經(jīng)歷數(shù)學活動過程 發(fā)現(xiàn)解決問題策略

陳瓊棟

數(shù)學教學是教給學生解決問題的方法，學生的數(shù)學學習不能只是知道教師教的題目答案，數(shù)學教師也不能囫圇吞棗地教，而是要通過數(shù)學教學讓學生理解算理、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找到方法，也就是通過教給學生解決問題的方法，提高學生解決問題的能力。教師不能就題目教題目，而是要以題目作為素材、載體和途徑，讓學生在解決問題的過程中學到解決問題的方法。

一、在探究中給學生一把“尺子”

數(shù)學學習中有許多標準量，尤其在百分數(shù)和分數(shù)相關(guān)題目中，一定要找到標準量，弄清比較量與標準量之間的數(shù)量關(guān)系。標準量就好比一把尺子，是用來量比較量的，找準標準量有利于提高學生解決問題的能力，從而理解其中的算理。所以，在數(shù)學課堂教學中一定要給學生一把尺子，教給學生解題方法。

（一）教師要深研教材，找到“尺子”

新課程背景下，如何創(chuàng)造性地使用教材，引發(fā)教師持久而深入的思考與討論。筆者從自身教學實踐出發(fā)，建議小學數(shù)學教師應(yīng)該這樣使用教材：細嚼慢“研”，理解性地使用教材；博采眾長，選擇性地使用教材；追根溯源，從數(shù)學文化角度使用教材；高屋建瓴，站在學科的高度使用教材。

（二）教師要讀懂教材，使用“尺子”

數(shù)學教材是教師落實新課標、實施數(shù)學教學的重要資源，所以讀懂教材是把握教材科學性和整體性的前提，也是教師進行再加工和再創(chuàng)造的必備條件。教師只有弄懂教材，才能將抽象的數(shù)學內(nèi)容具象化，教給學生解決問題的方法，不僅知其然，還要知其所以然，不僅掌握解決問題的方法，更要弄清算理。

例如，北師大版五年級上冊數(shù)學課本第66頁有這樣一道題，如圖1所示。

這道題應(yīng)該這樣來教學，首先，教師在黑板上畫出一條數(shù)軸，分別標出0和1，在0和1的正中間位置標出1/2。其次，讓學生進行討論交流，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。如果學生說出這樣的發(fā)現(xiàn)：在這些分數(shù)中，比1/2小的數(shù)接近0，比1/2大的數(shù)接近1，教師對這樣的學生要進行鼓勵和表揚。如果學生沒有說出這樣的發(fā)現(xiàn)，教師要告訴學生判斷方法，將這把“尺子”交給學生。

有了這把“尺子”，這類題目無論多么復(fù)雜，學生用“尺子”去量，一定都能找到正確答案。對這樣的題目，教師要交給學生這樣的“尺子”，而在數(shù)學學習中還有很多這樣的“尺子”，教師一定要交給學生，只有這樣才能提高學生解決問題的能力和學習效率，從而提高數(shù)學課堂教學質(zhì)量。

二、在思考中給學生一條規(guī)律

數(shù)學教學不能就題目講題目，不是讓學生得出題目的答案就可以了，而是讓學生在研究題目的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解規(guī)律，從而在以后做同類型的題目時運用規(guī)律，不僅會做，而且能夠很快地做出來，正確率很高。

（一）滲透類比思想，實施算理正遷移

類比是指事物和事物之間、現(xiàn)象和現(xiàn)象之間，根據(jù)其相似之處進行比較，通過聯(lián)想和預(yù)測推斷出它們在其他方面的應(yīng)用，從而建立猜想和發(fā)展真理的思考方法。數(shù)學知識之間的聯(lián)系非常緊密，基本的算理是相通的，法則間的類比是一個重要內(nèi)容。但是在教學中往往只見一個個獨立的計算方法，難見算法之間和算理之間的內(nèi)在聯(lián)系，更難見算理之間在數(shù)學思想方法上的一致性。所以，在數(shù)學教學中，教師要引導學生自主遷移和類比算理，不斷拓展計算方法的建構(gòu)。

（二）滲透轉(zhuǎn)化思想，實現(xiàn)算法多樣化

遇到一個新的問題時，需要學生提取原有知識，靈活猜測，合理推理，將新問題轉(zhuǎn)化為老問題，用舊知識解決新問題，基本的程序是復(fù)習舊知識——問題轉(zhuǎn)化——形成法則。數(shù)學上有許多方面要運用到轉(zhuǎn)化的方法，是學生學習新知識的一種重要手段，學生運用已有知識解決新問題后，弄清了其中的算理，找到最簡便的解決問題的策略，也就學到了新知識。

例如，北師大版五年級下冊《長方體的認識》，在“基礎(chǔ)訓練”后有這樣一道題，將一個正方體木塊的表面全部涂成紅色，然后切成27個小正方體（如圖2所示），那么，三個面涂色的小正方體有幾個？兩個面涂色的小正方體有幾個？一個面涂色的小正方體有幾個？沒有涂色的小正方體有幾個？

如果一個大正方體每條棱平均分成n個小正方體，三個面涂色的小正方體的總個數(shù)是8個，兩個面涂色的小正方體的總個數(shù)為（n－2）×12，一個面涂色的小正方體的總個數(shù)為（n－2）×（n－2）×6，沒有涂色的小正方體的總個數(shù)為（n－2）×（n－2）×（n－2）。這里就使用了轉(zhuǎn)化的思想方法，學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，今后就可以運用這一規(guī)律來解決同類型的問題了。

三、在研究中給學生一個工具

學生解決問題需要一個工具，也就是一種解題方法、一種解題思路、一種理解算理的途徑。在引導學生理解算理、數(shù)量關(guān)系和解題思路時，教師不能囫圇吞棗地教，而是一定要給學生一個工具，只有這樣，學生才不會一頭霧水，才能學得明明白白。

（一）站在不同的角度去研究

研讀教材的關(guān)鍵是如何處理好“他見”與“我見”的問題，筆者認為，同樣的教材，教師必先有“我見”，也就是要先去讀懂教材，吃透教材精神，并形成一個大致的教學框架，而后再博采“他見”，解“我”所困，補“我”不足，從而為“我”所用，最終熔鑄成最佳的教學方案。

在研讀教材的過程中，不僅存在自己的主見與他人的成見之間的對立，而且就不同的研究視角而言也會產(chǎn)生不同的效果，帶來不同的體驗，這就要求教師做到多維度的立體化研讀，達到融會貫通的程度。

第一，站在編者的角度去讀。也就是理解教材的編排意圖，整體把握教材框架、教學目標及知識脈絡(luò)，這些都是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，教師只有以嚴謹科學的態(tài)度對待，才不至于使教學偏離方向。第二，站在普通讀者的角度去讀。每次教材培訓的發(fā)言者都不能僅限于剖析教材，而是要結(jié)合自身的教學經(jīng)驗細化到教學層面，對突破重難點提出構(gòu)想和策略，這體現(xiàn)了教師個人的獨特理解，對其他教師而言也是可供參考的“他見”。第三，站在學生的角度去讀。需要從教學實踐出發(fā)，總結(jié)學生最感困惑和最易出錯的知識點，并提出相應(yīng)的解決措施。

當然，解讀教材的維度和視角不只有以上三種，正是這種多維度、立體化研讀教材的可貴探索，為教師從解讀教材到研究教材，乃至于利用教材提供了思考空間和有益啟示。

（二）深入課堂內(nèi)外去研究

研讀教材從多維解讀到有生展示，其實只是邁出了很小一步，而它的較高境界應(yīng)該是既“入乎其內(nèi)”，又“出乎其外”，且兩者并非有著截然分開的先后次序，往往是交織進行，并行不悖的，高明的教師能夠在教材內(nèi)外自由往返，達到縱橫暢行、從容駕馭的地步。

教師應(yīng)當注意到對教材的調(diào)整或改動是立足于方便學生學習和不違背教材意圖的前提下進行的，不以教材而墨守成規(guī)，既能看透教材真諦，又能超越教材高度，但始終沒有脫離教材，一切努力終歸于讓教材成為學生易學、樂學的數(shù)學寶庫。

作為課堂教學的前奏與基石，研讀教材已然不是單純意義上的對教材意圖的闡釋，由于數(shù)學教材留有諸多“空白”以及對知識形成過程的關(guān)注，為教師研究和使用教材提供了發(fā)揮的空間，教師只有全方位、多角度地深入研讀，并將教法演繹乃至學法預(yù)設(shè)都寓于其中，才能為精彩的課堂鋪平道路。

例如，在北師大版五年級上冊第七單元《用分數(shù)表示可能性的大小——摸球游戲》教學中，筆者是這樣設(shè)計的：

師：袋子中有3個球，1個白球，2個黃球，摸出白球的可能性是幾分之幾？

生1：給袋子中的3個球分別標上字母，用記號筆在球上分別標上A、B、C，用手去摸，摸出球的可能性有三種，所以摸出白色球的可能性是1/3，不是1/2。這時，袋子中的球不按照顏色來分，而是按照字母來分，有3個字母，所以摸出來的球有三種可能。

生2：給袋子中的3個球分別標上數(shù)字，用記號筆在球上分別標上1、2、3，用手去摸，摸出球的可能性有三種，所以摸出白色球的可能性是1/3，不是1/2。

面對教材和數(shù)學知識，教師要進行創(chuàng)造，讓教材變活，讓知識變具體，不能囫圇吞棗地教，要給學生一個工具，教起來自然順手，學生也學得輕松，從而讓數(shù)學課堂精彩紛呈。

四、在體驗中給學生一種經(jīng)驗

經(jīng)歷過的事情終生難忘，自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律才能真正屬于自己，才會運用所學知識解決問題。教師要給學生提供探究平臺，教給學生探究方法，確保學生的探究時間，并在學生遇到困難時進行點撥。學生只有經(jīng)歷體驗數(shù)學知識和概念的形成過程，才能真正理解數(shù)學知識，獲得解決問題的經(jīng)驗。

在教學中，教師要充分體現(xiàn)學生的主體地位，發(fā)揮學生的能動作用，從問題出發(fā)，設(shè)計以解決問題為基礎(chǔ)的數(shù)學認知過程，放手讓學生根據(jù)自己的經(jīng)驗，用自己的思維方式自由地探究。

（一）提供體驗材料

學生的認知規(guī)律是“感知—表象—抽象”，在探究之前，教師要為學生提供充足的感知材料，如實物、學具、圖片、文具、數(shù)據(jù)、表格等。充分利用教具和現(xiàn)代信息技術(shù)，從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，將學生在生活中積累的常識轉(zhuǎn)化為一種可供操作、討論和思考的學習材料。

（二）提供體驗時空

積極有效的探究過程依賴于合適的、現(xiàn)實的和富有挑戰(zhàn)性的問題。教師要根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗，將呈現(xiàn)知識變?yōu)槌尸F(xiàn)問題，讓學生通過解決一個個的子問題逼近整個問題的解決，凸顯探究過程。

學生探究性學習要有充分的時間和空間作為保障，教師要創(chuàng)設(shè)有利于學生積極思考的空間，讓學生主動參與教學活動，親身體驗知識的形成過程，不能用自己的思維方式去束縛學生，而是讓學生自由發(fā)展，給予學生充足的探究時間，讓他們多維度、多層次地去觀察和思考，進行多角度分析，獲取豐富的感性材料，加深對問題的認識與理解。

學生個體經(jīng)過自主探究，對問題有了初步答案之后，教師要引導其合作交流，感受不同的思維方式和思維過程，通過互動學到數(shù)學知識，獲得反思和修正的機會與體驗。

例如，乘法分配律看似簡單，實則不易，在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學生的許多錯誤，有的學生提取兩個乘法算式中公有的因數(shù)時，相加兩次后，與剩下的兩個數(shù)的和或差進行相乘。在分數(shù)乘法中，幾個分數(shù)的和或差與一個分數(shù)相乘時能夠進行簡算，利用乘法分配律，將分數(shù)與括號中的每個數(shù)相乘后，變成整數(shù)計算，而有的學生不會運用。

筆者充分利用學生的現(xiàn)實生活進行教學。學校體育組要添置體育器材，第一天購買了13個籃球，每個籃球35.5元，第二天又購買了7個籃球。兩天一共花了多少錢？

學生在練習本上完成后，教師讓學生在黑板上板書，如圖3所示。

師：你們是怎么想的？

生1：先算出第一天購買13個籃球的錢數(shù)，再算出第二天購買7個籃球的錢數(shù)，把兩天購買籃球的錢數(shù)加起來，就是一共花的錢數(shù)。

生2：因為每個籃球的價格是一樣的，先把兩天購買的籃球個數(shù)加起來，一共購買了20個籃球，35.5×20的積就是兩天一共花的錢數(shù)。

乘法分配律分為兩種情況，一是提，將兩個乘法算式中的公因數(shù)提取出來，剩下的數(shù)相加或相減是一個整數(shù)；二是分，將括號外的分數(shù)分配給括號里的加數(shù)或減數(shù)，經(jīng)過約分后，變成整數(shù)加減，使計算更簡便。學生在計算過程中出錯，或者不會運用乘法分配律進行簡便運算，主要原因是沒有弄清乘法分配律的算理。

學生充分利用自己的生活經(jīng)驗來學習數(shù)學，因為生活經(jīng)驗中有規(guī)律，學生對自己的生活經(jīng)驗非常熟悉，而且生活經(jīng)驗中的道理非常好懂，借助生活經(jīng)驗中的規(guī)律和道理，學生學習抽象的數(shù)學知識就會非常輕松，學習效果更好。教師一定要引導學生借助生活經(jīng)驗來學習數(shù)學知識，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識和概念的形成過程，利用自己的生活經(jīng)驗來理解抽象的數(shù)學算理，從而獲得數(shù)學學習經(jīng)驗。

五、結(jié)語

總而言之，在小學數(shù)學教學中，教師應(yīng)盡可能多地為學生創(chuàng)造探究的機會，使探究活動主題化。教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學問題情境，激發(fā)學生的探究欲望，促進學生利用已有知識經(jīng)驗，形成自主探索意識，提升學習的主動性和積極性。只有這樣，學生才會肯思考、敢探究，充分經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，找到解決實際問題的策略。

（宋行軍）