利用導數(shù)的幾何意義求切線方程

陳澤梁

(浙江省岱山中學)

從近三年高考情況來看,導數(shù)的概念及其運算法則、導數(shù)的幾何意義等內(nèi)容一直是高考的熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時也會作為解答題中的一問.解題時要掌握函數(shù)在某一點處的導數(shù)定義、幾何意義以及基本初等函數(shù)的求導法則,要會求簡單復合函數(shù)的導數(shù).本文將求解切線方程分為已知切點和未知切點兩大類,介紹了解題步驟并展示了相關高考真題的解答過程,供讀者參考.

1 已知切點P(x0,y0),求y＝f(x)的切線方程

已知切點P(x0,y0),欲求y＝f(x)的切線方程,可以用如下方法解題.

第一步:利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求函數(shù)f(x)的導數(shù);

第二步:求切線的斜率f′(x0);

第三步:寫出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).

令x＝0,得,所以點M的坐標為,所以

又因為x1＜0,所以的取值范圍為(0,1).

2 已知切線上某一點P(x0,y0)(非切點),求y＝f(x)的切線方程

已知切線上某一點P(x0,y0)(非切點),欲求y＝f(x)的切線方程時,可以用如下方法解題.

第一步:設切點的坐標為P′(x1,f(x1));

第二步:寫出過P′(x1,f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1);

第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;

第四步:將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1),可得過點P(x0,y0)的切線方程.

y′＝(x＋1＋a)ex,

設切點為(x0,y0),則,切線的斜率為,切線方程為

(1)若x1＝－1,求a;

(2)求a的取值范圍.

(2)由題意知f′(x)＝3x2－1,則y＝f(x)在點(x1,f(x1))處的切線方程為1)(x－x1),整理得.

設該切線與g(x)相切于點(x2,g(x2)),由題意知g′(x)＝2x,則g′(x2)＝2x2,則切線方程為

可得

h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1).

令h′(x)＞0,解得或x＞1;令h′(x)＜0,解得或0＜x＜1,故h′(x),h(x)的變化情況如表1所示,因此h(x)的值域為[－1,＋∞),故a的取值范圍為[－1,＋∞).

表1

3 變式練習

變式(2016年四川卷理9)設直線l1,l2分別是函數(shù)

圖像上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與y軸相交于點A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( ).

A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,＋∞) D.(1,＋∞)

由已知得k1k2＝－1,即.所以切線l1的方程為,切線l2的方程為,即y－lnx1＝).分別令x＝0,得A(0,－1＋lnx1),B(0,1＋lnx1).又l1與l2的交點為,所以

因為x1＞1,所以.

求解切線方程問題,首先要分辨已知點是否為切點,同時還要熟練掌握導數(shù)的求導法則.在涉及含參問題時,學生應學會利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數(shù)的方程(組)或參數(shù)滿足的不等式(組),進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

(完)