導數中隱零點問題的處理策略

田 鵬

(重慶市長壽中學)

導數的綜合運用是高中階段的難點,更是高考的高頻考點,其中有很多問題都與函數的零點有關,處理這類問題需要有較強的代數變形能力,對數學學科核心素養的要求很高.特別地,函數(或導函數)的零點不可精確求解的問題處理起來更為棘手.對此,本文探討幾種處理隱零點問題的策略.

1 基本概念

零點設函數y＝f(x),若實數x0滿足f(x0)＝0,則稱x0為函數y＝f(x)的零點.從函數圖像上看,函數y＝f(x)的零點即為其圖像與x軸交點的橫坐標.

隱零點若x0為函數y＝f(x)的零點,但x0無法精確求解,則稱x0為隱藏的零點,即隱零點.有些函數的零點表面上看不可求,但結合函數的性質實際上可以求出,這類零點不能稱為隱零點.例如,x＝0不能稱為函數f(x)＝ex－x－1的隱零點.

零點存在定理設函數y＝f(x)是定義在(a,b)上的連續函數,且滿足f(a)f(b)＜0,則存在實數x0,使得f(x0)＝0.換句話說,函數y＝f(x)在(a,b)上存在零點.結合函數的性質,還可以精確判斷函數y＝f(x)在(a,b)上的零點個數.另外,該定理往往用來判斷零點所屬區間.

2 策略探究

2.1 設而不求,整體代換

1)自變量代換

(1)若曲線y＝f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數m的值;

(2)當m≥1時,證明:f(x)＞g(x)－x3.

(2)因為f(x)＝ex＋m－x3,g(x)＝ln(x＋1)＋2,所以f(x)＞g(x)－x3等價于ex＋m－x3＞ln(x＋1)＋2－x3,即ex＋m－ln(x＋1)－2＞0.當m≥1時,ex＋m－ln(x＋1)－2≥ex＋1－ln(x＋1)－2,所以不等式等價于ex＋1－ln(x＋1)－2＞0.

設函數h(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－2,則h(x)的定義域為(－1,＋∞),則只需要證明hmin(x)＞0.,易證函數h′(x)在(－1,＋∞)上單調遞增.因為1＞0,所以由零點存在定理知存在唯一的實數x0∈,使得h′(x0)＝0,即.所以當x∈(－1,x0)時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x∈(x0,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,hmin(x)＝h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2.由可得x0＋1＝－ln(x0＋1),從而

2)參數代換

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數f(x)在(0,1)內有唯一的零點x0,證明:.

當a＞2 時,函數f(x)在上單調遞增,在上單調遞減(求解過程略).

(2)注意到f(1)＝0,故由(1)知a＞2.因為,設h(x)＝2ax2－2ax＋1,其對稱軸為,且h(0)＝h(1)＝,記h(x)＝0的兩根分別為,則0＜x1＜,又由(1)知f(x)在(0,x1)上單調遞增,在(x1,x2)上單調遞減,在(x2,＋∞)上單調遞增,且f(x)在(0,1)內有唯一零點x0,所以x0＝x1∈(0,,從而

2.2 等價變形,化隱為顯

1)同構變形

(1)當a＝e時,求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

(2)因為f(x)≥1,所以aex－1－lnx＋lna≥1,則elna＋x－1－lnx＋lna≥1,則

elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x.

設函數g(x)＝ex＋x,則不等式等價于g(lna＋x－1)≥g(lnx),易證g(x)在R 上單調遞增,則不等式等價于lna＋x－1≥lnx.設函數h(x)＝lna＋x－1－lnx,則不等式等價于hmin(x)≥0.因為,當x∈(0,1)時,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上單調遞減;當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上單調遞增,所以hmin(x)＝h(1)＝lna,則lna≥0,解得a≥1,故a的取值范圍為[1,＋∞).

2)凹凸變形

證明f(x)＞1等價于x2ex－lnx＞1,因為函數f(x)的定義域為(0,＋∞),所以不等式等價于

3 小結

隱零點問題常常與不等式的證明結合在一起,難度較大,是考查數學素養的重要載體.處理這類問題的基本策略是整體代換和化隱為顯,前者需要構造關于隱零點的方程,利用自變量或參數進行整體代換.化隱為顯即是通過等價變形的手段改變代數式的結構,使得隱零點顯現出來,進而解決問題.本文僅介紹了兩種化隱為顯的策略.當然,化隱為顯的方法還有很多,留給讀者自行探索.

(完)