基于圖像直觀的導數題的解題與命題嘗試

劉海濤

(1.安徽省蕪湖市第一中學 2.新青年數學教師工作室)

縱觀近年來的高考題及各級各類模擬題,導數題大多作為壓軸題出現,且常考常新,使得學生對導數題望而生畏、望而卻步,甚至被動放棄.筆者梳理高考卷和模擬卷中的導數題,發現對于大多數的導數題,若能借助圖像直觀分析題意,則可快速鎖定解題思路,順利解題.筆者首先基于圖像直觀視角給出一道模考題(母題)的分析與解答,再借助母題中的函數圖像,嘗試不同的構造,為讀者展示四種常見導數題型的命制與解答.

1 母題的呈現與分析

母題已知f(x)＝xlnx,g(x)＝k(x－1).

(1)求f(x)的極值;

(2)若f(x)≥g(x)在[1,＋∞)上恒成立,求實數k的取值范圍.

(2)問題可轉化為在區間[1,＋∞)上,直線y＝k(x－1)不在函數f(x)圖像的上方,注意到兩函數圖像均過定點A(1,0),如圖1所示,實數k的臨界值為函數f(x)在點A處的切線斜率.

圖1

設h(x)＝xlnx－k(x－1)(x≥1),求導得

h′(x)＝lnx＋1－k.

當k≤1時,h′(x)＝lnx＋1－k≥0,h(x)在[1,＋∞)上單調遞增,有h(x)≥h(1)＝0,符合題意.

當k＞1時,由h′(x)＝0,得x＝ek－1,知h(x)在(1,ek－1)上單調遞減,則h(x)＜h(1)＝0,不合題意.

綜上,k≤1.

2 圖像視角下的試題命制與分析

2.1 端點取等號的不等式問題

有一類不等式恒成立問題,其臨界情況(取等號)為區間端點,我們一般稱這類不等式為端點取等號的不等式.在2022年新高考Ⅱ卷,2020年全國Ⅰ卷(理科),2019年全國Ⅰ卷(文科)等試卷中均有考查.

如圖2-甲所示,構造函數,注意到當時,且f(x)≥h(x)在上恒成立.對于不等式f(x)≥,規定區間為,注意到為不等式的取等條件(此時無法求a的值).構造函數,假設φ(x)≥0恒成立,利用幾何畫板探究得其恒成立的條件,如圖2-乙所示.基于此,命制如下變式題.

圖2

變式1已知函數f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)的單調區間;

2.2 內點取等號的不等式問題

相對于端點取等號的不等式,有一類不等式的臨界情況(取等號)為非區間端點(區間內部),我們一般稱這類不等式為內點取等號的不等式.其在2020年新高考Ⅰ卷,2018年全國Ⅰ卷(文科)等試卷中均有考查.

如圖3-甲所示,構造函數h(x)＝aeex－e2x－,使得f(x)≤h(x)在(0,＋∞)上恒成立.如何求參數a的范圍呢? 關鍵在于找到取等點(記作x0).

圖3

這里,我們可以通過找兩曲線公切點的方法來完成,即通過方程組解得x0和a的臨界值,從而找到問題的突破口.利用幾何畫板探究得其恒成立的條件(a≥1),如圖3-乙所示.基于此,命制如下變式題.

變式2已知函數f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)在點(e,f(e))處的切線方程;

當a≥1時,有,欲證f(x)≤h(x),需證,即證.設lnx,求導得,由φ′(x)＝0,得,易得φ(x)在上單調遞減,在＋∞)上單調遞增,則得證.

綜上,a≥1.

2.3 雙變量不等式問題

含有兩個變量的不等式問題近年來已成為高考和各級各類模擬考的熱點題型,且常考常新,在2021年新高考Ⅰ卷,2016年全國Ⅰ卷(理科)等試卷中均有考查.這類問題主要考查形式有兩種:極值點偏移和拐點偏移.

1)極值點偏移問題

當函數f(x)在區間(a,b)內有唯一極值點,且滿足f(a)＝f(b)時,若a＋b＝2x0,則稱函數f(x)在區間(a,b)內極值點不偏移,常見的不偏移函數有一元二次函數、正弦函數、余弦函數等.若a＋b≠2x0,則稱函數f(x)在區間(a,b)內極值點偏移,常見的有等由指數函數、對數函數、冪函數復合而成的函數.圖4-甲中a＋b＞2x0,稱函數f(x)在區間(a,b)內極值點向左偏移;圖4-乙中a＋b＜2x0,稱函數f(x)在區間(a,b)內極值點向右偏移.極值點偏移的根源在于圖像的非軸對稱性,由此可以考慮將極值點x0一側的a(或b)通過x0對稱,比較兩函數值f(2x0－a)和f(b)(或f(2x0－b)和f(a))的大小關系來完成對問題的證明.由母題知函數f(x)在極值點兩側單調性相反,且該函數為非軸對稱函數,得函數f(x)發生極值點偏移現象,有,又注意到函數f(x)圖像的最左端為坐標原點O(實質上圖像并未過該點),且圖像與x軸交于點(1,0),有a＋b＜1.基于此,命制如下變式題.

圖4

變式3已知函數f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)在點(e,f(e))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若兩個不相等的正實數a,b滿足f(a)＝f(b),求證.

如圖5所示,函數f(x)的最低點為與x軸交于點A(1,0),得割線l1:y＝－x,在點A處的切線為l2:y＝x－1.設f(a)＝f(b)＝m,則a,b是直線y＝m與函數f(x)交點的橫坐標,設直線y＝m與割線l1、切線l2的交點橫坐標分別為a′,b′,解得a′＝－m,b′＝1＋m,易知a＜a′＜b＜b′,所以a＋b＜a′＋b′＝1.

圖5

2)拐點偏移問題

當函數f(x)在區間(a,b)內有唯一拐點x0,且滿足f(a)＋f(b)＝2f(x0)時,若a＋b＝2x0,則稱函數f(x)在區間(a,b)內拐點不偏移,常見的不偏移函數有一元三次函數、正弦函數、余弦函數、正切函數等.若a＋b≠2x0,則稱函數f(x)在區間(a,b)內拐點偏移,如圖6-甲所示,a＋b＞2x0,稱函數f(x)在區間(a,b)內拐點向左偏移.

圖6

如圖6-乙所示,a＋b＜2x0,稱函數f(x)在區間(a,b)內拐點向右偏移.拐點偏移的根源在于圖像的非中心對稱性,由此可考慮將極值點x0一側的a(或b)通過x0對稱,比較兩函數值f(2x0－a)和f(b)(或f(2x0－b)和f(a))的大小關系來完成對問題的證明.如圖6-丙所示,構造函數h(x)＝2xlnx－x2,注意到其拐點坐標為(1,－1),且屬于拐點左移的情況,故當f(a)＋f(b)＝－2時,有a＋b＞2.基于此,命制如下變式題.

變式4 已知函數f(x)＝xlnx.

(1)求函數g(x)＝f(x)－x2＋x的最值;

(2)設函數h(x)＝2f(x)－x2,若兩個不相等的正實數a,b滿足h(a)＋h(b)＝－2,求證:a＋b＞2.

(2)由題知h(x)＝2xlnx－x2,求導得h′(x)＝2(lnx－x＋1)＝2m(x),h″(x)＝2m′(x),由(1)知h′(x)≤0,h″(1)＝0,得h(x)在(0,＋∞)上單調遞減,拐點的坐標為(1,－1).

不妨設0＜a＜1＜b,φ(x)＝h(2－x)＋h(x)＋2(0＜x＜1),求導得φ′(x)＝－h′(2－x)＋h′(x)＝2(m(x)－m(2－x)),又0＜x＜2－x＜1,且m(x)在(0,1)上單調遞增,所以φ′(x)＜0,則φ(x)在(0,1)上單調遞減.又0＜a＜1,所以φ(a)＞φ(1)＝0,即h(2－a)＋h(a)＋2＞0,即h(2－a)＞h(b),又2－a＞1,且h(x)在(1,＋∞)上單調遞減,所以2－a＜b,即a＋b＞2.

3 小結

我國著名的數學家華羅庚說過:“數無形時少直覺,形少數時難入微”,數與形有著密不可分的關系.在數學學習和研究中,數形結合就顯得格外重要,借助圖形可以將復雜、抽象的代數式直觀化、簡單化,利用代數式將圖形關系“翻譯”出來,可以實現問題的解析化、概括化.我們借助幾何圖形的直觀化,利用圖形分析和命制導數題,正是數形結合思想的實踐嘗試.

(完)