強基計劃數學備考系列講座(13)
——導數及其應用

王慧興(正高級教師 特級教師)

(清華大學附屬中學)

1 知識技能

1.1 要點梳理

表1

1.2 要點解析

1)整體把握指數函數與對數函數的導函數.

以復合運算建立關聯:設a＞0,且a≠1,有

2)以隱函數求圓錐曲線切線斜率.

橢圓E:)在點T(x0,y0)處切線的斜率為,視y為x的函數,方程兩邊對x求導,得.

同樣地,雙曲線C:在點T(x0,y0)處切線的斜率為;拋物線P:y2＝2px(p＞0)在點T(x0,y0)處切線的斜率為.

3)以直代曲近似計算:函數y＝f(x)在點x0處可導,則在該點必連續,并且圖像在切點附近貼近切線,因此,當|Δx|很小時,求函數值f(x0＋Δx),可以用切線方程近似計算——f(x0＋Δx)≈f′(x0)·(x－x0)＋f(x0).例如,在物理學或應用問題中,當正數δ很小時,通常用近似公式sinx≈x(|x|＜δ).

4)支撐線不等式:函數y＝f(x)在點T(x0,f(x0))處的切線l:y＝ax＋b在切點附近位于圖像下方或上方,則可建立局部不等式,即存在δ＞0,使得

f(x)≥ax＋b(?x0－δ＜x＜x0＋δ),

或

f(x)≤ax＋b(?x0－δ＜x＜x0＋δ),

當函數圖像整體位于切線之上或整體位于切線之下,上述不等式在其定義域內整體成立.

5)函數圖像對稱性條件:定義在R 上的可導函數y＝f(x)(x∈R),其圖像以點C(a,b)為對稱中心,條件是f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(?x∈R).兩邊求導,得f′(a＋x)＝f′(a－x)(?x∈R),因此,其導函數y＝f′(x)(x∈R)的圖像關于直線x＝a對稱;如果一個定義在R 上的可導函數y＝f(x)(x∈R),其圖像以直線x＝a為對稱軸,條件是

f(a＋x)＝f(a－x)(?x∈R).

兩邊求導,得f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0(?x∈R),因此,其導函數y＝f′(x)(x∈R)圖像以點C(a,0)為對稱中心.但其逆命題不成立.

6)凹凸性與凹凸性不等式:如圖1所示,函數y＝f(x)的圖像在區間(a,b)上向下凸,從左至右各點處的切線斜率遞增,即導函數f′(x)在區間(a,b)上單調遞增,因此,函數f(x)的圖像在區間(a,b)上向下凸的條件是f″(x)＞0(a＜x＜b);同理,函數f(x)的圖像在區間(a,b)上向上凸的條件是f″(x)＜0(a＜x＜b).

圖1

如圖2所示,f(x)的圖像在區間(a,b)上向下凸,則任取x1,x2∈(a,b),且x1≤x2,存在λ∈(0,1),使得x－x1＝λ(x2－x1),即x＝(1－λ)x1＋λx2,A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))在x軸上的射影分別記作A1(x1,0),B1(x2,0),過M(x,0)作x軸的垂線分別交函數f(x)的圖像與弦AB于P(x,f(x)),Q(x,yQ),則yQ≥yP＝f((1－λ)x1＋λx2)._作AU⊥MQ于U,交BB1于V,則所以yQ＝f(x1)＋λ(f(x2)－f(x1))＝(1－λ)f(x1)＋λf(x2),從而建立凹凸性不等式:

圖2

(1－λ)f(x1)＋λf(x2)≥f((1－λ)x1＋λx2),?λ∈(0,1),x1,x2∈(a,b).

凹凸不等式多元形式:當函數y＝f(x)的圖像在區間(a,b)上向下凸,則?xi∈(a,b),λi∈(0,1)(i＝1,2,…,n),并且λ1＋λ2＋…＋λn＝1,都有

f(λ1x1＋λ2x2＋…＋λnxn)≤λ1f(x1)＋λ2f(x2)＋…＋λnf(xn).

標準化:

對于圖像向上凸的情形,以上各不等式均反向.

7)拉格朗日中值定理:如果函數y＝f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)上可導,則存在x0∈(a,b),使得,幾何意義是這段曲線上位于點T(x0,f(x0))處的切線平行于直線AB,其直觀含義是容易理解的,如圖3所示.強基校考與高考都會在這個定理的邊緣立意試題,了解這個定理就容易破解問題.

圖3

2 典例精析

2.1 求導數、單調區間與極值的方法

y′＝exlnx(xlnx)′＝xx(1＋lnx),

令y′＝0,得.因為

y′＝y(1＋lnx)＝xx(1＋lnx).

2.2 以導數降次探究高次多項式函數的對稱性

(1)f(x)＝x3－x2＋x;

(2)f(x)＝3x4－4x3＋6x2－1.

(2)四次函數只可能有對稱軸x＝a,則函數y＝f(x＋a)是偶函數,所以f(a＋x)＝f(a－x),兩邊對x求導,得f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0,即三次函數f′(x)＝12x3－12x2＋12x的圖像有對稱中心C(a,0),而f′(a)＝0,f″(a－x)＝f″(a＋x),即f″(x)＝36x2－24x＋12 有對稱軸x＝a,只能是,但,故該四次函數無對稱軸(當然也無對稱中心).

2.3 極值、最值與不等式

分析函數增、減區間,是探求函數極值與最值的基礎,也是論證不等式與探究多元最值的基本路徑.

x2ex－lnx≥fmin(x)＞1.

2.4 切線、局部不等式與多元最值

基于切線與函數圖像局部位置關系,以直代曲,建立不等關系,探究多元最值.

(1)過點A(0,1)作函數y＝f(x)圖像的切線l,求l的方程;

(2)非負數a,b,c,d滿足a＋b＋c＋d＝4,求g＝af(b)＋bf(c)＋cf(d)＋df(a)的最小值.

(1)過點A(0,1)可以作出函數圖像的切線l,記切點為T(x0,f(x0)).

因為切線l過點A(0,1),所以1－f(x0)＝f′(x0)(－x0),即

(2)由(1)可得不等式

事實上式②右邊明顯成立,下面只證左邊.

故不等式②得證.

因為a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,在式②中左邊不等式,取x＝a,b,c,d,得

由③＋④＋⑤＋⑥,得

其中等號成立的條件是{a,c}＝{0,2},且{b,d}＝{0,2},所以時取到.

2.5 凹凸性、不等式與多元最值

分析函數凹凸性是建立不等關系與探究多元最值的另一有效途徑.

所以f(x)的圖像在(0,1)上向下凸,從而對滿足的正數xi(i＝1,2,…,2n;n∈N*),都有

2.6 求函數圖像在一點處的曲率半徑

對y＝x2求導得y′＝2x,y″＝2.拋物線y＝x2在點T(1,1)處切線為y－1＝2(x－1),即y＝2x－1.拋物線在點T處的曲率圓的圓心(a,b)在該點處的法線為上,即x＝3－2y,從而a＝3－2b,故曲率圓方程為(x－3＋2b)2＋(y－b)2＝R2,分別求一階導數與二階導數,得

2(x－3＋2b)＋2(y－b)y′＝0,

2＋2(y′)2＋2(y－b)y″＝0.

在點T(1,1)處有

故拋物線在點T(1,1)處曲率圓半徑為.

2.7 以典型函數及其變式為題材立意極值點偏離

(1)求f(x)的單調區間與極值;

(2)若f(x1)＝f(x2)且x1≠x2,求證:

表2

函數f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,在處取得極小值.

(2)因為f(x1)＝f(x2)且x1≠x2,所以由(1)可設.

故g(x)是減函數,從而

綜上,不等式得證.

由題意知x1lnx1＝x2lnx2,即,引入參數,得x2＝tx1,所以lnx2＝lnt＋lnx1,與lnx1＝tlnx2結合,求得其中t＞1,所以①等價于(1,＋∞)),即

所以δ(t)在t∈[1,＋∞)上是增函數,故對一切t＞1,都有δ(t)＞δ(1)＝0,②得證,從而①成立.

綜上,不等式得證.

2.8 探究參數條件,論證相關性質

含參情境中問題探究主要表現在如下三種問題形式:其一是探求含參數函數零點或極值點存在的參數取值范圍,論證零點或極值點的性質,這種性質通常表現為典型函數的極值點偏離;其二是探求含參數方程有解的參數取值范圍,論證解的性質;其三是探求恒成立問題中的參數條件,論證相關性質,通過分離參數調結構將后兩類問題轉化為典型函數問題.

必要性:

亦即

xcosx＋2x－3sinx≥0(?x∈(0,＋∞))?x(cosx＋1)＋(x－3sinx)≥0(?x∈(0,π)).

構造δ(x)＝xcosx＋2x－3sinx(?x∈[0,π)),則δ(0)＝0,求其導函數得

故δ(x)在[0,π]上是增函數,從而δ(x)＞δ(0)＝0.

當x∈(π,＋∞)時,δ(x)＞－x＋2x－3sinx≥x－3sinx≥π－3＞0,所以δ(x)≥0(?x∈(0,＋∞),即.

綜上,實數a的取值范圍是.

2.9 以導數微元或積分整體路徑論證多元不等式,探究多元最值

(2)已知n∈N*,且n≥2,求證:

(2)由于

故欲證不等式轉化為

所以g(n＋1)＞g(n)(n∈N*,n≥2),故g(n)是增函數,從而

故不等式①成立,原不等式得證.

2.10 抽象函數探究與求解函數方程

(1)求f(x);

(2)設a＝1,函數g(x)＝ef(x)－x(x＞0).

(ⅰ)求g(x)的極值;

(ⅱ)函數h(x)＝g(x)－k有兩個零點x1,x2,求實數k的取值范圍,并證明.

(2)由a＝1以及(1),得b＝e?f(x)＝lnx,從而.

(ⅱ)函數h(x)＝g(x)－k有兩個零點x1,x2,等價于函數與 直線y＝k有兩個交點,因此k的取值范圍是.

因為欲證不等式關于x1,x2對稱,所以不妨設x1＜x2,即0＜x1＜1＜x2,因為所以,得

“不積跬步,無以至千里”,本文全面引領同學們落實“四基”,基礎知識(適度拓展)、基本技能——幾何分析與代數表征,基本數學思想方法——化歸與轉化,基本活動經驗——構造差函數、分離參數、比值換元、適度放縮、替換公式、極端數據應用(先建立必要條件,再證充分性)等,以不變應萬變,促進思維進階,發展高階思維,指向關鍵能力,培育核心素養.

3 實戰演練

1.若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是_________.

3.定義在R上的奇函數f(x)有導函數f′(x),并且f(－1)＝0以及xf′(x)－f(x)＜0(x＞0),則不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－∞,－1)∪(0,1)

B.(－1,0)∪(1,＋∞)

C.(－∞,－1)∪(－1,0)

D.(0,1)∪(1,＋∞)

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

5.已知x＝x1和x＝x2(x1＜x2)分別是函數f(x)＝2ax－ex2(a＞0,且a≠1)的極小值點和極大值點,若x1＜x2,則a的取值范圍是_________.

答案1.(－∞,－4)∪(0,＋∞).2.D.3.A.4.C.5.).

(完)