中學(xué)數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的“道法術(shù)器”

馮園園，宿桂花，張定強(qiáng)

中學(xué)數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的“道法術(shù)器”

馮園園，宿桂花，張定強(qiáng)

（西北師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要途徑．從“道 法 術(shù) 器”闡釋了問題鏈教學(xué)的指導(dǎo)思想、教法學(xué)法、技術(shù)路線及問題鏈的基本形式，并從“設(shè)計(jì)—實(shí)施—評(píng)價(jià)”一體化的角度提出教學(xué)建議：不僅需要重視“道與法”的“頂層設(shè)計(jì)”，遵循“注重基礎(chǔ)、培養(yǎng)創(chuàng)新”的指導(dǎo)思想和問題鏈的設(shè)計(jì)思路、結(jié)構(gòu)框架，采取講授式與發(fā)現(xiàn)式并重的教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“真探究”；而且需要關(guān)注“術(shù)與器”的“基礎(chǔ)建設(shè)”，明確問題鏈整體設(shè)計(jì)與分解實(shí)施的技術(shù)路線，重視問題之間的“方法關(guān)聯(lián)”，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容合理采用不同形式的問題鏈，并妥善處理問題鏈“預(yù)設(shè)”與“生成”之間的關(guān)系．

中學(xué)數(shù)學(xué)；問題鏈；“道 法 術(shù) 器”

1 問題提出

問題是數(shù)學(xué)的心臟，思想是數(shù)學(xué)的靈魂．無(wú)論是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中收錄的246個(gè)數(shù)學(xué)問題，還是近代德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作演講時(shí)凝練的23個(gè)數(shù)學(xué)問題，都充分說明數(shù)學(xué)研究永恒不變的核心就是“問題”，它反映了一定歷史時(shí)期、特定文化背景下數(shù)學(xué)研究的發(fā)展趨勢(shì)．而在新興數(shù)學(xué)問題層出不窮的信息化時(shí)代，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題也并沒有走下神壇，反而為新興問題的探索提供了寶貴的參考價(jià)值．各種各樣的數(shù)學(xué)問題交織在一起，為數(shù)學(xué)教育研究提供了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和思想載體．為了順應(yīng)這一發(fā)展趨勢(shì)，以問題為主線的教學(xué)方式成為越來越多一線教師串聯(lián)知識(shí)、揭示思想、豐富智慧的重要手段，數(shù)學(xué)課堂也因此成為培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的主戰(zhàn)場(chǎng)，“問題鏈”教學(xué)模式應(yīng)運(yùn)而生．該模式通過一系列問題驅(qū)動(dòng)思維、遷移拓廣知識(shí)，幫助學(xué)生將思想方法運(yùn)用到問題域中，對(duì)深化基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．相關(guān)教學(xué)實(shí)踐也促進(jìn)了“問題鏈”教學(xué)理論的多元化發(fā)展，并對(duì)教師專業(yè)發(fā)展提出了新的要求．從《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》到《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》頒布以來，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來越提倡落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”、發(fā)展“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，標(biāo)志著中國(guó)數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo)經(jīng)歷了從“知識(shí)立意”到“能力立意”再到“素養(yǎng)立意”的演變[1]．站在新的高度重新梳理數(shù)學(xué)“問題鏈”教學(xué)中的“道 法 術(shù) 器”，更有利于教師全面地認(rèn)識(shí)問題鏈教學(xué)的指導(dǎo)思想、教學(xué)方法和技術(shù)路線、工具等，并不斷推進(jìn)相關(guān)理論與實(shí)踐的深化發(fā)展．

2 “道 法 術(shù) 器”的功能定位

問題是師生在課堂教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)交互的有效載體，如何構(gòu)建“問題鏈”？首先需要明確“問題鏈”的內(nèi)涵．朱建中[2]認(rèn)為，問題鏈的內(nèi)涵是問題與問題的精心聯(lián)結(jié)與遞進(jìn)；黃光榮[3]從知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度指出問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式，提出“問題鏈方法是以問題為主線，以發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—再發(fā)現(xiàn)問題為全過程，以適應(yīng)客觀世界運(yùn)動(dòng)變化和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維之需要為目的的數(shù)學(xué)思維方法”；唐恒鈞等[4-6]認(rèn)為，“問題鏈”是指在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的有序的主干問題串，不僅關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的深度理解、數(shù)學(xué)基本思想方法與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，并且提出確立問題鏈的3大基點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)、學(xué)科思維與學(xué)生認(rèn)知．基于上述分析可以認(rèn)為，為達(dá)到教學(xué)目的，伴隨問題情境出現(xiàn)的圍繞同一核心問題的若干環(huán)環(huán)相扣的問題就可以構(gòu)成“問題鏈”，問題鏈模式具備漸進(jìn)式、階梯式、聯(lián)鎖式[7]等特征，多個(gè)問題能否構(gòu)成問題鏈模式，關(guān)鍵在于問題之間是否具備有序聯(lián)結(jié)．

3 “道 法 術(shù) 器”的理路分析

3.1 “道”——價(jià)值取向與指導(dǎo)思想

課程、教師及學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值觀念是影響數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的重要因素[9]．在進(jìn)行問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)之前，首先應(yīng)明確問題鏈教學(xué)的功能定位、價(jià)值取向與指導(dǎo)思想，即回答“問題鏈教學(xué)的功能是什么”的問題．教育的功能之一是要培養(yǎng)在某個(gè)方面具有創(chuàng)造力的有用之人[10]，“通過問題學(xué)數(shù)學(xué)”“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”等教學(xué)理念的衍生回應(yīng)了教育的功能訴求[11]，相應(yīng)地，數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)從文化實(shí)踐的角度在一定程度上取得了“以人為本”的教學(xué)理念與“只注重解題、忽視數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化”的現(xiàn)實(shí)之間的平衡[12]，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了現(xiàn)實(shí)載體．那么，在實(shí)際的問題鏈教學(xué)中如何把握該平衡，這就涉及到“數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)到底應(yīng)該教給學(xué)生什么”的問題．

對(duì)數(shù)學(xué)的不同認(rèn)識(shí)決定了教師不同的問題鏈教學(xué)價(jià)值取向．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，中國(guó)大陸數(shù)學(xué)教師通常把數(shù)學(xué)看成是一個(gè)與邏輯有關(guān)的、有嚴(yán)謹(jǐn)體系的、關(guān)于圖形和數(shù)量的、精確運(yùn)算的一門學(xué)科．而事實(shí)上，數(shù)學(xué)是一種多樣化的、連續(xù)不斷地、由問題驅(qū)動(dòng)的人類創(chuàng)造性活動(dòng)，問題鏈教學(xué)的真正價(jià)值就在于通過問題模擬數(shù)學(xué)知識(shí)的生成與思維發(fā)展的脈絡(luò)，并達(dá)到應(yīng)用知識(shí)解決問題的目的．沒有問題就沒有創(chuàng)新，數(shù)學(xué)問題的提出能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力并且促使學(xué)生成為更好的問題解決者[13]．于是，問題鏈教學(xué)既是問題生成式教學(xué)，也是問題解決式教學(xué)[4]，也就是在動(dòng)態(tài)建構(gòu)的過程中從知識(shí)深入到“方法、思想與能力”，而不能僅僅停留在“概念、理論與命題”的知識(shí)表層．下面以“等差數(shù)列通項(xiàng)公式”的教學(xué)為例進(jìn)行說明．

案例1 在本節(jié)課的教學(xué)中，知識(shí)層面的教學(xué)目標(biāo)是“讓學(xué)生明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式”，素養(yǎng)層面的目標(biāo)是“在探究的過程中發(fā)展觀察、歸納、分析、推理的能力，滲透從特殊到一般的思想方法”，而問題鏈教學(xué)模式則以發(fā)展能力、提升素養(yǎng)為目標(biāo)，可以自然而然地以“思想方法”為引導(dǎo)，幫助學(xué)生達(dá)到“建構(gòu)知識(shí)框架”“掌握思想方法”與“提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)”齊頭并進(jìn)的效果．

問題鏈教學(xué)的指導(dǎo)思想是以“思想方法”為引導(dǎo)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)框架．一方面，注重思想方法的滲透和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，通過問題間的思維跨度為學(xué)生提供探索的可能性[2]．另一方面，不能忽視學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，通過為學(xué)生提供環(huán)環(huán)相扣、逐步推進(jìn)的問題，使學(xué)生獲得在內(nèi)容上較為深入的數(shù)學(xué)，最終使不同學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到不同的提升．

3.2 “法”——設(shè)計(jì)思路與結(jié)構(gòu)框架

明晰了問題鏈教學(xué)的“道”，就應(yīng)確定問題鏈教學(xué)的教學(xué)方法、設(shè)計(jì)思路、結(jié)構(gòu)框架．如前所述，問題鏈教學(xué)的價(jià)值在于教會(huì)學(xué)生思考問題的方法，但這并不意味著要讓學(xué)生思考和科學(xué)家一樣的問題，而是讓學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的精神和方法，用主干問題激發(fā)學(xué)生對(duì)更多問題的思考，并對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，使學(xué)生將已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移反思[14]，弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”講的就是這個(gè)道理．因此，問題鏈教學(xué)的課堂設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注師生交互的過程，把握講授式與發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法之間的平衡，不僅關(guān)注如何設(shè)計(jì)問題鏈，更要關(guān)注如何通過問題鏈教學(xué)促使學(xué)生深度理解知識(shí)、發(fā)展能力．

在問題鏈設(shè)計(jì)思路方面，“青浦經(jīng)驗(yàn)”的理論與實(shí)踐啟示數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)實(shí)行新問題和舊知識(shí)之間的整合，循序漸進(jìn)，把握知識(shí)之間的“潛在距離”，以適合學(xué)生的需要[15]．因此，問題之間應(yīng)具有一定的層次結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系和先后順序，問題要適切于學(xué)生的思維水平，并且具有一定的思維跨度，留給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，在解決問題的過程中體現(xiàn)學(xué)生的思維脈絡(luò)．在教學(xué)實(shí)施中通過講授式與發(fā)現(xiàn)式并重的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生采取觀察、試驗(yàn)、類比、歸納和猜想的學(xué)習(xí)方法，逐步發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，揭示知識(shí)的形成、發(fā)展過程，使學(xué)生建立概念間豐富的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，激發(fā)探究意識(shí)，培養(yǎng)探究能力[2，5]．

問題與問題之間的主次關(guān)系形成了主問題鏈和子問題鏈的紐帶．因此，教師設(shè)計(jì)的問題鏈在宏觀框架上，應(yīng)圍繞一個(gè)核心問題設(shè)置起點(diǎn)問題與若干中間問題（主問題），并依據(jù)問題間的主次關(guān)系設(shè)置主問題鏈與子問題鏈（具體設(shè)計(jì)思路與結(jié)構(gòu)框架如圖1所示）．起點(diǎn)問題是問題鏈教學(xué)的起始，從具體情境出發(fā)，實(shí)現(xiàn)新問題和原有知識(shí)之間的整合，循序漸進(jìn)；主問題鏈的功能在于體現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，子問題鏈在主問題之下，其功能是將學(xué)生的思維引入深處，使理解更深刻、具體．

圖5表示在不同業(yè)務(wù)量情況下，采用傳統(tǒng)二進(jìn)制退避BEB算法和DOB算法的系統(tǒng)平均接入時(shí)延.由圖5可知，在低業(yè)務(wù)量情況下，由于BEB算法自身的初始碰撞窗口已經(jīng)固定，在低業(yè)務(wù)量情況下也會(huì)產(chǎn)生退避時(shí)延，因此其接入時(shí)延較長(zhǎng).DOB算法會(huì)根據(jù)信道競(jìng)爭(zhēng)情況，自動(dòng)調(diào)整碰撞窗口值大小，從而減少了不必要的退避時(shí)延，降低了系統(tǒng)平均接入時(shí)延.另外，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=6時(shí)，DOB算法比BEB算法平均接入時(shí)延降低了10s.而隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加，BEB算法的系統(tǒng)平均接入時(shí)延迅速增加，而DOB算法的平均接入時(shí)延仍然較低，接入時(shí)延參數(shù)性能改善明顯.

圖1 數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)思路與結(jié)構(gòu)框架

案例2 在函數(shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，節(jié)起始部分根據(jù)函數(shù)圖象提出的“你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎？”是本節(jié)的起點(diǎn)問題，“定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性”是4個(gè)主問題，構(gòu)成主問題鏈，也即中間問題，這些問題均指向本節(jié)課的核心問題（函數(shù)的基本性質(zhì)）．其中，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)又包括若干個(gè)子問題，而每一個(gè)單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)也可以構(gòu)成一個(gè)問題鏈，相應(yīng)地派生出若干子問題鏈．隨之，子問題鏈中的核心問題、起點(diǎn)問題與中間問題也需重新確定．因此，主問題鏈與子問題鏈涵蓋的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容多少是相對(duì)的．

3.3 “術(shù)”——技術(shù)路線與處理手段

問題鏈的結(jié)構(gòu)框架，是問題鏈教學(xué)過程中主要教學(xué)思路的體現(xiàn)，它是對(duì)教學(xué)思路的進(jìn)一步教學(xué)化設(shè)計(jì)．因此，接下來應(yīng)該關(guān)注的問題就是處理問題鏈的技術(shù)路線，即如何建構(gòu)主問題鏈？如何通過子問題鏈完成主問題鏈教學(xué)．

首先，主問題鏈?zhǔn)墙y(tǒng)整單元、課時(shí)或某一教學(xué)環(huán)節(jié)的核心問題鏈，具有較大的思考空間，因此主問題鏈的建構(gòu)必須反映某一教學(xué)單元的整體目標(biāo)．為此，主問題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)持以整體思維觀，在研讀課標(biāo)、分析教材、把握學(xué)情及確定教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行．而學(xué)生在解決核心問題的過程中，往往需要通過子問題鏈引發(fā)深度思考，來降低問題理解難度，最終解決核心問題[16]．教師作為基礎(chǔ)教育改革發(fā)展中最重要的有生力量，設(shè)計(jì)問題鏈的能力與問題教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)是進(jìn)行問題鏈教學(xué)的關(guān)鍵[17]，而將主問題鏈逐級(jí)分解為子問題鏈則是問題鏈教學(xué)的必要手段．

案例3 在運(yùn)用基本不等式求最值的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師首先應(yīng)確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是“學(xué)生能夠正確運(yùn)用基本不等式求最值”．其中，基本不等式運(yùn)用的條件“一正、二定、三相等”是重點(diǎn)，因此為何要及如何滿足“一正、二定、三相等”則是問題的核心．于是，主問題鏈則由分別設(shè)計(jì)的“一不正”“二不定”（基于學(xué)情暫不考慮“三不等”情形，但可以告知學(xué)生“三不等”與對(duì)勾函數(shù)的聯(lián)系）的子問題構(gòu)成；而對(duì)于“二不定”的問題情境，又會(huì)出現(xiàn)“積不定”、“和不定”或分式形式的問題．于是，為了逐個(gè)擊破這些子問題，子問題鏈可以被相應(yīng)地確定下來（圖2）．通過探討“一不正”“二不定”的兩種情況均無(wú)法使基本不等式成立，從而確定基本不等式的條件．利用反向推理的方法，降低推理難度，并將分類討論思想與反證法等思想方法貫穿其中．

圖2 “利用‘基本不等式’求最值”課時(shí)問題鏈?zhǔn)纠?/p>

其次，在問題鏈教學(xué)過程，應(yīng)通過理性重構(gòu)來體現(xiàn)問題間的知識(shí)、方法與思考視角關(guān)聯(lián)，才能反向促進(jìn)問題鏈整體功能的實(shí)現(xiàn)，使課堂問題解決更具整體性．唐恒鈞[4]通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)新手教師的問題鏈設(shè)計(jì)體現(xiàn)知識(shí)關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)層層遞進(jìn)；而專家型教師的問題鏈設(shè)計(jì)體現(xiàn)方法關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)先粗后細(xì)、前鋪后琢．依據(jù)研究結(jié)論，該學(xué)者倡導(dǎo)“方法關(guān)聯(lián)”的問題鏈設(shè)計(jì)與處理手段，讓學(xué)生體驗(yàn)、獲得數(shù)學(xué)探究的基本視角與通法，同時(shí)倡導(dǎo)問題鏈教學(xué)的單元設(shè)計(jì)思路，即將具有相同研究視角或共同研究方法的問題作為一個(gè)單元進(jìn)行整體實(shí)施．例如，在人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》中，正余弦定理內(nèi)容劃歸為“平面向量知識(shí)的應(yīng)用”模塊，就是利用“方法關(guān)聯(lián)”建構(gòu)知識(shí)體系的具體表現(xiàn)．通過第一個(gè)主題的學(xué)習(xí)提煉并獲得基本的研究視角與方法，并在后續(xù)主題中以問題解決的形式加以應(yīng)用．

最后，問題鏈?zhǔn)墙處熣n外預(yù)設(shè)的，但在真實(shí)的課堂教學(xué)活動(dòng)中，師生的交互性使課堂“生成”的問題鏈并不一定與“預(yù)設(shè)”的相吻合．因此，問題鏈的課堂教學(xué)實(shí)踐并不是、也絕不能是教師在課堂上提出一個(gè)個(gè)預(yù)先設(shè)置好的問題，而應(yīng)根據(jù)師生互動(dòng)的實(shí)際情況靈活調(diào)整問題鏈，使學(xué)生在一些重要的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下拓展、延伸相應(yīng)的問題[9]，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)．

3.4 “器”——基本形式與教學(xué)載體

在明確設(shè)計(jì)思路后，就需要利用動(dòng)態(tài)課程與教學(xué)資源，建構(gòu)基于問題情境的具體問題鏈，即“器”主要回答“教師在課堂教學(xué)中為學(xué)生呈現(xiàn)怎么樣的問題鏈”的問題，也即問題鏈的基本形式，這取決于核心問題的特征與難度．問題是引導(dǎo)探索的，核心問題的解決必須從起點(diǎn)問題出發(fā)，通過解決一連串中間問題（問題鏈）而實(shí)現(xiàn)，這就要求教師設(shè)計(jì)的問題鏈應(yīng)具有啟發(fā)性、層次性和深刻性，反過來，對(duì)問題進(jìn)行推廣、引申、綜合、深化等操作后，通過中間問題的過渡作用進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)核心問題的探索．這一系列操作體現(xiàn)在問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中，就是教師對(duì)不同基本形式的問題鏈的尋找與建構(gòu)過程．對(duì)此，有學(xué)者提出，問題鏈的基本形式可以大致分為推廣（收縮）鏈、引申鏈、綜合鏈與深化鏈4類（表1）．唐恒鈞[12]也從一般化、特殊化、類比、逆向等4種基本思維出發(fā)，相應(yīng)地提出推廣鏈、特殊鏈、類比鏈與逆向鏈這4類問題鏈（表2）．

該案例所呈現(xiàn)的問題鏈，圍繞“平面向量的運(yùn)算法則”這個(gè)核心問題，以問題①為起點(diǎn)問題，②③④⑤為中間問題（也即主問題），通過數(shù)的加法性質(zhì)與力的合成，類比向量的加法性質(zhì)，在得到向量平行四邊形法則的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)思考三角形法則的性質(zhì)，最后以問題⑤逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量三角形法則的理解走向深化，是以深化鏈為基本形式的問題鏈．

表1 數(shù)學(xué)問題鏈的基本形式——案例1

表2 數(shù)學(xué)問題鏈的基本形式——案例2

案例5 再以“補(bǔ)集思想”進(jìn)行詳細(xì)說明．如下題目[18]：小明家中有甲、乙、丙3個(gè)鬧鐘，他每天準(zhǔn)時(shí)起床必須靠鬧鐘叫醒自己．假設(shè)任一鬧鐘響就能起床，甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.8，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.9，丙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.75，求小明能準(zhǔn)時(shí)起床的概率．

若依據(jù)原問題設(shè)置“求小明不能準(zhǔn)時(shí)起床的概率”的逆向鏈，進(jìn)而由“甲鬧鐘不能按時(shí)響的概率”“乙鬧鐘不能按時(shí)響的概率”“丙鬧鐘不能按時(shí)響的概率”的問題鏈，引申出“甲、乙、丙3個(gè)鬧鐘都不能按時(shí)響的概率”的問題，就可以大大降低原問題的理解難度．

此外，不同形式問題鏈的建構(gòu)還可以從其它不同角度出發(fā)，如依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、命題、定理等）、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)規(guī)律等尋找與建構(gòu)概念鏈、命題鏈、方法鏈等問題鏈；依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、十大核心詞等尋找與建構(gòu)運(yùn)算鏈、推理鏈等問題鏈．凡此種種，所有基本形式均體現(xiàn)了以問題為主線，以“提出問題—解決問題—再發(fā)現(xiàn)問題”為全過程的、兼具收斂性和發(fā)散性的數(shù)學(xué)思維方法，能夠?yàn)榻處焼栴}鏈的尋找與建構(gòu)提供基本參考依據(jù)[3]．

4 基于數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)優(yōu)化的教學(xué)建議

基于數(shù)學(xué)問題鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，要遵其“道”：注重基礎(chǔ)與培養(yǎng)創(chuàng)新相結(jié)合；循其“法”：講授式與發(fā)現(xiàn)式相結(jié)合；明其“術(shù)”：整體設(shè)計(jì)與分解實(shí)施相結(jié)合；用其“器”：課前預(yù)設(shè)與實(shí)際生成相結(jié)合．不僅關(guān)注問題鏈的“設(shè)計(jì)”，也要關(guān)注問題鏈的“實(shí)施”與“評(píng)價(jià)”，堅(jiān)持“教、學(xué)、評(píng)”一體化，進(jìn)而構(gòu)建完善的問題鏈教學(xué)“設(shè)計(jì)—實(shí)施—評(píng)價(jià)”體系，具體流程如圖3所示．

圖3 數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)“設(shè)計(jì)—實(shí)施—評(píng)價(jià)”體系

4.1 頂層設(shè)計(jì)——道法一體

基于“問題鏈”的教學(xué)應(yīng)充分發(fā)揮問題驅(qū)動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的功能，體現(xiàn)“問題解決式”的教育價(jià)值取向，遵循“注重基礎(chǔ)、培養(yǎng)創(chuàng)新”的指導(dǎo)思想；明確主問題鏈與子問題鏈的設(shè)計(jì)思路與結(jié)構(gòu)框架，并以講授式與發(fā)現(xiàn)式并重的教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)真正的自主探究，堅(jiān)持實(shí)現(xiàn)“道”與“法”的辯證統(tǒng)一．

具體而言，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，問題鏈的創(chuàng)設(shè)必須把握好注重基礎(chǔ)與培養(yǎng)創(chuàng)新的平衡點(diǎn)．衡量問題鏈教學(xué)價(jià)值的標(biāo)尺并不在于其囊括了多少精深、生僻的問題，而貴在其能否讓學(xué)生體會(huì)思考問題的方法與視角、并不斷建構(gòu)新知識(shí)[6]．在實(shí)施方面，不僅關(guān)注教師的引導(dǎo)，還應(yīng)在師生交互的過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探索，這是問題鏈教學(xué)中非常重要的學(xué)習(xí)行為[4]．因此，在問題鏈教學(xué)的推進(jìn)過程中，學(xué)生不僅是回答問題、解決問題，還應(yīng)發(fā)現(xiàn)、提出問題，教師則應(yīng)給學(xué)生“冷靜思考的時(shí)間”和“充分表達(dá)的機(jī)會(huì)”．在評(píng)價(jià)方面，教師應(yīng)關(guān)注自身設(shè)計(jì)的問題鏈?zhǔn)欠耋w現(xiàn)了“問題驅(qū)動(dòng)式”與“問題解決式”的指導(dǎo)思想和教學(xué)理念，是否能夠有效引導(dǎo)學(xué)生通過問題建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)框架并持續(xù)探索；關(guān)注學(xué)生是否能夠真正通過觀察、試驗(yàn)、猜想等學(xué)習(xí)行為進(jìn)行問題鏈的探索．

4.2 基礎(chǔ)建設(shè)——術(shù)器合一

基于“問題鏈”的教學(xué)不僅需要重視“頂層設(shè)計(jì)”，還應(yīng)關(guān)注“基礎(chǔ)建設(shè)”．在問題鏈的尋找與建構(gòu)過程中應(yīng)依據(jù)教學(xué)內(nèi)容合理采用多種不同形式的問題鏈，明確問題鏈整體設(shè)計(jì)與分解實(shí)施的技術(shù)路線，重視問題之間的方法關(guān)聯(lián)，在問題鏈形式的選取上堅(jiān)持課前預(yù)設(shè)與實(shí)際生成相結(jié)合，達(dá)到術(shù)器合一．

具體而言，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，教師應(yīng)當(dāng)積極開發(fā)教學(xué)資源，擴(kuò)大問題搜索范圍，并依據(jù)教學(xué)內(nèi)容篩選問題類型，依據(jù)知識(shí)內(nèi)容的特征確定問題鏈的基本形式．在技術(shù)路線上應(yīng)從宏觀入手，整體設(shè)計(jì)主問題鏈，逐步過渡到微觀，將主問題鏈分解到各個(gè)課時(shí)去完成，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷深化發(fā)展．在實(shí)施方面，教師應(yīng)當(dāng)注重不同問題之間的“方法關(guān)聯(lián)”，兼顧“知識(shí)關(guān)聯(lián)”，兼顧學(xué)生思想方法的掌握與知識(shí)框架的持續(xù)建構(gòu)．倘若教師設(shè)計(jì)的問題鏈忽視問題間的關(guān)聯(lián)，就會(huì)使問題鏈教學(xué)淪為機(jī)械式的問題堆積與題海訓(xùn)練，從而不利于學(xué)生知識(shí)框架的建構(gòu)與問題解決能力的培養(yǎng)．同時(shí)，教師在實(shí)施過程還應(yīng)把握先慢后快、先松后緊的教學(xué)節(jié)奏，使得學(xué)生建構(gòu)知識(shí)、探索未知的空間也先小后大[4]，因此，教師不能滿足于預(yù)設(shè)好的、具有邏輯關(guān)聯(lián)的問題鏈形式，更不能“鄭人買履”或生搬硬套，而有必要依據(jù)實(shí)施中的具體情況靈活調(diào)整預(yù)設(shè)的問題鏈，抓住師生互動(dòng)過程中“實(shí)際生成”的每一個(gè)有價(jià)值的問題．在評(píng)價(jià)方面，教師應(yīng)思考自身是否能夠依據(jù)教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生呈現(xiàn)合適的問題鏈形式，關(guān)注自身是否能夠在整體觀的指導(dǎo)下設(shè)計(jì)與實(shí)施問題鏈教學(xué)，是否能夠有效處理問題鏈的預(yù)設(shè)與生成之間的關(guān)系，采取的知識(shí)關(guān)聯(lián)或方法關(guān)聯(lián)是否與本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容相適應(yīng)等．

5 結(jié)語(yǔ)

從“道 法 術(shù) 器”的角度梳理數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，實(shí)則也是對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育哲學(xué)視角下問題鏈教學(xué)的“價(jià)值論”“目的論”及“方法論”的初步探索，這對(duì)數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的理論探索和實(shí)踐操作均具有現(xiàn)實(shí)意義．后續(xù)研究應(yīng)繼續(xù)側(cè)重于問題鏈教學(xué)的實(shí)踐，開展更為豐富的案例分析，如探析單元、大概念、深度學(xué)習(xí)等視域下的問題鏈（范疇、難易、方法、思維等）教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)的理路等．

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“Dao FA Shu Qi” in Mathematics Problem Chain Teaching

FENG Yuan-yuan, SU Gui-hua, ZHANG Ding-qiang

(College of Teacher Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Mathematics problem chain teaching is an important way to implement the fundamental task of “Building Morality and cultivating people”. This paper explains the guiding ideology, teaching and learning methods, teaching techniques and substantial forms of problem chain teaching from the perspective of “Dao FA Shu Qi”, and puts forward some teaching suggestions from the perspective of the integration of “Design-Implementation-Evaluation”. On the one hand, we should pay attention to the “Top-level design” of ideology and method: follow the guiding ideology of “Laying stress on foundation and cultivating innovation” and the design ideas and structural framework of the problem chains; both of the lecture and discovery method should be adopted to guide the students to achieve the “True inquiry”. On the other hand, we should pay attention to the “Basic construction” of teaching techniques and substantial forms: clarify the technical route for the overall design and decomposition of Problem Chains, and pay attention to the “Method connection” between the problems. In addition, various types of problem chains should be reasonably adopted according to the teaching content, and properly handle the relationship between “preset” and “generation” of the problem chains.

middle school mathematics; problem chain; “Dao FA Shu Qi”

G40–03

A

1004–9894（2023）05–0042–05

馮園園，宿桂花，張定強(qiáng)．中學(xué)數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的“道 法 術(shù) 器”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（5）：42-46．

2023–06–21

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃2018年度教育學(xué)西部項(xiàng)目——西北民族地區(qū)高中生理科學(xué)科核心素養(yǎng)培育路徑研究（XHA180288）

馮園園（1997—），男，陜西榆林人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)論研究．張定強(qiáng)為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]