數學問題提出研究的進展和前沿

蔡金法，陳算榮

數學問題提出研究的進展和前沿

蔡金法1，陳算榮2

（1．特拉華大學 數學系，特拉華 紐瓦克 19716；2．揚州大學 數學科學學院，江蘇 揚州 225002）

研究概述了國際數學問題提出研究，并介紹專欄中的5篇論文．特別是，從以下4個方面討論了問題提出的進展和未來的方向：（1）問題提出作為了解學生和教師思維的手段；（2）基于問題提出學習的教學模式（P-PBL）；（3）問題提出過程；（4）問題提出和批判性思維．

問題提出；問題提出研究；問題提出過程；P-PBL；研究前沿

自從2019年《數學教育學報》開設關于問題提出的專欄，已經過去了4年，問題提出的研究仍然如火如荼地進行，不僅在學術期刊上陸續發表特刊[1-2]，還有許多相關領域的書籍相繼問世[3-4]．甚至ICME14和ICME15把原來問題解決的TSG，更改為問題提出和問題解決的TSG．這個進展也反映在不同的國際會議當中，比如在2022年的國際數學教育心理學大會上有問題提出的專題研究．在2023年的國際數學教育心理學大會中的一個年輕學者培訓中，問題提出作為一個大會報告．同時，在2023年的國際數學建模教學大會上，問題提出也作為大會的一個專題討論．Springer目前正在計劃出版第二本關于問題提出的數學教育研究專著，國內在西南大學宋乃慶教授和蔡金法教授的帶領下，也正在準備出版問題提出的專著．這一切表明了問題提出教學研究的受重視程度．其實它的理由很簡單，因為問題提出教學不僅能夠加深學生對數學的理解，而且能夠促使學生對數學情感的發展及創造力和批判性思維的培養．

目前，數學問題提出研究的重要性，似乎不需論證，學界普遍接受它作為一個具體的抓手來開發學生的創造力和批判性思維．同時，在中國2022年的數學課程標準中[5]，有非常醒目的篇幅來討論問題提出的重要性、問題提出的具體內容，以及具體課堂上的實踐．實際上，在新的課程標準中有八十多次提到了問題提出．

在問題提出被廣泛接納并持續深入研究的大背景下，問題提出專欄呈現在讀者面前．這一期共有5篇文章，在幾個方面推進了問題提出的研究．

1 問題提出作為了解學生和教師思維的工具

問題提出作為工具測量學生和教師的思維是問題提出研究的一個重要方面．早期研究側重在學生和教師能提出什么樣的問題，最近的研究則側重在以問題提出為工具測評教師或學生對特定數學概念的理解．這一進展不僅展現了用問題提出作為評估工具的可行性和優勢，更是為教師用問題提出進行教學奠定了基礎．

孫枚等用“問題提出”作為研究手段來診斷和評估小學數學教師對百分數這一重要概念的理解．百分數這一概念至少具有“數、比、比率、統計量和算子”5種不同的意義[6]，為了了解教師的理解表現，通過精心設計問題提出的測試問卷，要求99位教師圍繞“40、50、%”3個信息提出4個難度逐漸提升的數學問題，即：簡單問題、中等問題、偏難問題、較難問題，深入洞察小學數學教師對百分數概念的理解表現．研究發現：教師心目中的百分數集中在比的意義上，只有少量教師提到數和統計量，對比率和算子兩種百分數的意義沒有涉及．

在其另一份關于百分數概念的問題解決測試中，對這99位教師的答題狀況進行分析后發現：教師對百分數作為基本的“比”的概念是清晰的，然而當比的數量關系以及表達的語言更為復雜時，教師對百分比的概念理解和問題解決就會出現偏差．這一研究還發現：相較于問題解決，問題提出能更好地幫助評價者或研究者了解教師或學生對百分數的理解程度或類型．可見，問題提出作為一種評估的方式，有其獨特的評價作用．

孫枚等的研究再次說明用問題提出測試教師理解的適合性和獨特性，這也為教師用問題提出教百分數創造了條件．值得指出的是，在中國個別地區，已經將問題提出作為年終期末考試的考題之一，而且在大型的測試中，也包括少量的問題提出．今后的研究要注重問題提出的考題編制及評分標準制定．同時，也需要進行問題提出考題及評分標準的信效度研究．

2 問題提出教學模式

問題提出不僅是一個教學目標，更是一種教學手段，即教師可利用問題提出提供機會讓學生學習和理解數學．近期的研究不僅分析了教學案例，而且開始開發問題提出的教學模式．這里有兩篇關于這方面的文章．一篇為許天來和蔡金法結合具體課例“乘法分配律”的課堂分析，深入探討了由蔡金法提出的“問題提出”教學的一般模式如何在課堂實際中進行科學、合理和有效運用[7]．在這一篇文章中，“乘法分配律”的課堂教學發生在“問題提出”的一般教學模式提出之前，然而，通過課堂分析發現其教學流程與蔡金法提出的“問題提出”的一般教學模式相吻合．該課例的具體模式分為4個步驟：（1）教師呈現問題情境；（2）教師根據教學目標設置恰當的引導語；（3）學生以個體方式或小組方式提出問題；（4）師生對學生所提問題進行“分析”“選取”“排序”和“求解”．這個分析結果驗證了蔡金法提出的“問題提出”的一般教學模式在實踐中的可行性和有效性，闡釋了理論研究和教學實踐的交互作用．

另一篇是由李欣蓮等通過全面梳理和深入分析文獻，在理論層面上構建了數學問題提出教學的分析框架，該框架由3個維度及11個二級觀測指標構成．研究首先在文獻分析的基礎上對問題提出的課堂教學進行了概念界定，依據定義分析出問題提出課堂教學的3個關鍵方面，并將其作為分析框架的3個維度，它們分別是：（1）教師設計的問題提出任務分析；（2）教師引導學生參與問題提出活動分析；（3）教師對學生提出問題的反饋分析．接下來在各個維度下，依據文獻和具體實例，構建相應的二級觀測指標．為了驗證其可操作性，該研究進一步運用此框架對“問題提出”教學的實踐案例加以分析，驗證框架可行性，并有利于凸顯問題提出教學的核心特征．盡管這一分析框架還未能在更多的課例中加以實踐運用，還有可待完善的空間，但該框架無疑為后續利用問題提出進行教學實踐的教師們提供了一個教學理論框架，也為問題提出教學研究的向前發展邁出了新的一步．

問題提出教學的一般模式和問題提出教學的分析框架從不同角度為問題提出教學提供了指導，前者是指出了具體的教學流程，后者則提供了評估和反思的視角，而兩者均為問題提出教學的設計提供了思考層面．值得指出的是，在問題提出教學研究中，需要開發更多的教學案例，為問題提出教學的推廣提供資源．

3 問題提出過程

問題提出研究的另一個重要主題是學生和教師所經歷的問題提出過程．盡管學生和教師有能力提出數學問題，但作為研究者，對他們在一些特定情況下如何提出這些數學問題的理解則知道得很少．特別是目前還沒有一個與公認的問題解決模型相類似的、可通用的問題提出過程框架，如Pólya（1945）提出的問題解決4個階段[8]，Garofaro和Lester（1985）提出的問題解決認知與元認知過程[9]，以及Schoenfeld（1985）提出的問題解決屬性[10]．因此，需要更多的研究來發展一個對數學問題提出的基本過程和策略具有廣泛適用性的框架．實際上，現階段還處于理解問題提出的認知和情感過程的初級階段，這也是在數學教學中實施這一活動的原因之一．

在早期的幾項研究中[11-12]，研究人員試圖利用學生提出的問題作為考察問題提出過程的基礎．例如，Cai和Hwang（2002）使用模式情境來考察學生提出問題和解決問題的能力．他們觀察到，學生提出的基于模式的問題序列似乎反映了解決模式問題時的共同思維序列（收集數據、分析數據的趨勢、做出預測）[11]．Silver和Cai（1996）發現，當學生被要求提出3個問題時，他們往往會提出一些相關和平行的問題．他們觀察到，學生們有一種明顯的傾向，即通過改變早期問題中的某一元素來提出后期問題[12]．

最近，研究人員試圖考察問題提出任務變量，以研究問題提出過程[13]．正如問題解決的任務有很多類型一樣，問題提出的任務也有很多類型．問題提出的任務由兩部分構成：問題情境和提示語[14]．問題情境提供了背景和數據，學生可以利用這些背景和數據（除了他們自己的生活經驗和知識）來提出問題．問題提出的任務還必須包括一個提示語，讓提出問題的人知道他們應該做什么．根據任務的目標，對于相同的問題提出的情況，可以有多種提示語．

例如，Cai等人研究了不同提示語對學生問題提出的影響．研究使用3組問題提出任務來檢驗不同問題提出提示語對學生問題提出的影響．涉及兩種提示語：第一種提示語是要求學生提出2～3個不同的數學問題，而沒有具體說明問題的其它要求；第二種提示語同樣也是要求學生提出2～3個數學問題，但有額外的說明．例如，學生們被要求提出簡單、中等難度和困難的問題．當問題提出的提示語包含更為具體的要求時，學生往往會更多地思考提出什么樣的問題，比如，問題的可解性和復雜性．

在這里，陳婷等人通過使用一組涉及算術平均的任務，使用不同類型的提示，重復和擴展了Cai等人的研究．該研究以262名六年級學生為研究對象，設計了4個有關算術平均數的問題提出任務，并分別設置了3類引導語：“提出3個不同的數學問題，挑戰數學老師來解答”“提出3個難度不同（簡單、中等、較難）的數學問題”“提出3個不同的數學問題，挑戰同班同學來解答”．以此測試學生在不同類型的引導語下，其提出的問題在得分、類型、難度和概念理解4個方面的表現情況．主要有3個方面的發現：（1）六年級學生關于平均數概念理解的問題提出表現良好；（2）學生問題提出的類型和難度受到了不同問題提出引導語的顯著影響；（3）在較復雜的問題情境中，學生表現的平均數理解程度也受到問題提出引導語的顯著影響．

上述研究結論為問題提出引導語設計的重要性提供了證據支持，進而啟發教師在進行問題提出的任務設計時，要根據任務實施的目標、學生的基礎等精心設計提示語．而通過對提示語影響問題提出的研究，可以幫助進一步研究問題提出的過程．

4 問題提出與批判性思維

問題提出之所以得到認可，部分原因是它在科學發現過程以及培養學生在創新和批判性思維中的重要性[15-16]．盡管在平時的教學中學生發現自己只是教學過程中知識的被動接受者，但當他們提出自己的數學問題進行探究時，他們可以作為數學創造者和尋求者建立積極、強大的自我認同感．問題提出在課堂上使學生成為自己從事數學的主動者，讓學生有能力在課堂上考慮由自己所提出的數學問題．

因為問題提出與復雜的問題解決和創造性導向的活動有關[17]，它是一種獨特的數學活動，為認知和情感能力的提高及其整合提供了多種機會．蔡金法等人（2017）認為，研究對學生學習的影響應該通過短期和縱向的認知和非認知結果來衡量[18]．一些社會學家和經濟學家甚至認為，相較于學科知識，完善的非認知特征發展對一個人的學業和未來工作表現的影響更突出且更持久．

批判性思維是一種重要的非認知因素．人們認為，問題提出可以用來培養學生的創造力和批判性思維．為了深入了解學生的批判性思維傾向與問題提出表現之間的具體相關性，唐瑜君等人隨機招募了260名小學生，運用已有文獻開發的兩個量表《小學生數學批判性思維傾向量表》和《小學生平均數問題提出測試卷》，分別調查了小學生的批判性思維傾向現狀與其問題提出表現的現狀，在此基礎上對二者進行了相關性分析，得出二者之間有中等程度的正相關性，并且批判性思維傾向越強的小學生問題提出表現越好，而問題提出表現越好的小學生批判性思維傾向也越強．這一結論無疑進一步佐證了問題提出與批判性思維能力發展有著相互促進的作用．由此可見，問題提出的教學為發展學生批判性思維能力開辟了一條新的路徑．

應當指出，這一研究用的是批判性思維傾向的量表，而不是測試學生的數學批判性思維．另一方面，也需要加強有關數學創新性和批判性思維的研究，包括內涵及具體的測試．當下，數學教育工作者和研究者有必要加強對問題提出落地課堂的實踐和研究．

5 結語

數學問題提出及其教學的研究正在獲得越來越多的學者和一線教師的關注，這是一個極好的發展態勢．期望關注這一領域的研究者和實踐者在了解數學問題提出的研究進展和前沿動態之后，能夠找到自己的研究興趣和生長點，拓展數學問題提出教學的研究空間，也希望專欄的5篇論文能夠引發研究者和實踐者更多的思考和后期相關研究的投入，推動研究向縱深發展．

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Mathematical Problem-Posing Research: Advances and Future Directions

CAI Jin-fa1, CHEN Suan-rong2

(1.The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA;2. The College of Mathematical Science, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China)

This introductory paper provides an overview of problem-posing research followed by an introduction to the five papers in this special issue. In particular, this paper discusses advances in and future directions for mathematical problem-posing research from the following four angles: (1) problem posing as a means to understand students’ and teachers’ thinking; (2) the Problem-Posing Based Learning (P-PBL) Instructional Model; (3) problem-posing processes; and (4) problem posing and critical thinking.

problem posing; problem-posing research; problem-posing processes; P-PBL; research frontiers

G424

A

1004–9894（2023）05–0005–03

蔡金法，陳算榮．數學問題提出研究的進展和前沿[J]．數學教育學報，2023，32（5）：5-7．

2023–08–21

西南大學引進人才計劃項目（SWU118118）

蔡金法（1963—），男，浙江杭州人，教授，主要從事數學學習和問題提出研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責任編校：張楠、陳雋]