對一類恒成立問題運用端點效應解答失效的探究

張 強 李小蛟

(四川省成都市樹德中學)

在導數應用的學習中,恒成立問題一直是一大難點問題,思維要求高,運算強度大,同時也是高考中?？汲Ｐ碌念}型.端點效應是指對一類函數的恒成立問題,可以通過取函數定義域內的某個特殊的值或某幾個特殊的值,先得到一個必要條件,初步獲得參數的范圍,再在該范圍內討論,或去驗證其充分條件,進而解決問題.用該方法解決恒成立問題可以減少分類討論的類別,常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立問題均能通過端點效應解答,很多題目初看是端點效應問題,但在運用時卻發現端點效應失效(如2020年新高考卷第21題).本文基于導數恒成立問題探討端點效應為什么會失效,如何快速識別會失效,若失效又將如何處理.

在導數應用中遇到類似“當?x∈D時,f(x)≥g(x,a),a為參數”的恒成立問題時,將區間D的端點值代入,當不等式兩邊剛好取等(此時參數a被消去了,等號成立),即意味著在很大程度上可采用端點效應去處理.但在學習中,我們更應該從本質上厘清恒成立問題的解題邏輯:1)構造函數h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D);2)求導,進階處理(即多次求導),研究h′(x)的單調性;3)計算出h′(0)在端點處的值,對參數a的范圍進行分類討論,即先必要再充分.

1 問題提出

分析本題中將x＝0 代入不等式兩邊是相等的,初步判定符合端點效應,那么我們就按照端點效應的解題邏輯,即先必要后充分,通過矛盾區間來解答問題.

解構造函數f(x)＝ex－ax2－x－1(x＞0),首先發現f(0)＝0,求導得f′(x)＝ex－2ax－1.又有f′(0)＝0,繼續求導,得f″(x)＝ex－2a,此時f″(0)＝1－2a,則分類討論如下.

當1－2a＜0,即時,在x∈(0,ln2a)上,f″(x)＜0,f′(x)單調遞減,所以f′(x)＜f′(0)＝0,函數f(x)在(0,ln2a)上單調遞減(即矛盾區間),f(x)＜f(0)＝0,這與f(x)≥0相矛盾,故舍去.

當1－2a≥0,即時,在x∈(0,＋∞)上,f″(x)＞f″(0)＝1－2a≥0,所以f′(x)單調遞增,則f′(x)＞f′(0)＝0,故函數f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,f(x)＞f(0)＝0恒成立,符合題意.

當然,本題還可以分離參數,即將問題轉化為a≤,然后構造新函數,求導得,可以證明g′(x)＞0在x＞0上恒成立,所以單調遞增,,此時就會涉及高等數學中的“洛必達法則”.另外,此題還可以移項作差構造函數,分類討論,或先通過“指數找朋友”,再構造新函數,即轉化為(ax2＋x＋1)e－x≤1 恒成立,再構造h(x)＝(ax2＋x＋1)e－x,求其最大值即可,這里不再贅述.

分析本題中將x＝0 代入不等式兩邊都等于1,符合端點效應的條件,構造函數f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),則f(0)＝0成立,求導可得f′(x)＝ex－2x－a,f′(0)＝1－a,接下來按照端點效應的解題思路進行分類討論.

當1－a≥0,即a≤1 時,f″(x)＝ex－2,易知,此時當上并不是恒大于0的,即函數f(x)在x≥0上并不是單調遞增的,就不能說明f(x)≥0恒成立,即此時的充分性得不到證明,所以端點效應失效了,那么為什么會失效呢?

2 問題分析

下面我們先通過函數的圖像來初步感受一下.

維度1遇到“當?x∈D時,f(x)≥g(x,a),a為參數”此種問題,我們先把它分離成兩個函數,一邊含有參數,一邊不含參數,目的在于通過控制變量,讓一邊的函數圖像確定下來,那么可將例1分離成:“對任意x≥0,ex－x－1≥ax2恒成立”,我們把答案中參數的端點,在坐標系中畫出函數(不等式左右兩部分分別看成兩個函數)的圖像,如圖1所示.代入,即

圖1

通過觀察圖像,我們看到函數y＝ex－x－1 與的公切線就是y＝0,而且公切點剛好在端點x＝0處.

同樣地,將例2分離成:“對任意x＞0,ex－x2－1≥ax恒成立”,我們依然把答案中參數的端點a＝e－2代入,即ex－x2－1≥(e－2)x,我們再看看兩個函數的圖像,如圖2所示.

圖2

通過觀察圖像,我們又可以看到函數y＝exx2－1與y＝(e－2)x的公切線就是y＝(e－2)x,而且公切點剛好在點x＝1處,此時并不是在端點x＝0處.那么這兩個函數圖像的公切點還有其他幾何意義嗎?

維度2接下來我們直接看整個函數的圖像分布,例1中,我們構造函數f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0),仍然把代入,即x－1,其圖像如圖3所示.

圖3

通過觀察圖像,我們看到函數f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0)是在端點處取得最小值.

同樣地,我們看例2,構造函數f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),仍然把a＝e－2代入,即f(x)＝exx2－(e－2)x－1,其圖像如圖4所示.

圖4

通過觀察圖像,我們發現函數f(x)＝ex－x2－(e－2)x－1(x≥0),不僅在端點x＝0處取得最小值,而且在x＝1處取得最小值,不滿足端點效應,也即當x∈[0,＋∞)時,f(x)并非單調遞增.

綜上,下面我們可以從三個維度來解釋端點效應是如何失效的.第一,對于函數h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D),先按照端點效應的處理方法,將定義域的端點代入縮小參數的范圍,證明其充分性時發現原函數并不單調,即此時的充分性無法論證.第二,對比例1和例2,同樣采取分離參數的方法,發現例1的函數是在端點處取得最值,求最值需要用“洛必達法則”,而例2的函數并不是在端點處取得最值,而是在定義域中間的某處取得最值.由此發現,導數恒成立求參數范圍,通過分離參數,構造新函數求最值,若此時函數的最值點是在定義域的中間某處取得,而不是在端點處取得,則視為端點效應失效.第三,從函數圖像來看,對于“?x∈D時,f(x)≥g(x,a),a為參數”此種問題,我們先把它合理拆分為兩個函數,一邊含有參數,一邊無參數,在例1中,端點恰好為兩個函數圖像的公切點,也是整個函數的最值點,但是在例2中,端點卻不是這兩個函數公切線的公切點,此時的公切點是定義域中的某個值,這說明最值點并不是在端點處取得.所以當我們判定出定義域的端點并不是公切點或最值點時,即認為端點效應失效.

3 問題解決

通過以上的問題分析,我們已經知道了端點效應為什么會失效,那么如何快速識別出它是失效的呢?我們只需去驗證函數的公切點是否為定義域中的端點,或直接找到函數的最值點.要知道恒成立問題求參數取值范圍的本質就是函數的最值,如果我們可以快速找到那個最值點就可以作出判斷.

下面我們以例2為例來進行說明.

構造函數f(x)＝ex－x2－ax－1(x＞0),要使f(x)≥0恒成立,只需fmin(x)≥0假定f(x)在x＝x0處取得最小值,則我們可以得到

只需抓住恒成立問題的本質,即可求得答案.

通過以上分析不難發現,當我們遇到不等式恒成立求參數的取值范圍問題時,只要抓住問題的本質,通過方程組,找到函數的最值點,即兩個函數公切線的公切點,那么就可以快速地得到答案,然后證明其充分性,即先必要再充分.接下來我們再看一道經典的高考題.

分析當x＝0時,不等式顯然成立.當x＞0時,直接分離參數:,構造函數,求導得

解得x0＝2或2a＋1,由此斷定最值點不是端點,此時也可以說明端點效應失效,接下來需滿足

圖5

分析根據前面的分析,我們發現本題也是一個端點效應失效的問題(不再詳細證明),因此根據本文所探討出的解決方法,先構造函數f(x)＝ln(x＋1)－a2ex＋a,由于f(x)的定義域為(－1,＋∞),不妨設f(x)的最大值點為x0,則

因此,端點效應失效的本質為端點處并不是函數的最值,解決此類端點效應失效恒成立問題的關鍵點在于找到函數的最值.根據上述探究不難發現,恒成立時的“端點”既是函數的最值點,又是函數的零點.因此,解答此類問題時,只需要通過構造函數,聯立方程求解最值和零點.而通過圖形的實際刻畫,我們也能十分清楚地發現,此類端點效應失效問題可轉化為求直線與曲線交點公切線的切點.

鏈接練習

2.?x∈[0,π]均有ax＋cosx≤sinx＋1,求a的取值范圍.

鏈接練習參考答案

(完)