挖掘教材資源 夯實單元復習*

范建兵 (江蘇省蘇州高新區景山實驗初級中學校 215163)

董林偉先生曾說過，數學學習的規律一般為先進行知識的新授課學習，再逐步深入，最后通過反思進行復習鞏固提升，從而對知識形成整體性的認識.新授課主要解決三個問題：為什么學、學什么、怎么學，而復習課則相應解決知識間有怎樣的實質聯系、知識如何運用、知識運用的智慧在哪里三個問題[1].數學教材是學生數學學習最普及、最有效的工具，是最能體現數學課程標準的教學資源.在單元復習教學中，應立足于課程標準的精準要求，在宏觀上理解單元教學內容在整個教材中的地位和作用，從微觀上把握單元教學內容所蘊含的四基，深入研究教材，統整核心內容，挖掘教材內涵，凸顯教材的基礎功能和教學價值，達成知識更清楚、結構更清晰、思路更明確、學習更有效的復習目標，提升學生學習自信與理性精神.現以人教版七年級下冊第五章《平面直角坐標系》為例，結合教材所提供的教學資源，談談對單元復習的思考.

1 以問理知：梳理核心知識，增強問題意識

問題是數學的心臟，數學課堂教學本質上是對問題的教學.好的問題具有兩個特征：一是基于學生認知，符合學生的最近發展區，能夠驅動學生主動思考、積極探究、互動交流；二是符合教師的教學風格，有利于教師引導學生實現高質量和高立意；能把培養學生的問題意識、提高學生提出問題和解決問題的能力貫穿于整個問題之中[2].高效的單元復習應該以問題為載體，將整個單元涉及的概念、性質、應用等數學知識統整起來，將復雜的、抽象的數學知識以問題的形式生動靈活地呈現在學生面前.人教版教材第83頁設置了如下問題供復習選用.

1.在日常生活中，我們可以用有序數對來描述物體的位置.以教室中座位位置為例，說明有序數對(x，y)和(y，x)是否相同以及為什么.

2.平面直角坐標系由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成.請你舉例說明如何建立平面直角坐標系，在直角坐標平面內描出點P(2，4)和原點的位置，并指出點P和原點的橫坐標和縱坐標.

平面直角坐標系的兩條坐標軸將平面分成I，II，III，IV四個部分，這四個部分依次稱為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.請你在直角坐標平面內描出點A(2，1)，B(-2，1)，C(-2，-1)，D(2，-1)的位置，并說明它們所在的象限.

3.平面直角坐標系具有廣泛的應用,請你舉例說明它的應用.

復習體系中的問題，一般都應具有代表性和指向性，能夠在掌握知識技能、提升思維能力、激發數學興趣、開闊數學視野及培養創造精神等方面發揮重要的作用.以上幾個問題不僅有常規性問題(知識指向)，也有開放性問題(應用指向)，能夠考查學生的判斷力、理解力和創造力.問題1意在讓學生理解坐標的有序性，從而認識到學習平面直角坐標系的必要性；問題2意在讓學生認識平面直角坐標系中的相關概念，感悟數與形的相互轉化；問題3開放而多元，指向數學的應用性和價值性，引導學生用數學的眼光觀察世界，理解數學源于生活又服務于生活.復習時通過對章節核心問題的提出與思考，引導學生全面梳理知識并加深理解記憶.這種問題的設計既要有知識性和藝術性，更要有指向性和整體性.除了上述問題，復習中還可以再增加幾個知識性的問題，如：數軸上的點和平面直角坐標系內的點在表示上有什么異同？已知點關于坐標軸對稱點的坐標與原坐標有何關系？能否在平面直角坐標系畫出一個邊長為4的正方形等問題，以幫助學生更全面、更完整地進行復習.

2 以圖理知：梳理知識網絡，構建整體觀念

平時教學就像栽活一棵樹，單元復習好似育好一片林.栽活一棵樹容易，育好一片林要則要花更多功夫.單元復習不是老酒裝新瓶，而是要讓舊的知識帶來新的效率.2022年義務教育課程標準對課堂教學提出了新的要求，復習課堂更要體現新課程的理念，構建知識的結構化和整體性.因此，復習時不僅要引導學生通過“以問理知”實現對知識的全面回顧，更要促使學生理解各個知識點之間的內在關聯，幫助學生將教材內容進行歸類、綜合與整理，形成知識組合，建立整體結構.通過以圖理知的方式幫助學生構建知識網絡，能夠促進學生的整體認知，帶動學生的單元學習觀念.

人教版教材每一單元的復習部分都設計了知識結構圖，供師生復習時參考.圖1是《平面直角坐標系》一章的知識結構圖(教材第83頁),從中可以清楚地了解本章的核心內容：由確定點的位置引出平面直角坐標系的概念，再通過點的坐標來表示點的位置.除此之外 圖1中還滲透了知識學習的必要性和數學思想方法.從教材編排的教學內容出發，也可以梳理出圖2所示的知識結構圖，知道這一章學習幾節內容、每節的主要內容是什么，但這樣的圖示缺少知識之間的關聯性，也不能體現知識背后對數學思想和學習能力的教學要求.

圖1

圖2

從復習的角度看，上述兩圖都略顯抽象和單薄，大部分學生只見森林而不識樹木.為了讓學生對細微的知識點有更清楚的了解，幫助學生將零散的知識串聯成網，以點帶面，提高復習效果，可以讓學生在復習時自己繪制知識網絡圖，把一系列的知識信息變成容易記憶的、有邏輯關系的圖畫，讓學生在梳理知識的同時理解知識結構、明確知識關聯，實現復習的針對性和有效性.圖3和圖4是學生在本章復習時繪制的知識網絡圖，雖然邏輯關系稍有混亂，知識內容不夠完整，但這樣的知識網絡圖有學生自主構建和自我思考的過程，能夠體現學生在知識梳理和邏輯表達上的個性思考，有利于提高學生的記憶效果，形成整體學習觀念，培養學生的認知能力和思維能力.

圖3

圖4

3 以題理知：剖析典型例題，提高應用意識

以問理知喚醒學生對知識的回憶，以圖理知構建知識的整體性和關聯性，但學以致用才能真正實現數學學習的應用價值.數學家波利亞認為：中學數學教學首要的任務就是加強解題的訓練.單元復習時可以通過對教材中典型例題或習題的再認識和再探究，更好地達成單元復習的目標.從解題中的“是什么”想到“為什么”，從“解題感悟”到歸納“思想方法”，這是一個自然的、合理的、科學的提升過程[2].美國教育心理學家加涅認為，任何一個學習過程都是有層次的，由簡單到復雜、由低級到高級排列而成.由于學生的學習存在主體差異性，因此單元復習的例題設計要緊密結合學情，遵循學生的認知規律，選擇更有典型性和知識性的例題，以幫助學生更好地回顧、梳理、重構單元主題內容.

(1)選題

平面直角坐標系這一章要注重學生從具體到抽象的能力培養，讓學生從數表示點坐標過渡到用字母表示點坐標，克服七年級學生對字母的生疏感和畏懼感，并利用坐標法解決相關問題.因此，我們需要選擇基礎性、典型性的例題，既要讓知識能夠有效聚焦，體現數學思想方法，又要讓學生感悟知識的應用，實現能力的增長.教材第84頁第2題就是這樣的好題(圖5).

圖5

(2)講解

例題的選擇要能夠體現從特殊到一般、從簡單到復雜，兼顧不同學生的認知水平.復習課中的例題不能只講是什么，更要講為什么，也要培養學生問題解決的一般策略，逐步引導學生思考如何做、用什么方法做、為什么這么做、這一類問題怎么做.將題目的歸納提煉成解決問題的規律，有利于學生理清問題的本質，提升學生的抽象意識和應用能力.上述例題對于大部分學生來說是比較容易解決的，但從章節復習的視角看還是建議從問題入手，讓學生在思考與探究中喚醒與生長：①你能寫出這個多邊形的各個頂點坐標嗎？②坐標(2，4)和坐標(4，2)表示的是同一個點嗎？③這些頂點中哪些是關于坐標軸對稱的？④你能求出這個多邊形的面積嗎？⑤移動坐標系或者八邊形，點的坐標會發生變化嗎？ ⑥從題中你能夠感悟到哪些數學思想方法？你還能提出哪些與本圖形有關的問題等.經典例題的價值就在于它的基礎性、應用性和融合性，通過對以上幾個問題的思考，引導學生用數學的眼光觀察圖形、用數學的語言表達問題，全面提高學生的數學素養.

(3)引申

一個好的數學問題，除了結論具有知識性和應用性，更需要有一定的推廣價值.皮克定理就具有這樣的推廣潛力，它可以推廣到更一般的多邊形，邊可以交叉，中間可以挖掉多邊形，還可以推廣到不同形式的格子點，甚至可以推廣到三維空間的多面體.這樣的引申重點不在于皮克定理是什么，而在于如何去發現、探索、猜想并證明一個定理，這才是學數學的重要方面.希望每位學生都不要只顧著解題與技巧，而忽略了數學結論背后那些精彩而又美麗的探索與發現的過程.

杜威提出：“教育就是已有經驗的重組和再造，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力.”新授課中單純的數學活動或單一的知識聯系，已不能再生數學經驗，只有通過復習課將各個零散的知識和技能、方法和思想整合成一個系統，讓學生的知識建構更全面、更系統，方法結構更嚴密、更優化，從而將知識與能力融為一體[1].從數學的本質出發，深度挖掘教材復習資源，在抽象、邏輯推理和應用中尋找復習的一般策略，能夠促進學生的深化和發展，提升學生的數學核心素養.