數學課堂教學中的“失理”現象及解決策略

周榮偉

《義務教育數學課程標準（2022年版）》第二部分課程理念指出：要確立核心素養導向的課程目標，要設計體現結構化特征的課程內容，要實施促進學生發展的教學活動，要探索激勵學習和改進教學的評價，要促進信息技術與數學課程融合.但在目前的初中數學課堂教學中，依然存在著不少違背上述理念（“失理”）的現象，這對于學生核心素養的發展，以及數學課程育人價值的體現是非常不利的，下面結合三個案例，談談課堂教學三個階段中的“失理”現象及解決策略，進而構建充滿生命靈動的“三生課堂”.

1獲得研究對象階段中的“失理”現象及解決策略

案例1蘇科版八年級下冊《第9章中心對稱圖形——平行四邊形》復習課：“平行六邊形”

“失理”現象回顧《第9章中心對稱圖形——平行四邊形》的整章知識框架，領悟研究幾何圖形的一般方法；在規定“平行六邊形”的概念的基礎上，通過類比的方式，引導學生自主思考、動手操作、合作探究、直觀想象、猜想驗證、歸納總結，探究“平行六邊形”的性質和判定；由一般到特殊，建立多個圖形之間的聯系；總結研究圖形的方法，為后續研究其他圖形作鋪墊，

解決策略應該說教師進行了較好的課程資源的開發和利用，美中不足的是“平行六邊形”概念的規定，本節課為什么要學習“平行六邊形”？或者說“平行六邊形”的現實意義是什么？在這些都沒交代清楚的前提下，就給出“平行六邊形”的定義，屬于獲得研究對象階段中的“失理”現象，其實學生頭腦中的“平行六邊形”應該是正六邊形的模型.因此，可以由世界乒聯授予中國乒乓球運動員馬龍“六邊形戰士”（如圖1），即特殊的“平行六邊形”一正六邊形出發，先弱化邊相等的條件得到角相等的“平行六邊形”（如圖2），再由角相等的“平行六邊形”弱化角相等的條件得到一般的“平行六邊形”（如圖3）.在整體自主建構得出“平行六邊形”的定義后，再用小組合作的方式，對一般的“平行六邊形”進行深度的探究，并在交流小結時得到全面的提升.這樣，與原設計相比，原設計是順向類比探究，在思維層次上屬于簡單地模仿；改變后的設計是一個逆向的過程，更多培養的是學生的逆向思維，屬于應用創新的層次.也就是說，在平行四邊形這個單元教學時，新授課我們可以沿著不斷強化條件的思路，由一般走向特殊，即由平行四邊形，到矩形、菱形直至正方形；但是到了復習課，我們可以不斷弱化條件，由特殊走向一般，即由正方形出發，到矩形、菱形，最終回到平行四邊形，這樣，通過強化或者弱化圖形的條件，得到新的研究對象，可以有效地培養學生思維的批判性.

2探究研究對象階段中的“失理”現象及解決策略

案例2蘇科版八年級下冊《9.4矩形、菱形、正方形（1）》

“失理”現象在復習平行四邊形的基礎上，展示一個平行四邊形的活動框架，通過變化一個角是直角，得到一個特殊的平行四邊形一長方形.此時，老師提醒學生：小學里的長方形，現在叫矩形，接下來請小組合作探究矩形的性質.5分鐘后，各小組匯報展示，順利得出矩形的各條性質，最后運用大量的時間進行矩形性質的應用.

解決策略長方形為什么叫矩形可能一直是困惑學生的不解之謎，教師在課堂上直接規定就顯得非常突兀！此時教師若能適時介紹“規矩”的含義：“規”是畫圓的工具，“矩”是畫直角或方形的工具，兩字組合在一起表示校正圓形、方形的兩種工具，多用來比喻標準法度.由此再結合定義“有一個角是直角的平行四邊形是長方形”，把長方形稱為矩形也就水到渠成了，華東師范大學崔允漷教授認為，教師不僅要教學生學會讀書（知識），而且要教學生學會做事（能力），更要教學生學會做人（素養）.課堂上教師可以及時給同學們提出一些讀書的“規矩”、做事的“規矩”、甚至做人的“規矩”，從而真正將使能力、素養落地的“最后一公里”做細、做實.小組合作可以拓展學生的學習空間，培養學生的自學能力，但課堂上學生得出的結論往往是散亂的，教師如果在此一滑而過的話，不利于學生形成理性思維，這些均屬于探究研究對象中的“失理”現象，合作學習中教師的引導顯得更為重要：研究圖形的性質的一般視角是“邊、角、對角線、對稱性”；研究四邊形的一般思路是轉化為三角形；研究特殊四邊形的一般方法是條件的強化等等.因此，教師要特別注意引導學生體會圖形的“研究思路”，引導學生由“學會”走向“會學”，從而積極追求更高的教學價值.

3應用研究對象階段中的“失理”現象及解決策略

案例3蘇科版七年級下《9.4乘法公式（1）》

“失理”現象在通過拼圖活動得出猜想，并用多項式乘法法則計算推理后，順利得出兩個完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a－b）²=a²－2ab+b².此時，教師為了讓學生更清晰地記住兩個公式的特點，直接在多媒體上展示了完全平方公式的口訣：“首平方，尾平方，首尾積的2倍放中央，符號看前方”，并具體解釋了符號看前方括號內中間的符號.接下來，就利用這個口訣進行例題與練習的教學，

解決策略積的2倍一定要放在中央嗎？符號看前方一定正確嗎？口訣易記易懂，合理使用確實可以提高學習效率，但口訣的得出應該是在應用公式的基礎上，經歷師生一起提煉的過程，否則就容易出現應用研究對象中的“失理”現象.完全平方公式的文字表達應該是：“兩個數的和（或差）的平方等于這兩個數的平方和與它們積的2倍的和（或差）”，這里更強調的是平方和的概念，以培養學生的整體思維，而不是人為地把它割裂為“首平方，尾平方”，從這個角度講，積的2倍放在最后更合理，同時，積的符號不能僅僅看表面，從本質上講，這兩個公式可以合二為一，就是“兩個數的和的平方等于這兩個數的平方和與它們積的2倍的和”.如教材76頁例2用完全平方公式計算（-2a - 5）2，把它看成[（－2a）+（－5）]²，應用（a+b）²=a²+2ab+b²計算.此時積的兩倍應該是2×（－2a）×（－5），符號應該為“+”號，如果死記硬套“符號看前方”的口訣，就會得出積為“－”號的錯誤結論.因此，教學時，關于學生易錯的積的符號問題，可以放在例題、練習之后，在學生對完全平方公式的“特征”已有一定的認識的基礎上再歸納，從而實現數學知識“特征本質”的過程，有利于批判反思和應用——高階思維的培養.

《義務教育數學課程標準（2022版）》強化了課程育人導向，這就需要我們整體理解與把握學習目標，注重知識學習與價值教育有機融合，發揮每一個教學活動多方面的育人價值.在獲得研究對象、探究研究對象和應用研究對象的教學過程中，應有效避免“失理”現象，實現“整體數學”教學的“三通”：從“順向思維”到“逆向思維”的融通，從“知識技能”到“能力素養”的聯通，以及從“淺層學習”到“深度學習”的貫通，進而構建“三生課堂”樣本：回歸課堂“生活”本真，用數學的眼光觀察世界；強化課堂有效“生成”，用數學的思維分析世界；塑造課堂鮮活“生命”，用數學的語言表達世界，這樣的課堂猶如太湖石的靈動：瘦，意在簡約，注重數學思維發展；皺，意在生動，注重多種學習方式并用；漏，意在留白，注重個性和品質塑造；透，意在深刻，注重思維和精神成長.