基于大觀念、大問題視角下的數學深度教學

劉鑫鈞

南京航空航天大學蘇州附屬中學 (215021)

1 問題的提出

新課程改革以來，自主、合作的探究式課堂精彩紛呈.因此，如何讓學生在教師引領下，圍繞具有挑戰性且揭示本質的問題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的深度教學就顯得尤為重要.由于人們總是在一定觀念指導或影響下進行活動[1]，而問題又是數學的心臟，因此，以怎樣的觀念“指路”，設計怎樣的問題“引路”，實現課堂的深度教學就成為一個重要的課題.基于這一問題，本文從大觀念、大問題的視角出發，探究如何實現數學課堂的深度教學.這就需要厘清三個問題：大觀念、大問題是什么？什么教學才是深度教學？基于大觀念、大問題怎樣實施深度教學從而促進學生深度學習.

2 問題的解決

2.1 大觀念、大問題與深度教學的理解

2.1.1 大觀念與大問題

大觀念不是具體的信息、知識和概念，而是信息的聯結者、知識的組織者和概念的搭建者.換言之，大觀念指的是知識背后的知識，概念背后的概念，是知識和概念的上層組織者.康德指出：“人類所有的認識都是以觀察為起點，然后成了概念，最后以觀念作為終站.”[2]康德認為觀念就是概念的概念，是知識的最高形態.

大觀念具有四個基本的特征：首先，大觀念是一種聯結，居于學科核心；其次，大觀念具有可遷移性和持久性；再次，大觀念是抽象的，習得過程緩慢；最后，大觀念的表述方式是多樣的[3].大觀念在數學教學中的表現如下：第一，大觀念是數學學科最基礎、最本質、最核心的觀念，能夠反映數學學科的基本特征和規律；第二，大觀念是學生通過數學學習能夠逐漸形成的，只有理解這些大觀念，才能深切體會數學概念的本質；第三，大觀念是對數學問題發展、變化的基本判斷，有利于豐富學生對問題本質的認識，從而涵養數學核心素養.

大問題是“能夠鼓勵、啟發甚至是要求學生超越特定的主題而幫助學生對所學知識達到更系統、更深入的理解的可遷移的問題[3].大問題不著眼于解決某個具體知識點或具體的問題，而是在大觀念的基礎上形成的更開放的、更具反思性和整合性的元問題.大問題是數學學科的核心問題，是滲透、落實大觀念重要且基本的載體.

大問題具有三個基本的特征：首先，大問題具有開放性：大問題不是事實性問題，不對細節提問，不追求標準答案.其次，大問題具有整合性：大問題之“大”并不是抽象的大，大問題必須落實在學科知識基礎之上，必須著眼于核心素養的落實.大問題能促進知識的整合，打破知識、專題的隔閡，以整體思考代替單點突破式的零散學習.最后，大問題具有反思性與迭代性.大問題不是一次就能解決的，大問題會隨著學習深入而不斷迭代升級，從而實現對大觀念進一步深入的感悟與理解.

2.1.2 深度教學

深度教學是讓學生深度參與教學過程且深刻把握學習內容的教學.對“深度參與”而言，僅靠記憶、理解等是不夠的，還需要操作、體驗、批判、反思等學習活動；對于“深刻把握”而言，僅記住知識的符號、含義是不夠的，還必須把握知識背后的價值、邏輯、方法以及運用知識進行創造.“深度教學，并不追求教學內容的深度和難度，不是指教學內容越深越好，而是相對于知識的內在構成要素而言，知識教學不停留在符號層面，而是豐富教學的層次，實現知識教學的豐富價值.

深度教學具有兩個基本的特征：第一，“深度參與教學過程”的目的是實現學生與學習內容的充分互動，這是深度教學的過程性特征.深度教學必須讓學生充分地參與教學過程，因此教師只能進行“有限教導”.在教學中，教師必須盡力控制自己的講授、指導，給學生充足的學習機會：一方面，教師要“少講”，以便給學生足夠的學習時間；另一方面，教師要“隱身”，以便讓學生全身心地投入學習.第二，“深刻把握學習內容”是指要實現學習內容與學生經驗體系的充分融合，這是深度教學的結果性特征.因此教師應充分利用學生已有的知識經驗，通過創設問題情境將新知識與學生已有的知識經驗聯系起來，讓知識學習成為一個從學生內心生長出來的過程，而不是一個從外部強加的過程.生活情景或問題情境的創設，使理論知識得以活化，讓知識有了靈性.教學應該“由‘抽象知識’轉向‘具體情境’，注重營造學習情境的真實性”[4].

2.2 基于大觀念、大問題的數學深度教學策略

在進行深度教學時，我們首先要明確，什么樣的大觀念是學生通過不斷訓練可以逐漸習得的，“大問題”教學中又應當設計怎樣的問題？本文以2021年新高考數學Ⅰ卷第22題為例，提出筆者的一些思考.

在高考結束后，筆者與部分高三學生充分交流此題，對于第一問只需對函數求導得到f′(x)=-lnx，x∈(0,+∞).當x∈(0,1)時f′(x)>0，當x∈(1，+∞)時f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減.但是在第二問解決過程中，不少學生感到無從下手，也有學生說老師以前講過類似的題型，但是在考試過程中忘記了怎么做.事后，找到了類似的一道母題.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

通過對比題源與高考真題，我們發現無論是題干信息，還是解法套路，相似度極高.那么有個疑問自然就擺在面前：為什么講過的題型學生在考試中不能獨立解決？對于這個問題，每位教師可能有不同的回答，但是有一個不爭的事實就是，高三的題海訓練是在機械、記憶等低層次的水平上訓練.這種過度的訓練，學生的思維不但不能得到提升，反而定勢，教師的教學行為來源于教師的教學觀念，這種觀念就是，通過大量做題，就能提高學生解題能力.事實上，很多學生在一輪復習之后，學生的解題水平就定格了，在后面的二輪、三輪復習中幾乎得不到發展.怎么解決呢？這就要求教師在教學過程中必須要有“大觀念”，并且在教學過程中能設計“大問題”，滲透這種大觀念，從而積累基本的數學解題經驗，提升數學解題水平.

2.2.1 立足化歸樹立“同構”大觀念，培養學生深度觀察能力

何為“同構”，下面以2021屆八省聯考第8題為例具體闡述“同構”的具體內涵.

例2 已知a

A.c

要發現同構，則需要對試題進行深度的觀察，巧妙的變形，將試題內部的一致性結構展示出來，然后構造函數，從而破解問題.從八省聯考這樣一份具有很強的導向性試卷中，我們發現在平常的解題教學中應當大力培養學生的“同構”大觀念.

2.2.2 基于“同構”巧設大問題，培養學生深度轉化能力

如何將一個形式上不一致，結構上不同的式子轉化為形式上一致，結構相同的式子呢？即設置怎樣的大問題實現同構.回到高考題，第二問中主要條件就是等式blna-alnb=a-b，這樣就可以向學生提出下面的問題：

問題1 條件等式如何同構？方法有哪些？

顯然大問題1不是事實性問題，不對細節提問，不追求標準答案，具有很強的開放性.如果學生感到有困難，則教師需要將大問題1分解為三個小問題：

問題1.1 條件等式屬于哪一類式子？

在問題1.1的追問下，學生通過對式子結構的深度觀察，發現式子出現對數運算，從而明確此類式子是對數等式，而且細心的同學發現，將a，b互換，式子不變，這樣就發現該式屬于雙變量下對稱的對數等式.在明晰式子的特征之后，問題就轉化為雙變量下對稱的對數等式如何同構.從而提出下面的問題.

問題1.2 這一類式子通常的處理方法是什么？具體怎么操作？

同構1 同構等式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2).

生1：等式處理的基本方法就是加減乘除，對數式子的變形要基于對數的性質和運算法則.

生2：與前面所采用的方法相同，也獲得了同構式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，后面我是這樣做的:

解法2：(同構1與構造對稱函數)

①先證x1+x2>2，即證2-x11，故只要證明f(2-x1)>f(x2)=f(x1).令g(x)=f(2-x)-f(x)，x∈(0,1)，則g′(x)=-f′(2-x)-f′(x)=ln(2-x)+lnx=ln[-(x-1)2+1]g(1)=0，故x1+x2>2.

②再證x1+x20，∴p(x)在(e-1,e)上單調遞增，∴p(x)

同構2 同構出等式x1lnx1=x2lnx2.

生3：我采用的同構方法與前面不同，具體如下：

在問題1解決之后，我們可以看出主要有兩個同構式子：一個是x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，另一個是x1lnx1=x2lnx2.那么順勢向學生提出下面問題.

2.2.3 呈現“同構”相關性問題，培養學生深度遷移能力

問題2 同構方法是普遍性？還是針對性？

對于這個問題的回答，可以讓學生先交流，然后去尋找在前面已解決的問題中是否出現過同構試題的考察，經過一段時間，學生呈現出大量的同構試題.

相關題1 (2020年全國Ⅰ卷第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：從同構的視角下，先對已知式子作同構變形，然后用函數的單調性求解.通過觀察，左邊結構簡潔，因此，將右邊的式子向左邊式子的結構化2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b，同構變形完成.構造函數f(x)=2x+log2x，易知f(x)單調遞增，故f(a)

經過對上述四道試題的分析、探討，發現同構這種思想在函數、不等式中應用廣泛，處理的方法具有極大的相似性：對不等式或等式，亦或是函數，通過變形轉化為相同的結構，然后構造一個新函數來解決原問題，這種方法顯然是具有普遍性的.

3 結語

《普通高中數學課程標準(2017)》最大的一個亮點就是數學核心素養的提出，要培養學生的核心素養，必須要進行深度教學，即在教學中要有大觀念的滲透，讓學生對所學知識及方法有一個整體的高層次的感悟、體會，這就需要以大問題引路，設計有助于大觀念滲透，有利于思維發展和問題解決的具有開放性、反思性問題，提供“全景立場”，即不同的方法，相異甚至是沖突的觀點，在比較中形成自己對知識對象的深刻認識，理性判斷，使學生對所學內容更具有系統性，深入性理解，發展學生批判性思維、理性、和創新能力等核心素養.