單元視角下多邊形面積教學(xué)路徑新探索
——“多邊形面積”單元教學(xué)內(nèi)容分析與關(guān)鍵課例課堂實(shí)錄

文|沈 強(qiáng)

一、單元教材分析

（一）依據(jù)圖形之間的聯(lián)系安排教學(xué)順序，進(jìn)行面積公式推導(dǎo)

翻閱國(guó)內(nèi)各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，多邊形面積單元教學(xué)的順序都是按先學(xué)“平行四邊形面積”，再學(xué)“三角形面積”，最后學(xué)“梯形的面積”。平行四邊形面積計(jì)算主要有兩種方法，一種是直接度量，另一種是間接度量。直接度量是將平行四邊形放在格子圖中，通過(guò)數(shù)格子直接數(shù)出面積。間接度量是將平行四邊形通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出平行四邊形面積公式。三角形面積公式推導(dǎo)則主要采用倍拼法，用兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形面積公式推導(dǎo)出三角形面積公式。教材還在“你知道嗎”欄目中介紹《九章算術(shù)》中的“方田章”，詳細(xì)論述平面圖形面積的算法。而梯形面積公式的推導(dǎo)方法與三角形相似，也采用倍拼法。教材又在“你知道嗎”欄目中介紹數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)原理來(lái)計(jì)算平面圖形的面積。

（二）通過(guò)計(jì)算組合圖形和不規(guī)則圖形面積，培養(yǎng)解題思路和估測(cè)能力

在組合圖形面積計(jì)算中，將其分解成若干個(gè)基本圖形的能力是最基本能力，在保證數(shù)據(jù)完整性的多種分法中選取較優(yōu)方法是較高能力。在計(jì)算組合圖形面積中，既要保證學(xué)生達(dá)到基本能力，又要努力促進(jìn)學(xué)生較高能力的發(fā)展。

在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)測(cè)量各種不規(guī)則圖形，它們往往無(wú)法分解成基本圖形。學(xué)生需要根據(jù)圖形的形狀，靈活運(yùn)用各種策略和方法估計(jì)出圖形的面積，以提高估測(cè)能力和解決問(wèn)題的能力。

二、單元課時(shí)劃分

（一）教材中多邊形面積公式推導(dǎo)方法較為單一

從教材編寫來(lái)看，平行四邊形面積公式推導(dǎo)采用剪拼法，三角形和梯形面積公式推導(dǎo)采用倍拼法，其他推導(dǎo)方法只作為課后簡(jiǎn)單了解，推導(dǎo)方法顯得比較單一。

（二）學(xué)生較難自發(fā)聯(lián)想到剪拼法和倍拼法

在平行四邊形面積公式推導(dǎo)中，受長(zhǎng)方形面積公式和四邊形活動(dòng)框架的影響，學(xué)生很容易想到面積是“鄰邊相乘”。且在學(xué)生心目中，學(xué)具是不能隨意破壞的，學(xué)生不敢隨意去剪平行四邊形的紙片進(jìn)行拼搭，較難自主聯(lián)想到剪拼法。同樣，三角形（或梯形）面積公式推導(dǎo)，如果只提供一個(gè)三角形（或梯形），學(xué)生是較難聯(lián)想到用倍拼法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的。在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)提供多個(gè)完全相同的三角形或梯形，學(xué)生在隨意拼搭中拼成已學(xué)過(guò)的平行四邊形，所以倍拼法受學(xué)具的暗示性較強(qiáng)。

提出設(shè)想：能否將三角形面積公式推導(dǎo)作為單元起始課？

筆者一直在思考：若沒(méi)有平行四邊形面積公式的支撐，只學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積公式，三角形面積公式可否進(jìn)行推導(dǎo)？學(xué)生會(huì)把三角形面積轉(zhuǎn)化成什么圖形來(lái)推導(dǎo)？學(xué)生如何想到把三角形面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形面積？帶著這些問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)嘗試，希望能另辟一條教學(xué)新路徑。那么如果將之作為單元起始課，會(huì)有什么優(yōu)勢(shì)？從理論上來(lái)講，三角形是最基本的圖形，平行四邊形和梯形都可將其分割成兩個(gè)三角形進(jìn)行公式推導(dǎo)，其他多邊形也都能分割成若干個(gè)三角形進(jìn)行面積公式推導(dǎo)。也就是說(shuō)最基本圖形的面積公式已知后，所有的多邊形（包括圓形）都能借助基本圖形進(jìn)行面積公式推導(dǎo)。

基于以上的分析和思考，對(duì)本單元的教學(xué)順序進(jìn)行重構(gòu)。單元重構(gòu)著重體現(xiàn)兩點(diǎn)想法：一是把三角形面積作為單元起始課；二是將平行四邊形和梯形面積整合為一課時(shí)，因?yàn)檫@兩個(gè)面積公式推導(dǎo)具有很強(qiáng)的相似性，既可以分割成兩個(gè)三角形，利用乘法分配律進(jìn)行推導(dǎo)，梯形又可以通過(guò)倍拼法轉(zhuǎn)化成平行四邊形。圖1是整合后的單元編排結(jié)構(gòu)圖。

圖1

圖2

圖3

三、關(guān)鍵課例設(shè)計(jì)

【第1 課時(shí)：三角形的面積】

（一）總體框架（表1）

表1

（二）教學(xué)實(shí)錄

●學(xué)習(xí)任務(wù)（一）：畫三角形，使三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半

1.呈現(xiàn)任務(wù)，嘗試畫圖

提出任務(wù)：在長(zhǎng)方形里畫一個(gè)三角形，使三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半。呈現(xiàn)學(xué)生的作品。

師：你有什么辦法說(shuō)明三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半？

生：可以沿著長(zhǎng)方形對(duì)角線剪開(kāi)，將兩個(gè)三角形疊在一起，看看是不是一樣大。

學(xué)生動(dòng)手操作，得出結(jié)論：沿著長(zhǎng)方形的對(duì)角線剪開(kāi)，兩個(gè)三角形的面積一樣大。

2.多元表征，表達(dá)畫法

師：你還能畫出不一樣的三角形嗎？

學(xué)生動(dòng)手操作，組內(nèi)交流。呈現(xiàn)學(xué)生的作品。

師：說(shuō)一說(shuō)你是怎么畫的？

生：圖4 先在長(zhǎng)方形的上邊找到中點(diǎn)，再畫一個(gè)三角形。

圖4

生：圖5 在長(zhǎng)方形上邊任意找一個(gè)點(diǎn)，然后畫一個(gè)三角形。

圖5

3.引出高線，便于說(shuō)理

師：關(guān)于圖4 你有什么辦法說(shuō)明三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半？

生：可以在三角形的中間添上一條線。

讓學(xué)生上臺(tái)，在三角形中添線（如圖6 不出示①②③④），教師追問(wèn)：這條線畫的時(shí)候有什么要求？

圖6

生：這條線要與下面的邊互相垂直。

師：你發(fā)現(xiàn)所畫的這條線就是三角形的什么？

生：三角形的高。

師：繼續(xù)說(shuō)一說(shuō)你的想法。

生：我把四個(gè)三角形標(biāo)一下，①號(hào)和②號(hào)面積相等，③號(hào)和④號(hào)面積相等，所以三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半。

師：你們發(fā)現(xiàn)要說(shuō)清楚，必須做什么？

生：必須畫高。

對(duì)于圖5，讓學(xué)生添上高線后互相說(shuō)一說(shuō)。

●學(xué)習(xí)任務(wù)（二）：量出數(shù)據(jù)，計(jì)算三角形的面積

1.提出問(wèn)題，嘗試解決

呈現(xiàn)《學(xué)習(xí)單》上的三角形，提出任務(wù)：測(cè)量邊線的長(zhǎng)度，計(jì)算出三角形的面積。

2.呈現(xiàn)作品，反饋交流

呈現(xiàn)作品1：只測(cè)量三條邊線的長(zhǎng)度（如圖7）。

圖7

師：你是怎么想的？遇到了什么困難？

生：我想三角形的面積應(yīng)該跟三條邊的長(zhǎng)度有關(guān)，但測(cè)量出長(zhǎng)度后就不知道怎么做了。

呈現(xiàn)作品2：計(jì)算三角形的周長(zhǎng)。

師：你們看懂這位同學(xué)是怎么做的了嗎？

生：他算的是三角形的周長(zhǎng)，而我們要求三角形的面積，所以不對(duì)。

呈現(xiàn)作品3：利用面積公式計(jì)算（如圖8）。

圖8

師：你是怎么想的？

生：我測(cè)量了三角形的底和高，利用三角形面積=底×高÷2，算出來(lái)是6×4÷2=12（cm2）。

師：原來(lái)你已經(jīng)知道了三角形面積的計(jì)算方法，那你知道為什么這么算嗎？

生：我看了書上的公式，但不清楚為什么要這樣算。

呈現(xiàn)學(xué)生作品4：利用長(zhǎng)方形和三角形之間的面積關(guān)系來(lái)計(jì)算（如圖9）。

圖9

師：有誰(shuí)看懂他的方法了？

生：在三角形外面畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是6cm，寬是4cm，所以長(zhǎng)方形的面積是24cm2。剛才我們知道三角形的面積是長(zhǎng)方形的一半，所以24 再除以2 等于12cm2。

生：他利用了任務(wù)（一）中的結(jié)論，先算出長(zhǎng)方形面積，再除以2 就是三角形面積。

3.公式推導(dǎo)，得出結(jié)論

師：6×4÷2，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這里的6 和4 分別表示什么意思？

生：6cm 是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也是三角形的底。

生：4cm 既長(zhǎng)方形的寬，又是三角形的高。

師：那你覺(jué)得三角形的面積公式可能怎么表達(dá)？

生：長(zhǎng)方形面積÷2=三角形面積。

生：底×高÷2=三角形面積。

師：這兩個(gè)公式都正確，你覺(jué)得以后用哪個(gè)公式更方便？

生：用下面的公式，因?yàn)槲覀兺茖?dǎo)的過(guò)程是用上面的公式，要求三角形的面積就要用三角形的底和高。

板書公式：底×高÷2=三角形面積。

●學(xué)習(xí)任務(wù)（三）：提供數(shù)據(jù)，鞏固三角形面積計(jì)算方法

1.提供數(shù)據(jù)，列式計(jì)算

呈現(xiàn)3 個(gè)沒(méi)有數(shù)據(jù)的三角形，思考：要計(jì)算三角形面積，你需要老師提供哪些數(shù)據(jù)？

生：需要知道底和高。

教師呈現(xiàn)底和高的數(shù)據(jù)（如圖10），計(jì)算3 個(gè)三角形的面積。

圖10

生：10×4÷2=20（cm2），4×6÷2=12（cm2），7×6÷2=21（cm2）。

2.提出思考，回顧推導(dǎo)

師：請(qǐng)你想一想算式中的“10×4”“4×6”“7×6”分別是在算什么？你能把這個(gè)長(zhǎng)方形畫出來(lái)嗎？

通過(guò)課堂實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)把三角形面積作為單元起始課是可行的，學(xué)生也能順利地進(jìn)行面積公式推導(dǎo)，并理解其中的道理。同時(shí)，將平行四邊形和梯形面積公式推導(dǎo)放在“例2”，教學(xué)實(shí)踐效果也較好。在“例3”專項(xiàng)鞏固練習(xí)中，繼續(xù)開(kāi)展三角形、平行四邊形和梯形面積其他的推導(dǎo)方法，豐富推導(dǎo)方法，滿足不同層次學(xué)生的需求。在不斷思考和教學(xué)實(shí)踐中，找到了多邊形面積教學(xué)的新路徑，我們不比哪個(gè)學(xué)習(xí)路徑更好，而是在單元視角下打開(kāi)教學(xué)研究的一種思路，提升研究能力和實(shí)踐能力。