關于同構的兩個應用

黃燁　陳潤　冷靜

摘要：數域F上任一n維線性空間V都與Fⁿ同構，因此可以利用Fⁿ的性質來研究V的性質。通過建立V到Fⁿ的一個同構，可以給出求V的向量組的極大無關組的一個可行且簡易的方法，即矩陣的初等變換法。對于基擴充定理，一些高等代數教材中，只給出了存在性的證明，并沒有具體找出擴充的一個基是什么，利用同構來證明基擴充定理可以找出具體擴充的一個基。

關鍵詞：線性空間；同構；極大無關組；基；基擴充定理

中圖分類號：O151.2

1 概述

本文始終令F為一個數域。數域F上的n維線性空間V，V的向量具體是什么不確定，可能是多項式，可能是函數等，因此，若求V的向量組的極大無關組，根據定義甚至極大無關組的性質也很難實現。但Fⁿ的向量組可通過矩陣初等變換求它的極大無關組，由性質2可知，數域F上任一n維線性空間V都與Fⁿ同構，我們可以通過建立V到Fⁿ的一個同構，進而求V的向量組的極大無關組。利用同構來證明基擴充定理這是一種新穎的證明方法，不僅能夠證明存在性，還能具體找出擴充的一個基。

2 利用同構求極大無關組的一個方法

2.1 主要結論

2.2 應用結論

3 利用同構證明基擴充定理

結語

利用線性空間同構保持所有跟兩個線性運算相關的性質這一特性，可將元素結構復雜的線性空間的性質討論歸結到元素結構易于掌握的線性空間上。本文是上述方法的兩個應用舉例，該方法還有其他應用，如討論數域P上n維線性空間V上的線性映射時，利用V上全體線性變換構成的線性空間與全體n階方陣構成的線性空間同構，可將線性映射的性質討論歸結到n階方陣的性質討論。當然，此方法還有許多待開發的應用。

參考文獻：

［1］丘維聲.高等代數（下冊）［M］.北京：清華大學出版社，2010.

［2］北京大學數學系前代數小組，王萼芳，石生明.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2019.

基金項目：綿陽師范學院大學生科研基金項目（XS KY202112）

作者簡介：黃燁（2000—），男，四川瀘縣人，綿陽師范學院本科在讀；

陳潤（2001—），男，四川宜賓人，綿陽師范學院本科在讀；

冷靜（1988—），女，四川古藺人，博士，綿陽師范學院講師，研究方向：半群代數。