二 次開發，在研題中體現問題價值，實現思維的本真.

“研究性追問”關注學生的學習力與能力點，需要學生有較好的思維水準，在學生的深度學習上發力.在案例4中，追問1鞏固了基本圖形“圓”的圓周角性質這一知識點，結合相似三角形的判定方法進行證明，適切的追問就是解題的第一步，有了這個“一”，方能有后面的“二、三……”；追問2與原題中的第(1)題相當，是一個并列結論；追問3是研題中的產物，類比于原題中的第(2)題，以課堂追問去研究綜合題中動點引發的結合元素的特殊數量關系或者是數量關系，是一種能力的突破，也是思維品質提升的優異表現.

在當前的課堂教學中，要善于捕捉那些稍縱即逝的契機，作為優化教學行為的生長點，以問題生問題，引發學生思考，激發思維增長，形成良好的“激活效應”.追問于新知理解，感悟知識的生成路徑，讓思維因子有“熱度”；追問于問題探究，反思解題方法與變式拓展，讓思維序列有“寬度”；追問于疑惑矛盾，形成思辨行為和深度學習，讓思維能力有“深度”；追問于問題發散，讓思維品質有“厚度”.