謹(jǐn)防復(fù)數(shù)解題中的六個(gè)誤區(qū)

王 新

(云南省昆明市第八中學(xué))

眾所周知,數(shù)系的擴(kuò)充使實(shí)數(shù)集得到了進(jìn)一步“升級(jí)”,于是出現(xiàn)了復(fù)數(shù)集,復(fù)數(shù)集通常用C 來(lái)表示.復(fù)數(shù)包含了實(shí)部與虛部?jī)蓚€(gè)部分,若對(duì)復(fù)數(shù)的概念理解不透,則往往會(huì)把實(shí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則“遷移”到復(fù)數(shù)運(yùn)算中去,于是就會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.那么復(fù)數(shù)運(yùn)算中有哪些誤區(qū)值得我們注意呢? 本文舉例說(shuō)明.

誤區(qū)1無(wú)論x在什么范圍內(nèi),都有x2＝|x|2成立.

當(dāng)x∈R 時(shí),x2＝|x|2恒成立,無(wú)可厚非.但當(dāng)x∈C時(shí),x2＝|x|2還能成立嗎? 答案顯然是否定的.試想,當(dāng)x是虛數(shù)且非純虛數(shù)時(shí),x2仍是虛數(shù),而|x|2卻是實(shí)數(shù),所以它們是不相等的.

A.2 B.4 C.6 D.8

錯(cuò)解由x2－5|x|＋6＝0,得

(|x|－2)(|x|－3)＝0,

那么|x|＝2或3,從而x＝±2或x＝±3,故選B.

剖析上述錯(cuò)解就是把實(shí)數(shù)中的x2＝|x|2的結(jié)論無(wú)條件地搬到復(fù)數(shù)運(yùn)算中,從而導(dǎo)致計(jì)算失誤.

正解設(shè)x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即為

得

誤區(qū)2無(wú)論x在什么范圍內(nèi),xmn＝(xm)n恒成立.

顯然,當(dāng)x∈R 時(shí),xmn＝(xm)n恒成立,當(dāng)x為虛數(shù)時(shí),xmn＝(xm)n未必成立,舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子:,這種錯(cuò)誤可謂防不勝防.

A.1 B.i C.－i D.沒(méi)有意義

錯(cuò)解因?yàn)?故選A.

剖析在實(shí)數(shù)集中,對(duì)任意x∈R,m,n∈R,有xmn＝(xm)n.而在復(fù)數(shù)集中,僅對(duì)m,n∈N*,有xmn＝(xm)n.上述錯(cuò)解盲目地將實(shí)數(shù)集中的指數(shù)運(yùn)算法則直接推廣到復(fù)數(shù)集的運(yùn)算中.

正解,故選C.

誤區(qū)3z＝a＋bi(a,b∈R)是純虛數(shù)?a＝0.

當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí),它的實(shí)部一定為零,它所表示的點(diǎn)在虛軸上,但是虛軸上的點(diǎn)未必都是虛數(shù),因?yàn)樵c(diǎn)代表的是實(shí)數(shù)0.

A.3 B.3或－1 C.－1 D.2

錯(cuò)解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,則m＝3或－1,故選B.

剖析復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)是純虛數(shù)的充要條件為,兩者缺一不可,而上述錯(cuò)解恰恰沒(méi)有考慮b≠0.

正解由故選A.

誤區(qū)4a＋bi＝c＋di?a＝c,且b＝d.

復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是實(shí)數(shù),兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等.而在“a＋bi＝c＋di?a＝c,且b＝d”中,參數(shù)a,b,c,d未必是實(shí)數(shù).

A.1 B.1或－1

C.1或4＋i D.4＋i

故x＝1,選A.

剖析當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c,d∈R 時(shí),a＋bi＝c＋才成立,否則不成立.

正解由(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0,得(x－1)[(x－3)＋(x－5)i]＝0,則x＝1或(x－3)＋(x－5)i＝0,即x＝1或4＋i,故選C.

誤區(qū)5一元二次方程有實(shí)根?Δ≥0.

對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程來(lái)說(shuō),方程有實(shí)根?Δ≥0,但當(dāng)這個(gè)方程是復(fù)數(shù)系數(shù)的一元二次方程時(shí),結(jié)論未必成立.

A.k＝－2或0 B.k≤－4或k≥1

C.k＝－3或0 D.k＝－3或4

錯(cuò)解由3k－4＝(k－1)(k＋4)≥0,得k≤－4 或k≥1,故選B.

剖析本題計(jì)算判別式時(shí)含i的項(xiàng)剛好抵消,純屬巧合,試想如果不抵消,這個(gè)不等式還有意義嗎?

正解設(shè)實(shí)根為t,則0,即解得故選C.

誤區(qū)6一元二次方程若有虛根,則有兩個(gè)虛根,且它們?yōu)楣曹棌?fù)數(shù).

不難證明,對(duì)于實(shí)系數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0,當(dāng)Δ＜0時(shí),它有兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的虛根,但當(dāng)系數(shù)中出現(xiàn)虛數(shù)時(shí),結(jié)論還成立嗎? 顯然Δ＜0也無(wú)法做到,所以此時(shí)無(wú)法出現(xiàn)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)根.

A.－13 B.－17－6i

C.13 D.17－6i

錯(cuò)解因?yàn)?i－3是方程x2－6ix＋p＝0的一個(gè)根,則另一個(gè)根必是－3－2i,于是由根與系數(shù)的關(guān)系,得p＝(2i－3)(－2i－3)＝(－3)2－(2i)2＝13,故選C.

剖析對(duì)于一元二次方程,只有當(dāng)系數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí),若有虛根,虛根才會(huì)成對(duì)出現(xiàn).本題的系數(shù)顯然不全是實(shí)數(shù),因此,虛根不是成對(duì)出現(xiàn)的,且不能用根與系數(shù)的關(guān)系處理.

正解設(shè)另一根為x1,由根與系數(shù)的關(guān)系得

故選B.

由此可見(jiàn),解復(fù)數(shù)題不可盲目套用實(shí)數(shù)的公式,要用實(shí)數(shù)的某些公式,必須先審視或證明公式或結(jié)論在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否成立.因此,對(duì)于復(fù)數(shù)問(wèn)題,解答時(shí)我們必須“多個(gè)心眼”,可謂“小心駛得萬(wàn)年船”.

(完)