求復數模的最值問題解題策略

王遠征

(廣東省深圳市高級中學南校區)

求復數模的最大(小)值是全國高中數學聯賽和強基計劃中的熱點問題,其解題策略是把復數問題實數化、直觀化、熟悉化,即將復數問題轉化為實數問題來處理,轉化為實數范圍內,求模的最大(小)值問題來解決;或發掘問題的幾何意義,利用幾何圖形的直觀性來解答,把陌生的問題轉化為熟悉的問題來解答.本文將舉例說明.

分析 設虛數z＝x＋yi,x,y∈R,y≠0,因為滿足為實數,其揭示出實數x,y之間的數量關系,所以計算,用實數x,y來表示目標函數|w－u2|,將問題轉化為實數范圍內的二元條件最值問題來求解.

解設虛數,則

將x2＋y2＝1代入上式化簡得,于是

因為－1＜w＜2,所以－1＜2x＜2,即0.5＜x＋1＜2,于是

分析設復數z＝x＋yi,x,y∈R.因為為實數,則,即

得x＋2y＝2.而

所以問題轉化為當x＋2y＝2 時,求|z＋3|＝的最小值.下面用三種方法求|z＋3|的最小值.

解法1利用柯西不等式求解.

解法2數形結合,因數思形,借助幾何圖形的直觀性求解.

因為|z＋3|的幾何意義是點P(x,y)與定點A(－3,0)之間的距離,則|z＋3|的最小值表示在平面直角坐標系xOy中,定點A(－3,0)到直線x＋2y－2＝0的距離,.

易求得點P(x,y)在過定點A(－3,0)且垂直于直線x＋2y－2＝0的直線y＝2(x＋3)上,解方程組得所以當時,|z＋3|取得最小值.

解法3將二元問題轉化為一元問題,借助一元二次函數來求解.

因為x＋2y＝2,所以x＝2－2y,于是

分析由題設結合純虛數的性質知0,即,進而利用模與共軛的性質以及三角形不等式求解.

解記z＝z1＋z2＋z3,即|z|＝1,由已知得,即,則

由三角形不等式得

分析根據已知條件將化簡整理成關于角度α的函數,再利用換元法將問題轉化為函數在閉區間上的最值問題.

則函數f(u)的圖像如圖1所示.當時,有

圖1

分析由|z|＝1,得,代入|z2－z＋1|,將2次降為1次,即

于是有如下兩種求解方法:可以利用復數的三角形式表示|z2－z＋1|,借助三角函數的有界性求最大值;或利用復數的代數形式表示|z2－z＋1|,然后轉化為在實數范圍內有附加條件的函數最值問題求解.

解法1復數z滿足|z|＝1,故可設z＝cosα＋isinα,α∈[0,2π),由|z|＝1,得,則

當且僅當cosα＝－1,即z＝－1時,|z2－z＋1|取得最大值3.

解法2設復數z＝x＋iy(x,y∈R).由|z|＝1,得,當且僅當x＝－1,即z＝－1時,|z2－z＋1|取得最大值3.

分析利用復數的三角形式表示z1,z2和|z1－z2|,并用三角函數的有界性求出|z1－z2|的最大值和最小值.

解設z1－1＝cosα＋isinα,α∈[0,2π),則

解答復數模的最值問題的關鍵在于把復數問題轉化為實數問題來處理,然后利用實數范圍內求最值問題的常用方法來解決,如利用基本不等式、柯西不等式、三角形函數的有界性、一元二次函數的性質或數形結合方法求解.

鏈接練習

1.(2017年北京大學自主招生10)已知復數z滿足為實數,則|z＋i|的最小值等于( ).

2.(2017年清華大學領軍計劃7,多選題)若z,w都是復數,|z＋w|＝1,|z2＋w2|＝4,則|zw|( ).

3.(2022年全國高中數學聯賽一試A 卷4)設a為實數,若存在實數t使得為實數(i為虛數單位),則a的取值范圍是_________.

4.已知復數z滿足.

(2)當w取得最大值時,求對應的z.

5.設復數z1,z2滿足Re(z1)＞0,Re(z2)＞0,且,其中Re(z)表示復數z的實部.

(1)求Re(z1z2)最小值;

鏈接練習參考答案

(完)