深刻理解算理 切實把握算法

◇胡麗芳（福建：東山縣第二實驗小學）

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：運算能力主要指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明確運算對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。本文主要就“理解算理與算法之間的關系”“算理為算法提供理論依據，是對算法的構建與解釋”展開交流。

在小學數學教學中，計算教學占有非常大的分量，且計算能力、運算能力都是小學生“四基”中最為核心的內容之一。基于此，教師在教學中要關注計算教學謀劃，并通過系列舉措給予高度重視，以期較好地實現發展學生計算技能的目的。但是實際教學中，仍有部分教師的認識和教學思路是缺位的，他們主要的做法是：讓學生閱讀例題，學習其中的計算步驟，掌握相關的計算法則，然后加以演練，把學生當作“計算器”。卻不知道，很多學生雖然這時候能算，但當題目加以改變，特別是碰到關于算理的填空選擇題時，他們往往都是錯得一塌糊涂，“只知道怎樣算，但不知這樣算的道理，成了搬弄數字的工具。”

一、前測，鋪墊算理

除法豎式是學生在學習了表內除法、初步掌握了除法的意義，以及有余數除法計算學習，初步明白了什么是余數、余數要比除數小等知識之后，進一步開展的深度學習。學生對除法豎式計算的學習是立足于上述知識積累基礎上的，是落實在這些學習經驗中、更體現在上述數學思維發展前提下的。對于除法豎式，他們的基礎是加減法豎式的書寫方式。除法豎式這節課，是今后學習除數是多位數除法和小數除法豎式的種子課。為此，筆者在新課前采取了嘗試探究策略，鼓勵學生去探究教材中的例題變式題目（教材58頁的例題把11根小棒改編為13根小棒，組成多少個正方形）積極嘗試書寫13÷4=3…1的豎式。隨著學生大膽學習探究，課堂中出現了這樣幾種書寫方法：

通過對這些情況的觀察與分析，筆者初步感受到，學生對除法的認知還是基于已有加減法筆算認知的，他們印象中的除法豎式，就是加減法豎式的影子，是既往加減法豎式計算的樣子。盡管有少數學生能夠寫出正確的，但是問其是怎樣得到的，或是怎么思考的，他們卻一臉茫然，難以說出個子丑寅卯，不能實現“知其所以然”的理想目標。

二、聯系，表征算理

數學知識間連接比較緊密，很多新知識是舊知識的引申、發展和綜合，這是小學數學知識呈螺旋式上升規律所決定的。二年級的除法豎式計算學習也是如此，學生是在理解了口算除法的基礎上學習的，他們在教學有余數除法時，已經知道了算式各部分名稱以及余數的意義等。鑒于此，筆者結合本班學生認知水平、數學思維現狀，以及他們的學習經驗積累層次等，設計了“找一找，比一比”活動，讓橫式和豎式對接，引導學生自主思考與合作學習探究。

師：剛才，同學們通過圈一圈、分一分，列出橫式：13÷4=3（個）…1，其中同學們的書寫方式很是有趣，有像這種橫著寫的，還有那些豎著寫的。（教師指著屏幕上的算式述說著）現在，讓我們一起來看一看、比一比：橫式和豎式，橫式的數到豎式的哪里去了？

生：（生來到屏幕前，教師讓出講臺）被除數13到這里，除數4到這里，商3到這里，余數1到這里。

師:誰有補充？

生：除號不見了。

生：多跑出了12，這是什么？

生：“3”為什么要寫在那里？

橫式13÷4=3（個）…1（根），是學生已經掌握的舊知識，是已經具備的表征形式。因此，教學中教師應抓住這個銜接點，提出“你能在豎式中找到橫式的數嗎？”問題，激活學生學習經驗，激發調動他們深入探究的思維火花。教師把手指著橫式和豎式，引導學生觀察、比較，以求通過學生深度觀察，自主思考與分析，能夠較好地建立舊知識和新知識的聯系，讓學生領會豎式中各數的名稱和橫式是一樣的。再利用舊知識的遷移，實現前后學習的溝通，讓知識逐步趨向結構化、整體化。

緊接著教師又提出“你們有什么要問的呢？”這樣的課堂追問，促使學生把思維進行聚焦，把所有的思考力、觀察力等都落實在問題探究中，使得課堂探究學習、學習思考等更有效。同時，這樣的追問，還可以引導學生自主思考，學生在舊知識的遷移中，整合、比較新舊知識的異同點，從中發現新知——豎式中多出12。對除法豎式，學生能從感官上認識它的基本形式，但不知道這個豎式是怎么來的，這些數字為什么要放到那里，帶著這些疑惑，學生能夠興致勃勃地進入理解抽象算理的探索環節。

三、操作，明確算理

課程標準中對筆算教學提出了明確的要求：筆算教學，要讓學生探索為什么這樣算，初步理解書本中計算的法則是怎么來的。通過一步步理解后，再做一些針對性練習，而不是“題海戰術”。結合圖形的操作，讓不容易理解的計算道理變得具體生動，學生理解了這些道理，才會真正理解每一個步驟是怎么來的，每個數字為什么要寫在這邊而不是那邊。筆者在講解豎式中每個數的意義時，設計了分小棒的過程，通過學生的操作、觀察，構建豎式的模型。

師：請學生上展臺分小棒，邊分邊說。

生：先擺13根小棒，每4根分一組，分成3組，還剩1根。

師：觀察豎式中的樣子，看清其中的每一個數，結合這位同學的操作與解說，你發現了什么，從中又明白了什么？把這些思考與發現和小組成員說一說，看看是不是有新的發現。

隨之學生實踐著小組互動學習模式，結合自身操作，反芻別人的展示分享，深入探究筆算除法中每一個數的意義，思考每一個數所對應的內容等。接下來搭建一個展示、爭辯互動學習平臺。

學生匯報：13表示要分的13根小棒，4表示每組分4根，3表示平均分成3組，12表示分走了12根，1表示還剩1根。

師：3為什么寫在個位上？

生：實際分小棒過程中，是可以把它4根4根分一分的，最后可以分成3組，在豎式里表示3個4，所以要寫在個位中。

操作能夠豐富學習感知，誘發學習思考，還有助于學生把形與數、數與思整合起來，便于其深度探究發生，利于學生進一步抽象歸納，為他們后續提煉概念、建立除法筆算計算思維模型提供幫助，對學生積累起扎實、有效的除法計算學習經驗是大有裨益的。

同時，直觀模型對學生理解算理、掌握算法有著不可估量的作用。學生在邊操作邊說數的過程中，動作表征和語言表征同時進行，利用數形結合的數學思想，使抽象的算理直觀化，有形可依。“數無形時少直觀，形無數時難入微。”（華羅庚）在圖形中理解豎式中每個數的意義，每一個書寫步驟的合理性，特別是12的由來、表示的意義，以及商3為什么寫在個位上，顯得清晰可見。

四、質疑，深化算理

古希臘著名哲學家亞里士多德說過：“疑問和好奇，促使人們去思考。”每一節堂課，教師如果能設計一些問題，或者給學生足夠的時間進行思考，那么，這節課學生收獲的就不僅僅是知識。他們理解了算理，也獲得思維的飛躍、成功的體驗；而且還能學到思考的方法，積累起探究學習經驗等，使得自身數學學習能力得到發展，學習效果獲得提升。筆者以為，這樣的數學教學課堂，讓師生都得到成長。學生通過努力收獲了知識，體會到數學思考與探究的樂趣，進而對后續數學學習充滿興趣，對新的數學探究學習充滿期待。在學生初步感知除法豎式后，筆者創設了讓學生質疑的情境。

師：還有什么要問的嗎？

生：為什么除法豎式和加減法的豎式不一樣？

師：同學們看，這樣寫如何？

生：就看不出分走的12根。

前面，我們已經指出，如果寫成連續減，會顯得很煩瑣。莊子說過：天下難事，必作于易。就是告訴我們，復雜的事情要簡單化，除法豎式，就是記錄除法筆算過程的一種簡潔形式。

師：想想看，它們有沒有相同的地方？

生：它們都要注意相同數位對齊。

師：看，計算減法豎式時，要數位對齊，除法豎式是不是也要注意數位對齊呢？

生：3和13的3，12的2以及余數1都是個位上的數，對齊了，3要寫在個位。

在算法通向算理的過程中，突出對算理的追問和闡釋，訓練學生解釋、辨析、口頭語言表達能力，培養學生的問題意識，是實現深度學習最基本的策略。為此，在加深學生對除法豎式理解的教學中，教師不僅要重視讓學生知道除法豎式中先寫什么、后寫什么，還應使其明白為什么要這樣寫，知曉除法豎式中各個數的書寫位置及其意義。特別是通過與減法豎式的比較，學生感受到除法豎式的書寫簡約明了，使得動手分一分的活動經驗與豎式計算算理結合變得更緊密，更利于學生對豎式中等分的理解，使得學習探究變得全面透徹。學生也進一步明白了“3”寫在個位的原因，突破難點。

在完成例題教學后，教材呈現16÷4=4的豎式，通過比較，學生發現整除沒有余數，直接寫0，從而完善了對除法豎式的一般性認識。他們進一步明白了有余數的情況，其算法、算理是怎樣的，以及整除情況與前面學習的比較，形成結構化認知。

五、鞏固，強化算理

在動手操作、數形結合、討論交流等一系列算理具體化后，就進入算法的練習，殊不知，這樣往往會造成學生沒有辦法直接就進入對算法的真正領悟中。在筆者的教學中，也出現過這樣的情況。因此，可先讓學生做課后“做一做”。教材還是呈現小棒圖，旨在讓學生從圖式結合中，再次分一分，體驗除法橫式與除法豎式的關系，使豎式模型的建構進一步鞏固，讓算理停留久一點。這時，可以照著例題這樣問：10是怎么來的？它表示什么？3為什么要寫在個位上，等等。這些問題，使得除法豎式怎么來的再次得到鞏固，算理也更加通透，讓學生對算理的理解更加深入。

前面的學習，體現每份分多少個，可以分幾份。除法還有一種分法，就是平均分成幾份，每份是多少，可使除法豎式的意義更加完整，對算理也是進一步強化補充。張齊華老師在暑假備課培訓中指出：別讓“算法”過早擠走“算理”，要讓算理“再透一些”。通過這樣的強化，今后教學除數是多位數的除法、除數是小數的除法都以除法豎式這節課為基礎，前后的聯系，使得一節課變成了一類課。吳正憲老師在《學習“新課標”理解“一致性”》中指出：培育核心素養的數學教育不是零零散散知識的呆板識記，更不是反反復復地刷題，而是在具體情境中會思考、能辨析，使知識呈現整體性結構化。

在小學計算教學中，計算方法主要解決能算、會算的問題，而且，這樣算的道理由算理來回答，只有對算理理解深刻，才能對算法有切實把握。“算法、算理是運算能力的一體雙翼，尤其是小學數學中，兩者相互輔助，不能偏向哪一方。”要在“觀察—操作—抽象—運用”中打通算理與算法的過程，促進學生運算能力的發展。