指向數學理解的“正數與負數”教學設計與思考

黃賢明 (江蘇省蘇州高新區景山實驗初級中學校 215129)

1 引言

隨著《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準》)的頒布，義務教育階段負數的學習有了新變化.在小學階段，負數的認識從“數與代數”領域剝離出來，安排到“綜合與實踐”領域的第三學段，設計了“如何表達具有相反意義的量”的主題活動.活動中強調負數的情境解釋，感受負數是源自生活且服務生活的數，發展學生的數感.在初中階段，《標準》中添加了“理解負數的意義”這一內容要求，并給出了相關案例，以期從歷史的角度發現負數引入的目的與意義，感悟負數的本質特征，并弘揚中華優秀傳統文化.數學知識的學習是一個螺旋上升的過程，小學階段的負數歸為“綜合與實踐”，其目的是以數學活動為載體，讓學生在生活中感受、發現、表達具有相反意義的量，并在歸納、比較中感悟負數的價值，即“了解負數的意義”；初中階段的負數學習則強調“理解”，不僅是對負數本身的理解，更是對其符號意義、數學價值、文化價值等多角度、高水平的理解.

2 數學理解的內涵闡述

2.1 數學理解的內涵

“理解”作為描述結果目標的行為動詞，《標準》中給出的含義是：描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系[1].數學學習重在理解.從結果上看，數學理解是指學習者能夠描述相關數學對象的內涵、區別、聯系，形成知識網絡，并能夠隨時提取應用于數學解題；從過程上看，數學理解是在認識數學對象外部表征的基礎上，找尋新舊知識之間的聯系，并納入學習者的原有認知結構，形成新的平衡，從而達到對數學對象的本質認識與理解[2].不難發現，數學理解是建立在學習者原有經驗的基礎上，通過教師的引導，促使學習者對新舊知識形成聯結，以此達到理解數學對象的本質并將其應用于解題的目的.

2.2 數學理解的過程模型

從過程上看，學習者的數學理解是一種內在心理過程，更是一個層級發展的過程.學生數學理解的發展會依次經歷五個階段[3]，即理解層級過程模型(如圖1).經驗性理解是學習者基于原有經驗而對數學對象產生的起始性理解.這種理解大多是淺層的、不全面的，僅僅是學習者對日常生活中對客觀事物的體驗與感悟.形式化理解是學習者在一定的刺激下，將經驗進行整理、組織、重新表征，使學習對象與其原有認知結構構建聯結，進而形成對新知本質屬性的認識.結構化理解是一種結構關聯型的理解，強調對數學對象及其知識體系脈絡的把握.遷移性理解是在結構化理解的基礎上，能夠靈活將新知遷移到陌生的情境中，解決探究性、拓展性的數學問題.文化性理解有兩層含義，一是學習者對數學對象背后所蘊含的數學文化的認識與理解，二是學生通過歸納小結數學知識體系，積累數學活動經驗，理解學習過程中的數學思想方法，形成良好的數學素養、數學品格.文化性理解貫穿于數學理解性學習始終，同時各理解層級也為文化性理解奠定基礎，提供“養料”，最終構成相互作用、共同發展的有機整體.

圖1

3 指向數學理解的教學設計

3.1 情境創設：激活經驗性理解

問題1小學階段我們學習過很多“數”，在下面這則自我介紹中出現了哪些數？

活動1嘗試將這些數按照一定的規則分類.

教師引導學生逐漸完善對這些數的刻畫，指出有限小數可以轉化為(視為)分數.

數的產生最早源于人類的計數、排序，產生了數1，2等正整數.由于要表示“空位”“沒有”，數0就應運而生.又隨著測量、分物的需要產生了(正)分數……這些數夠用嗎？在生活中你是否發現了這些數？

情境1 (地理知識)珠穆朗瑪峰海拔8 848.86 m，艾丁湖海拔-154 m.

情境2 (氣象知識)全國最低氣溫預報，其中黑龍江省-20℃，廣東省20℃.

情境3 (社會經濟)2020年我國居民人均可支配收入增長4.7%，居民人均消費支出同比增長-1.6%.

問題2這些數分別代表著什么含義？負數是如何產生的呢？

教師引導學生借助情境中的相反意義的量來解釋這些數的含義，同時強調數0并非代表“沒有”，而是一個“分界點”.

設計意圖從學生已經認識的數出發，回顧數的產生與發展的歷史，感受數學與生活的緊密聯系，順理成章地引出對負數的認識.再以三個情境激活學生的經驗性理解，讓學生提取相反意義的量的概念，感受負數的生活意義與應用價值.

3.2 歸納提取：生成形式化理解

問題3什么是負數？什么是正數？請用自己的語言描述(如圖2).

圖2

中國古代數學家常常會用紅色(或正放)算籌表示正數，黑色(或斜放)算籌表示負數，而如今在數的前面添加“+”與“-”也相當于對數進行“標記”，代表數的性質，并非是運算符號.

設計意圖從具體的正負數出發，引導學生利用對負數的經驗性理解歸納提取出負數的概念，構建正數、負數與0的關系，形成對負數的形式化理解，發展學生數學抽象、數學交流等能力.

3.3 意義再構：形成結構化理解

活動2中國是最早使用負數的國家.數學家劉徽對正負數給出“今兩算得失相反，要令正負以名之”的定義.在《九章算術》中給出了許多具有相反意義的量的例子，如：

(1)買十三豕(豬)和賣豕八；

(2)有余錢一千和錢不足六百.

請你用正負數來刻畫上述例子，并再列舉出幾組具有相反意義的量的例子.

例題 讀一讀，并指出下列數中的正數、負數.

問題4在課前回顧了正整數與正分數，能否借鑒過去的經驗，再將這些數細分呢？

小結：正整數、負整數、零統稱整數；正分數、負分數統稱分數.

設計意圖通過中國數學史的融入，滲透文化性理解，讓學生在歷史的情境中再構負數的意義，促使學生形成對負數的結構化理解.同時通過例題講解，構建正負數的知識結構，培養學生的抽象能力與分類意識.

3.4 實際應用：達成遷移性理解

遷移1某人從學校出發向東走了100 m，再向西走200 m.

(1)若向東走100 m記為+100 m，那么向西走200 m記作什么？

(2)請你畫一畫他的行走軌跡，指出他最后所在的位置并用正負數表示.

遷移2某市中考體育的跳繩項目規定：每分鐘165個為滿分，若規定超過為正，不足為負，其中5位同學的成績記錄如下：-5，10，-18，0，1.

(1)“-5”“10”“0”的含義是什么？

(2)這五名同學分別跳了多少個？滿分率是多少？

設計意圖通過遷移練習，讓學生在新情境中應用正負數的意義，再次強化對數0的認識，同時以求滿分率的問題啟發學生從數的含義上考慮，促進學生遷移性理解的達成.

3.5 自我總結：促進文化性理解

總結提綱：

(1)在這節課中，你對負數有了哪些新的認識？與你過去的知識有什么聯系與區別.

(2)在這節課中，你對數的分類有了哪些新認識？

(3)在國外，負數的認識并沒有中國這樣順利，究竟是什么原因導致的呢？請利用網絡或圖書館自行了解，并在下節課與大家分享.

設計意圖文化性理解貫穿著本節課的始終，總結環節更應從整體的角度系統地梳理知識脈絡，促進學生建立新舊知識的思維聯結，并納入他們的經驗體系中.同時通過提出探究性問題，激發學生的好奇心與求知欲，有效發揮學生的主觀能動性，形成對負數的綜合性、整體性、文化性的認識與理解.

4 教學思考

4.1 聚焦“理解”的起點，立足原有認知

學生在小學階段的學習生活中已經積累了豐富的數學知識與生活經驗，這些成為了初中階段數學學習的起點，也就是教師教學的起點.“知識大廈”的構建是一層層的累積，教師聚焦學生“理解”的起點，把握過去與現在數學學習的差異，以“為理解而教”的目標指導日常教學.數學知識的學習是一個螺旋上升的過程，就負數而言，學生在小學階段就接觸過，那初中階段的負數學習還應該“炒冷飯”，再構建負數的生活意義嗎？回答自然是否定的.學生已在小學階段經歷了“綜合與實踐”活動，充分感知了負數的由來與意義.而初中階段的負數學習應強調概念的抽象化、形式化，促進學生形成對負數的高層次的理解，為接下來學習有理數運算作準備.因此，初中負數教學應起始于學生的經驗性理解，通過呈現生活中負數的例子，激活學生的原有認知結構，引導學生回顧負數的產生過程，并從歷史的角度出發，揭示負數的本質內涵，促進對負數的多角度的意義再構.

4.2 重視“理解”的深度，指向數學應用

數學理解的水平分記憶性理解水平、解釋性理解水平與探究性理解水平.對于負數的概念而言，記憶性理解水平就足以解決大部分考試中的問題，但較低層次的理解水平并不能滿足學生后續學習與發展的需要，教師應該以更高層次的理解作為教學目標的導向.例如，以中國古代歷史中對負數的表示來類比如今負數符號的含義，進一步揭示“-”的本質內涵，促進學生從符號的角度深入理解負數.再例如，在遷移性理解環節中設計了行走問題，將負數引入數軸中，既通過操作、思考等形式讓學生感知數軸、絕對值、有理數運算等內容，理解負數在數學應用、數學運算中的價值意義，又能夠讓學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，進而培養學生的抽象能力、數形結合意識和應用意識.

4.3 關注“理解”的廣度，浸潤數學文化

數學理解不應僅僅停留在對知識本身的理解，更應該將知識與其知識結構、文化背景、思想方法等構件聯結，形成對數學知識的系統性、整體性的理解.數學承載著思想與文化，數學文化可作為課堂的“潤滑劑”.《標準》中多次強調數學文化的重要性，指出數學課程內容要關注數學文化，繼承與弘揚中華優秀傳統文化，增強文化自覺和文化自信.在數學理解中，文化性理解滲透于數學理解性學習始終，促進數學理解的各個環節.因此，在負數的教學中教師可以選取適當的數學史料，穿插在教學的始終，如：以數的發展作為引入，揭示負數產生的必要性；以古代負數的表示方法加深學生對負數符號的理解；課后查閱資料，調動學生積極性，促進學生對負數的文化性理解.通過數學文化的融入，充分發揮負數所蘊含的文化價值，達到以文化促理解、以文化育人的目的.