淺談如何在培智生活數學教學中應用教具

閆翌勃

在特殊教育學校進行生活數學教學工作時，我們常發現培智學生難以計算。在教學中，教師無奈反復教導培智學生背誦記憶算式，卻效率極低。如何改變這一現象，減輕教師工作壓力，幫助培智學生掌握基本的計算能力、融入正常社會生活，是特教教師面臨的難題。

一、現象背后的原因

產生上述現象的根源并不在于計算本身，而是培智學生沒有數前概念及無法建立數量對應關系。不理解什么是“數”，就不能處理數與數之間相互作用的關系，也就是計算，因此造成短板效應。

二、解決方法及理論依據

要補齊這一短板，則需幫助培智學生從具體事物抽象出數的概念。通過模擬數學起源時代生產生活環境的教學情景，利用教具進行實物教學，并逐漸過渡到使用抽象的語言文字，是一種有效手段。

我目前所采用的教案中，用模擬數學文物的教具構建與數學起源時期類似的教學環境，引導培智學生與之互動，以建立數量對應，這是一個關鍵步驟。

關于計算的數學文物類型大致分為實物計數型和刻痕計數型兩類。實物計數類，如“結繩記事”、算籌、算珠等，這一類文物在同一文明中的起源較早，最終演化為類似算盤等計算工具，或棋類游戲（如圍棋）；出現較晚的刻痕計數類，如出土于剛果民主共和國的“伊尚戈骨頭”、出土于我國河南許昌的赭石涂染刻痕骨片，以及著名的“河圖”“洛書”等，這一類文物發展形成了牌類游戲（如各類骨牌、紙牌等），并且繼續發展出更豐富的刻畫符號最終進化為文字。

因此，我們在生活數學教學過程中也應遵循這一歷史規律，在低年級段啟蒙時期采用實物計數類教具，逐步過渡到刻痕計數類教具或更進一步使用文字符號類教具。在數量對應教學中，我讓學生從不同的事物中抽象出其共同數的概念，再通過語言和書寫訓練將數字用語言表達出來或以文字書寫記錄下來。

三、在課程中的實施方法

（一）十以內加法（不進位加法）教學

十以內加法以5+3為例。選擇一個棋路作為個位在上方放置豎式題卡，先放置5顆黑子代表上方加數，再放置3顆白子代表下方加數，最后通過點數棋子得到總數8作為和。

進行計算先要把數字轉換成它所代表的量（如棋子），再通過操作進行計算。例如：計算兩數加法時，人腦所要做的就是把兩個加數轉化為對應的量分別用黑白棋子表示，不考慮顏色區分兩個量就自然轉化為一個量，我只需把棋子代表的量轉化為數字就是和。

在這一過程中，實際上我們并沒有做什么，只是進行了“數—量—數”的轉化過程，相加本身是自然規律替我們完成的，智力正常者這一過程完全是在意識中進行的。但培智學生則需要教具加以輔助，也就是由數轉量再由量轉數過程中以實物教具充當媒介。數與量之間的轉化是通過點數這項技能完成的，因此我們在生活數學教學過程中必須重視點數技能的訓練與應用。

（二）十以內減法（不退位減法）教學

十以內減法以上題的驗算8-3為例。選擇一個棋路作為個位在上方放置豎式題卡，按從上到下順序先放置8顆棋子代表被減數，取走3顆棋子放入棋盒代表減數，最后通過點數棋盤剩下棋子還剩5顆作為差。

遠古人類在處理原有物品數量和消耗數量的關系時形成了減法運算。與加法不同，加法運算的加數與和從本質上講都是正數，但假設減法的被減數與差是正數，則減數為負數就是消耗的量。我們在計算時需要把被減數轉換為對應的正量（如上題的全部棋子），再把減數轉換為負量（放入棋盒的棋子），棋盤上剩下的就是差（也是正數）。要時刻記住在這一過程中，棋盤上的棋子代表正數，收回棋盒中的棋子代表負數。

正負數概念是遠古人類在生產勞動過程中對應產出與消耗形成的，代表了人類對自然界更加深入的了解。我國傳統哲學中的陰陽學說正是基于這一數學概念而產生的，其實驗算與計算的關系就互為陰陽，驗算在我們的計算教學中是必須強調的。這樣做在提高計算正確率的同時，也能使學生建立動態的數學觀念。

（三）十以上加法（進位加法）教學

以25+7為例，在教學中我們如下進行。選一個棋路為個位，則其左側棋路依次為十位、百位、千位……依據讀題順序先用黑子十位2子、個位5子表示上方加數25，再用白子在個位放7子代表下方加數7。

此時，個位上5下7超過（或達到）10子，取走上面10子，換來在十位添加一子參加十位運算。按照從低位到高位順序，此時個位有2子，十位上2下1共3子，所以25+7=32。相比不進位加法，多了“滿十進一”步驟。

十進制計數制的產生是基于我們與生俱來的計算工具——手指。正是因為正常情況下人類都有十根手指，所以我們在用手指進行計算時無法表示10以上的數，這正是十進制產生的原因。基于十進制產生了數位的概念，使我們能夠計算更大的數字。

（四）十以上減法（退位減法）教學

我們以上題的驗算32-7為例。用黑子在十位擺放3子，個位擺放2子代表被減數32。個位2-7不夠，從十位取走一子換個位10顆白子。現在個位有12子，從中拿走7子放入棋盒。則現在個位5子，十位2子，32-7=25。

基于“滿十進一”“借一補十”操作，該方法可以計算任意多位數加減法。只需將多位數計算分解為逐位加減，則每個數位的加減計算只與其相鄰的數位相關，實際上就是多次進行一位數或兩位數加減。

（五）表內乘法教學

表內乘法教學中，我常采用兩種教具，蒙臺梭利乘法板和《清華簡算表》。蒙臺梭利乘法板利用二維點陣方法推導乘法口訣。而在日常教學中我常使用圍棋來替代乘法板以簡化教具。例如：3×7的計算。

每行放置3顆棋子，擺放7行（或每行7顆，擺放3行），通過點數得到共21子。推導得到口訣：三七二十一，因此3×7=21。通過該方法推導得到乘法口訣加深印象，有助于學生對乘法口訣的記憶與理解，可以避免單純靠背誦口訣而出現的反復忘記。雖然在教學早期進度較慢，但會給學生打下更扎實的基礎。

當使用蒙臺梭利乘法板推導乘法口訣打下一定基礎之后，可以采用《清華簡算表》進行教學。我們把《清華簡算表》中關于表內乘法部分內容制作成10根“竹簡”。其中：每根“竹簡”對應從1×1=1、……1×9=9、2×1=2、……2×9=18……到9×1=9、……9×9=81等九條乘法口訣。拉直縱橫兩條紅繩套則相交處為紅藍兩數乘積。《清華簡算表》屬于文字符號類教具，所表達的數理關系更為抽象概括，可以更快速查找乘法口訣，進行驗算。但必須強調一點，文字符號類教具必須是在熟練掌握實物計數類教具基礎上才能使用。

（六）表內除法教學

我在教學中常使用圍棋模擬蒙氏除法板進行教學。以有余除法19÷5為例。

點數19顆黑子做被除數，點數5顆白子做除數。將白子放在棋盤上方，黑子依次放在白子下方。擺滿3行則商為3，還剩4子則余數為4。因此19÷5=3……4。

除法計算一直以來是生活數學教學中的難點。其原因是學生并沒能理解除法運算的過程。除法并不只是乘法的逆運算，而是和減法有密切關系，尤其是有余除法中更加明顯。如上題中19÷5計算過程就是從19中連續減5（除數）可以減3（商）次還剩4（余數）。正如乘法是多個相同加數相加的簡便運算，除法可以理解為從一個較大被減數（被除數）中減去一個減數（除數）可以減幾次（商），還剩幾（余數）的運算。

基于以上計算手段的組合，我們可以利用圍棋或類似功能的教具計算任意整數、小數范圍內四則運算。這將在另外的文章中予以說明。

綜上，教具在數學課程中的作用極其重要。其作用主要在于輔助學生把抽象的數理概念轉化為具體事物，再通過操作教具進行計算，并在這一過程中學習數學。而這一過程正是遠古人類在從事勞動生產活動過程中發展出數學學科的漫長過程的縮影。通過用模擬數學文物的教具為學生搭建解決對應數學問題的教學環境，并引導學生在與環境互動過程中學習數學知識，這一方法既符合恩格斯對人類進化史的論證，又符合蒙臺梭利教育學原理，能夠為培智學生學習生活數學與教師的教學工作帶來幫助。

（徐德明）