基于“生本”理念的“一題一課”微專題復習課探究
——以“含參函數零點問題”為例*

王先義 (四川省雙流中學 610200)

1 引言

復習課作為高中數學課的課型之一，通過對已有知識的回顧，幫助學生重構和完善高中數學知識體系，培養和提高學生的“四基四能”，發展學生的數學核心素養.微專題復習課作為一種新型的復習課形式，它立足于學情和考情，選擇考試“高頻點”、學習“困難點”、能力“增長點”和“易錯易混點”作為學習內容，它既小又準，既精又透，是促進學生深度復習的重要方式[1].鑒于高一階段學生知識儲備不足，結合微專題復習課的特點，微專題復習課可以作為高一數學復習的重要教學方式，是學生知識的升華、方法的總結、能力的提升、思維的培養和數學核心素養發展的重要陣地.“一題一課”是一種課堂教學模式，是教師通過對一道題或一個材料的深入研究，挖掘其中的學習線索與數學本質，基于學情，科學、合理、有序地組織學生進行相關的數學探索活動，從而完成一節課的教學任務，以此達成多維目標的過程[2].

學為主體、以生為本是數學課堂教學的基本理念，微專題復習課是單元、期中、期末和高考等復習中必不可少的課型，“一題一課”作為一種很有特色的教學模式，與微專題復習課的初衷和理念不謀而合.筆者基于“生本”理念設計了一節微專題復習課，旨在拓寬學生的思維廣度，延展學生的思維厚度，提高學生的思維效度，豐富學生的活動經驗，升華學生的知識體系，滲透數學思想方法，在發現和提出問題、分析和解決問題的過程中不斷提高學生的數學素養.

2 教學內容解析

2.1 內容分析

本節課是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修1)》第三章《函數與方程》的章末微專題復習課，是對函數零點與方程根之間關系的進一步研究，也是高三利用導數研究函數零點問題的重要基礎.此前，學生已經建構函數零點與方程根之間的聯系，能結合兩者之間的關系分析簡單含參函數零點問題.該問題一直是高考命題的熱點，總體呈現出“入易出難，路多口小，層層設卡，步步有難”的特點，因此高考命題者也常將含參函數零點問題作為壓軸題.基于“生本”理念，采取“一題一課”的教學模式，組織學生對一道例題深入研究，通過解法探究、變式訓練、鏈接應用、思想升華，讓學生變中求進、舉一反三，在數學活動中經歷、體驗、內化學習，積累基本活動經驗，完善知識結構、建構方法體系、實現思維升華，發展數學核心素養.

2.2 學情分析

本節課之前，學生已經了解函數的性質、函數零點定義以及方程的根與函數零點之間的關系，并能利用這些知識處理簡單的函數零點問題；對于形式復雜、綜合性強的含參函數零點問題(如分段函數等)，學生目前處理起來較為困難，總體表現出做題時思維混亂、方法選取不當、推理不嚴謹和運算錯誤等.通過“一題一課”微專題的復習，以點帶面，聚焦關鍵內容，幫助學生完善知識網絡，感悟數學思想和方法，實現由“學會”到“會學”的轉變.

2.3 學習目標

(1)回顧函數零點的定義，梳理方程的根與函數的零點的關系，建立兩者之間的等價轉化形式；

(2)利用函數零點的定義和方程的根與函數零點間的關系求含參函數零點問題的參數取值范圍；

(3)在解決含參函數零點問題的過程中，總結解題的方法和技巧，凝練函數與方程、化歸與轉化和數形結合等數學思想.

2.4 評價任務

(1)課前自測要求學生自主完成，并根據課前自測回顧函數零點、方程的根與函數零點之間的關系和零點存在性定理等知識；

(2)通過典例分析，探究出解決含參函數零點問題的直接法、分離參數法和數形結合法等方法，并能選擇合適的方法解決變式訓練；

(3)通過例題和變式訓練的分析，挖掘含參函數零點問題中所涉及的關鍵知識，總結含參函數零點問題的一般解決方法，同時提煉各方法中蘊含的數學思想.

3 課堂實錄

環節1課前自測，知根摸底

(1)已知函數f(x)=lgx+x-10的零點在區間(k，k+1)上，k∈Z，則k=.

(2)關于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+ 14=0有兩個實數根，且一個根大于4，一個根小于4，求m的取值范圍.

師：老師在課前已經布置課前學習任務，下面有請兩位同學來分享一下結果.

生1：k=9，f(x)=lgx+x-10=0?lgx=10-x，再畫出函數y1=lgx和y2=10-x的圖象，然后取x=9，計算y1

師：你這里是運用什么知識進行轉化的呢？

生1：函數y=f(x)的零點?兩函數圖象交點的橫坐標.

師：非常好！將函數零點轉化為兩個函數圖象的交點的橫坐標.還有其他的解決方法嗎？

生2：我是計算得f(9)·f(10)<0.

師：這里f(9)·f(10)<0，那為什么f(x)就有零點呢？

生3：f(x)單調遞增，根據零點的存在性定理可以得到.

師：非常好！這兩種方法殊途同歸.第(2)題怎么做呢？

師：這位同學邏輯嚴謹，思路清晰，大家掌聲送給他.同學們，在解決這兩題的過程中運用了哪些知識？體現了哪些數學思想呢？

生眾：函數的零點、方程的根與函數零點之間的關系、零點的存在性定理等，解決過程體現了數形結合和化歸與轉化的數學思想.

設計意圖設置課前準備環節，目的是先幫助學生回顧舊知和解決函數零點問題的基本方法，同時通過問題對比襯托出含參問題的難度，從而引出今天的學習課題.

環節2回顧舊知，強化概念

師：首先梳理一下上面問題所涉及的基礎知識，函數零點的定義是什么？

生眾：把使得f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.

師：函數y=f(x)的零點可以等價轉化為什么？

生5：函數y=f(x)的零點?方程f(x)=0的實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標?兩個函數圖象有交點的橫坐標.

師：這幾個等價關系是我們解決函數零點問題的思維導向，請同學們理解記憶.零點存在性定理是怎么描述的呢？

生6：對于函數y=f(x)而言，如果f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.

師：這位同學的回答嚴謹嗎？

生4：不嚴謹，缺少條件.

師：缺少什么條件？

生4：缺少“函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線”這個條件.

師：為什么要加這個條件，不加這個條件會出現什么問題？

師：非常棒！僅有f(a)·f(b)<0不一定有零點.這位同學用辯證的思維認識定理中的條件和結論，這種思維在我們數學學習中非常重要.同時，也要注意函數f(x)有零點也不一定有f(a)·f(b)<0，如f(x)=ax2+bx+c(a≠0，Δ>0).

設計意圖在課前自測的基礎上對基礎知識進行回顧，一方面幫助學生建立本節知識的結構和體系，完善學生的認知結構；另一方面辨析概念的易錯點，幫助學生理解和記憶.

環節3團結協作，謀定對策

師：下面我們對含參函數零點問題進行分析，請同學們思考例1，結合前面的知識，小組合作討論，后面我們請小組代表上臺展示分享(6分鐘).

師：下面有請第1小組的代表進行分享.

師：對這個式子沒辦法分析的原因是什么？

生7：g(x)的圖象和性質不確定.

師：能不能對上述式子變形，使得g(x)的圖象和性質確定下來？

學生搖搖頭示意不會.

師：有哪位同學知道怎樣變形可以確定它們的性質呢？

師：你是怎樣想到這樣變形的呢？

生8：我在前面遇見過類似問題，當時答案解析是將所有參數形式合并整理.

師：非常棒！大家掌聲送給他.這位同學借鑒以前的學習經驗分析問題，這說明我們在平時的學習過程中要注重積累，這是我們學習的寶貴財富.函數y1=(2+a)(1-x)，y2=(a+1)(1-x)與x軸都交于點(1，0)且兩函數有且僅有一個交點，即x=1就是函數g(x)的零點，此時y1和y2中的參數a應該滿足什么條件呢？

師：非常好！另外，對于y3=(1-a)x+a+1，參數a應該滿足什么條件呢？

生9：我通過畫圖發現y3的圖象位置與x的系數有關(請學生上臺展示)，若1-a<0，即a>1時，a+1>0，此時a>1，符合題意；若1-a=0，即a=1時，y3=2，符合題意；若1-a>0，即a<1時，a+1<0，此時a<-1，符合題意.

師：(掌聲響起)這位同學思路清晰，對于不確定的問題想到分類討論逐一確定，再運用一次函數中k與圖象之間的關系求解，非常精彩！這里我們已經求出實數a的取值范圍是(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).除此方法之外，其他組還有別的方法嗎？

生10：函數g(x)=f(x)-ax+a恰有一個零點?函數y1=f(x)與y2=ax-a的圖象有且僅有一個交點.因為函數y2=ax-a過定點(1，0)，所以我們可以作出y1和y2的圖象(圖1)，然后通過旋轉y2的圖象可以得到參數a的取值范圍.

圖1

師：怎樣根據旋轉得到a的取值范圍呢？

生10：只要滿足y2與y1不存在第二個交點就可以，也就是a∈(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).

師：非常好！這位同學方法思路嚴謹，快速便捷，根據圖形直接秒殺，真的是“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.其他小組還有不同的解法嗎？

生4：老師，還有一種不同的解法(學生們滿臉詫異).我們組是運用分離參數法進行求解，考慮x=1和x≠1兩種情況作圖就可以解決.

師：請這位同學上臺展示，分享你們組的方法.

圖2

由圖可以看出，當a<-2或-2

師：非常好！這個方法和法2異曲同工，都是結合函數圖象分析求解.在前面我們已經探究發現了三種方法.法1是直接建立參數不等式進行求解——直接法；法2是對方程進行變形，轉化為常見的函數(一次函數、二次函數等)——數形結合法；法3將參數進行分離，然后轉化為求函數的值域——參變分離法.它們是解決含參函數零點問題的常見方法.

設計意圖通過小組合作探究典例的解法，充分發揮學生的主觀能動性，引導學生從不同角度認識同一個問題，實現一題多解，培養學生的發散思維能力，提高學生的分析與解決問題能力，同時在學生分享過程中鍛煉他們的語言表達能力.

環節4深化拓展，感悟思想

師：這些方法是我們解決含參函數零點問題的基本方法，請同學們課后多加揣摩與感悟.下面我們就上面的方法進行簡單應用，請同學們思考變式并完成解答.(4分鐘)

師：哪位同學愿意上來和大家分享一下自己的想法呢？

圖3

生12：可以，這里我們可以將g(x)倒一下就能實現.

師：具體怎么實現呢？

圖4

學生搖頭……

師：老師這里給點提示，對x≠0的情況，前面我們分離參數運用的是全分離參數，那我們可不可以嘗試不全部分離呢？

師：這一種分離參數的方法與前面不一樣，這種思想就是典型的“曲直分離”思想，這種“半分離”的分參方法在我們今后的學習中還會遇到，請同學們課后完善具體的解答過程.同學們，這些題在解決過程中用到了很多數學思想，都有哪些數學思想呢？

生眾：數形結合思想、化歸思想、函數與方程以及分類討論的思想.

師：非常棒！這些思想將會一直引領著我們高中數學的學習，提升我們的數學素養.

設計意圖設置變式訓練的目的是要求學生根據例題的思想和方法，現學現用，促進學生對知識和方法的遷移能力.

環節5課后練習，鞏固提升

設計意圖設置課后練習是為了讓學有余力的學生在新知的基礎上進一步學習，讓他們進一步深入研究復合函數含參零點問題，培養應用意識，提升思維層次.

環節6課堂小結，提煉升華

師：經過這節課的探究，對于含參函數零點問題我們有哪些解決方法呢？

生眾：直接法、數形結合法和分離參數法.

師：在利用數形結合時，等價變形的原則是能作出目標函數的圖象，利用圖象求解參數的取值范圍；分離參數時要靈活應變，有時候采取全分離，有時候采取半分離，分參不是單純地分離單個參數，而是結合題意分離出參數的形式.

4 教學反思

“一題一課”微專題復習課是復習課的一種形式.縱觀本節課例的探究過程，根據學生的實際學情，選擇合適的例題對數學題進行深度挖掘，讓學生自主地探究原題的解法，滲透數形結合、化歸轉化、分類討論和函數與方程等數學思想方法，提升學生對含參函數零點問題的元認知水平，實現專題復習中知識結構化、方法系統化、思想實質化.

4.1 了解學生學情，確定一個主題

美國著名教育家杜威說：“教學必須從學習者已有的經驗開始，學生是學習主體，是課堂主人，一切教學都是為了學生的發展.”專題復習課教學中，由于學生已經具備復習所需的數學現實，更應體現學生為主體.本節課探討背景源于學生的一次周練試題結果，多數學生未能在規定時間內找到解決思路或正確解答，經過分析發現，主要原因在于對含參函數零點問題學生沒有經歷過系統的方法總結和思想提煉，導致碰到這類問題不知從何入手.含參函數零點問題作為高考的熱點題型，為了幫助學生理解和掌握這一類問題的通法，促使學生積累活動經驗，結合“一題一課”的特色教學模式，本文確定了以“基于‘生本’理念的‘一題一課’微專題復習課探究——以含參函數零點問題”為主題的專題復習.

4.2 遴選一道例題，破解一類問題

著名心理學家皮亞杰說：“學習過程并不是個體獲得越來越多的外部信息的過程，而是能動地構建新的認知圖式，不斷完善知識結構的過程.”微專題復習的目標是通過有限的復習使知識結構化、方法體系化，促進學生四基四能的發展.要達成理想教學目標，離不開精選例題.本節選擇一個典型例題，組織學生討論，探尋解決問題的策略與方法，并讓學生自主展示，再總結題中的知識和蘊含的思想方法，讓試題價值最大化，實現“做一題，得一法，會一類，通一片”.這既體現了微專題小、準、精和透的特點，又體現了“一題一課”中例題選擇的層次性、開放性和廣延性等原則[3].在組織教學活動中，讓學生自由發揮，人人參與到活動中，讓學生經歷和體驗問題的解決全過程，感悟通性通法，實現從“解題”到“解決問題”，從知其然到也知其所以然，達到從“就題論題”到“就題論法”再到“就題論道”.

4.3 注重活動過程，提煉思想方法

史寧中教授說：“學生核心素養的形成與發展，本質上不是靠教師‘教’出來的，而是靠學生‘悟’出來的”.[4]這意味著核心素養養成是一個循序漸進的過程，其培育需要給學生‘悟’的時機，給學生‘悟’的載體，才能讓學生積累數學經驗，感悟數學基本思想.在教學中設計小組合作的活動，讓學生在互動交流中觸碰思維的火花，在集體協作中實現問題解決.本例設計了6個探究互動環節，先讓學生了解自己，認清學情，再復習舊知，強化基礎，再小組合作，謀定對策，再變式訓練，拓展深化，最后感悟過程，提煉升華.整堂課都以學生為主體，教師為主導逐步推進教學環節，在環節中給予學生充分的思考和活動時間，讓學生自主去探索問題的解決過程，增強學生的活動體驗，然后再對活動過程進行升華總結，提煉其中的數學思想方法，在學生體驗活動中幫助其積累活動經驗.學生對于單純的數學知識是會逐漸遺忘甚至消失的，而方法的掌握、思想的形成，才能使學生受益終生，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”.