探究含量詞的雙元型不等式求參問題

戴樂樂

(浙江省寧波市北侖區(qū)泰河中學(xué))

在一些含有存在量詞或全稱量詞的導(dǎo)數(shù)綜合問題中,常常出現(xiàn)含有兩個(gè)變?cè)獂1,x2的不等式,根據(jù)不同的數(shù)學(xué)用語,這些問題也體現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)含義,經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化后可將所求問題變形為不同情形下關(guān)于兩個(gè)函數(shù)最值的不等式問題.本文對(duì)此進(jìn)行分類歸納,并通過對(duì)幾個(gè)典型例題的分析,探求一些常用的解題方法,供讀者參考.

結(jié)論1若?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)＜g(x2)恒成立,則fmax(x)＜gmin(x).

當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),,解得x＝上單調(diào)遞減,在)上單調(diào)遞增,故fmin(x)＝2e,所以f(x)≥2e,當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí),等號(hào)成立.

結(jié)論2若?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)＞g(x2)恒成立,則fmin(x)＞gmax(x).

結(jié)論3若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,則fmax(x)＜gmax(x).

結(jié)論4若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,則fmin(x)＞gmin(x).

當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f′(x)≥0,所以f(x)在[1,2]上是增函數(shù),故.又g(x)的對(duì)稱軸為x＝b,對(duì)于x∈[1,2],當(dāng)b＜1時(shí),gmin(x)＝g(1)＝5－2b.由,解得,這與b＜1矛盾,不符合題意;當(dāng)1≤b≤2時(shí),gmin(x)＝g(b)＝4－b2.由,得,這與1≤b≤2矛盾,不符合題意;當(dāng)b＞2時(shí),gmin(x)＝f(2)＝8－4b.由8－,得,滿足題意,故實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

結(jié)論5若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,則fmax(x)＞gmin(x).

當(dāng)x∈[1,2]時(shí),有fmax(x)＝f(2)＝1.依題意,當(dāng)x∈恒成立,等價(jià)于a≤x－x2lnx恒成立.設(shè)

h(x)＝x－x2lnx(x∈[1,2]),

則h′(x)＝1－x－2xlnx,當(dāng)1＜x＜2時(shí),h′(x)＜0,所以h(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以hmin(x)＝h(2)＝2－4ln2,則a≤2－4ln2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,2－4ln2].

結(jié)論6若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,則fmin(x)＜gmax(x).

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(完)