夯實基礎 提升素養
——以“導數的綜合應用”一輪復習教學為例

龐 燕 (江蘇省常州市田家炳高級中學 213001)

在我校大力推進“三力課堂”(教得有魅力、學得有活力、質量有實力)的背景下，高三數學備課組倡導教師相互聽課學習、共同研討，以求高三數學課堂教學效益最大化.筆者在2022年9月22日上了這節公開課，以2022年新高考I卷第22題第(1)題為材料展開教學，旨在培養學生的數學核心素養，讓學生在數學化中習得知識，充分發揮學生的主觀能動性，探索“三力課堂”在高三數學一輪復習中的新實踐.

1 學情分析

教學對象是四星級高中的高三物生政組合普通班學生，基礎良好，部分學生的分析能力和運算素養較強，但水平參差不齊.

2 考點解讀及教學目標

“導數”是研究函數單調性、極值、最值等問題的強有力工具，導數一章因與函數、解幾等知識聯系十分密切，故綜合性極強，融會貫通了高中數學各大知識點，并集許多數學思想與數學方法于一體，所以“導數的綜合應用”在高中數學中有極其重要的核心地位，進而成為了高考試題一直青睞的對象.縱觀歷年高考，“導數的綜合應用”以獨特的命題視角、新穎的方式呈現，備受大家關注.題目選材緊緊圍繞教材又高于教材，具有設問巧妙、立意深遠等特點，力圖精心包裝，以達到提升學生的數學核心素養、培養學生的創新意識、提高學生各方面的綜合能力的目的.

教學目標 (1)了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間；了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求函數的極大值、極小值；會求函數的最值；(2)掌握用導數在研究函數單調性、極值和最值中的方法，提高觀察、比較、分析、概括的能力，進一步體會數形結合、轉化、分類討論的數學思想；(3)養成多觀察、勤思考、善總結的習慣，感受探索精神和成功的樂趣.

教學重點 用導數解決超越方程根的相關問題.

教學難點 構造函數，用導數證明不等式.

3 主要教學過程

3.1 自測反饋——溫故知新

課前引導學生自主完成如下熱身練習，課上拍照并投影展示(圖1)，請學生上黑板畫出函數的大致圖象，感知函數的變化趨勢.

圖1

練習(1)已知函數f(x)=ex-x，求f(x)的單調區間.

(2)已知函數g(x)=x-lnx，求g(x)的極值.

(3)求證：lnx≤x-1.

波利亞“從最簡單的做起”特別適用于解題教學.盡管是復習課，教學也必須做到低起點.事實上，如果簡單的問題理解好了，復雜問題的難度也會下降.“大道至簡”，理解好這個“道”，就可以做到舉一反三、觸類旁通.

3.2 研究試題——把握方向

問題已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，求a.

師：這是2022年新高考I卷最后一道大題的第(1)題，主要考查選擇性必修第一冊第五章《函數的導數及其應用》.這一章節內容是每年高考的必考內容，因為它能夠涉及較多高中數學學習的基礎內容、思想方法和核心素養.今天我們一起來感受一下第(1)題，含參函數具有相同的最小值，求參數a，該如何處理？

設計意圖高考試題既是服務選材的尺，又是引導教學的旗.新一輪高考改革提出“一核四層四翼”，積極促使命題向素養導向發展，因此要研究試題，捕捉試題的內容、難度等，抓住本質，歸納解題方法.

生1：我通過觀察，發現當a≤0時，這兩個函數都是單調函數，沒有最小值.因此我們只要求當a>0時函數的最小值，再利用最值相等，直接建立關于a的方程.

解(1)若a≤0，則函數y=ex與y=-ax在R上都單調遞增，所以f(x)=ex-ax在R上單調遞增，所以函數f(x)沒有最小值.若a≤0，函數y=ax與y=-lnx在(0,+∞)上都單調遞減，所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以函數沒有最小值.

師：對于這個超越方程lna+alna+1-a=0，處理方法有哪些？

3.3 夯實基礎——優選方法

師：很好，思路清晰，思維嚴謹！回顧上述解法構造的差函數中含有(x+1)lnx乘積式，對其進行一次求導后，導函數中仍會含有lnx，判斷導數正負時遇到困難，此時生2對導函數進行二次求導，就可以消除lnx再進行判斷，此法運算過程較復雜.構造函數的好與壞直接影響著求解過程的繁與簡，根據函數的結構特征，請你觀察一下還可以怎樣處理，簡化運算？

師：兩種方法沒有本質的區別，但生3的審題分析很有必要.對于復雜的運算問題，如何選擇適當的解題策略值得我們思考，很好！還有其他的方法嗎？

師：很好！利用結論使運算過程簡化了很多，但是提醒同學們注意不等式放縮的結論(*)需要進行證明后，才可以在解答題中使用.還有其他想法嗎？

師：非常好！通過進一步審題分析，同學們給出了很多解法，簡化了運算過程，真是“磨刀不誤砍柴工”啊！

此題的解題思路可以思維導圖的形式呈現(圖2).

圖2

設計意圖在高三數學復習中，一方面要引導學生重視知識的生成與發展，多想多悟，深化對數學本質的理解；另一方面要幫助學生夯實基礎，積極引導學生嘗試應用多種方法、探索解決問題的思路，做好“一題多解”的訓練與反思，從通性通法中汲取解題思路，優選方法，簡化計算.在思考過程中，通過反思不斷優化思維過程，不僅能提高學生思維的敏捷性，更能幫助學生形成嚴謹求實的科學精神.

3.4 勇于創新——提升素養

師：2022年新高考I卷的最后一道大題，小巧玲瓏，結構新穎，思維巧妙！第(1)題的設置比較基礎.翻看蘇教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊“5.3導數在函數中的應用”，第198頁練習3(2)：用導數證明f(x)=ex-x在區間(-∞,0)上是減函數；第200頁練習4：求函數y=x-lnx,x∈(0,2)的極值；第202頁練習5：求函數y=x-lnx,x∈(0,1]的值域.可以發現，命題人將教材習題進行了改編，將指對函數與參數結合，考查函數的單調性、零點存在定理等知識.

師：對第(1)題，同學們一定還能找到其他解法，限于課堂時間，解題暫告一段落，期望同學們課后繼續探討.大量高考試題源于教材而又高于教材，你能體驗一次命題人的角色將第(1)題進行再改編嗎？

(1)若a<0，當f′(x)<0時，x∈(-∞,1)，f(x)在(-∞,1)上單調遞減；當f′(x)>0時，x∈(1,+∞)，f(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以f(x)不存在最大值.若a<0，當g′(x)<0時，x∈(0,e)，g(x)在(0,e)上單調遞減；當g′(x)>0時，x∈(e,+∞)，g(x)在(e,+∞)上單調遞增，所以g(x)不存在最大值.

師：大家一定還有類似的編題，由于時間關系不一一交流了，我們將在下節輔導課上再交流.通過自己編題，不僅可以體驗命題人的感受，還可以提煉出問題的本質，更好地把握問題的來龍去脈.

2022年新高考I卷的最后一道大題的第(2)題，請同學們課后自主探究，在后續教學中再交流.通過今天這一題的一題多解，確立求解對象、探求求解思路、選擇求解方法是解決問題的重要步驟.另外，解題后的反思尤為重要，要養成解題后總結解題規律，提煉思想方法的好習慣.

設計意圖教師通過改編題的方法指導，引導學生尋找題源，使學生重視教材.通過設計創新問題，既訓練學生的思維力和意志力，深化對學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養的考查，又使學生在遇到新問題時能夠以不變應萬變，會思考、敢嘗試、能突破，切實提升數學學科核心素養和創新能力.

3.5 課堂小結(略)

4 回顧與反思

本節課圍繞高考題展開多種解法的探究，充分調動了學生思維的積極性.教學活動以學生的思維逐步深入為軸線展開，采用問題探究與問題反思的形式，在探究中獲得知識與方法，掌握知識的來龍去脈，在知識的應用中形成方法，在變式訓練中深度探尋問題的本質.

導數的綜合應用對運算能力的要求比較高，而運算是學生的軟肋，運算能力的提高不光要靠練習，僅靠練習是難以提高運算水平的，還需要教師適時點撥、提醒，使學生時刻想著自己的運算目的，并根據式子結構調整運算策略，根據定義、圖象直覺等化簡運算、改進運算方法達到簡化運算的目的.

“授人以漁”而不是“授人以魚”，“立足根本，方能久遠”.高中數學教學中“漁”是什么？它就是學科的思維特征，因此教師的數學教學任務，很大程度上是要通過教學活動讓學生領悟數學學科的思維特征，并能夠用這種學科的思維方法理解數學問題，進而解決問題.

在高三系統復習過程中，教師要鼓勵學生利用已有的學習和生活經驗，根據自己的思維特點從不同角度思考問題，用不同方法解決問題，使學生掌握常見的解決問題的策略.一方面，對于學生呈現的多種策略教師要給予肯定，讓每位學生有成功的體驗.另一方面，要鼓勵學生養成回顧反思的習慣，在反思中提升自己，在不斷提出問題、探索問題、解決問題的過程中，獲得發現問題、分析問題、解決問題的經歷.在達到能力提升的同時要鼓勵學生不畏難，相信自己獨立解決問題的能力.教師要給學生足夠的時空，由記憶和傳授教學轉向再創造教學.復習過程是知識的“再回憶”過程，更是知識的“再發現”和“再創造”過程.高三復習中要知識與能力、素養并重，思想與方法同行.

5 學生課后感受

生1：舉一反三，聞一知十.這節數學課讓我們收獲良多.我們在常規思路之外，又拓展得出設而不求的方法，并與先前所學的切線放縮相結合，共總結得出4種不同的思路.這不僅開拓了我們的思考方向，更鍛煉了我們綜合解題的能力，增長了我們將所學與所想結合的能力，使我們對未來高考所考查的方向有了初步的感受與認知.

生2：在龐老師的教導下，我們學習了如何運用導函數的多種方法解答不等式，以下是我在這節課上的一些感悟和收獲.

首先，基礎是關鍵，想要快速、準確地解答有關問題，首先要打好基礎，求好導，注意定義域等細節.龐老師在課前讓我們寫的幾道基礎的利用導數證明不等式的題目就充分證明了這一點.

然而，出現在考場上的往往是更加復雜的問題.當我們遇到時，應沉下心，一步步做好.以這次寫的這道題目為例，在毫無頭緒時，我們可以先對這兩個函數進行求導，在a判斷取何范圍的值時，由f(x)與g(x)存在最小值，就可以通過f′(x)初步判斷a的范圍.然后，我們可以選擇令f′(x)=0，g′(x)=0來找到它的極值，并通過列極值表的方式來分別找到f(x),g(x)的最小值，并令二者相等.這樣一來我們就可以得到一個關于a的等式.在這里，我們可以構造差函數，通過求導，求得單調性和零點來解決問題，算出a的值，也可以使用分離參數或先前龐老師教過我們的切線放縮方法快速解得(大題中用放縮公式需證明)，還可以使用設而不求的方法，巧妙求得a的值.

在這堂課上，我們不僅學習到了更多的解題方法，也開拓了思維.為了鞏固，我們在課余時間把4種方法整理了下來.相信通過這一次學習，下一次我們遇到與函數相關的題目時會更加從容.