例談構(gòu)造函數(shù)比較大小的兩種常用方法

楊 舒

(云南省怒江州民族中學(xué))

比較大小是一類(lèi)經(jīng)常考查的重要題型,而且解題方法比較靈活.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小往往側(cè)重考查學(xué)生的抽象思維以及推理論證能力.請(qǐng)結(jié)合以下兩種比較常用的解法,認(rèn)真領(lǐng)會(huì),以便逐步提高分析、解決此類(lèi)問(wèn)題的能力.

1 靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

圖1

根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)可知靈活運(yùn)用該函數(shù)的單調(diào)性,可順利求解涉及對(duì)數(shù)式(這里出現(xiàn)的對(duì)數(shù)是自然對(duì)數(shù))、指數(shù)式的比較大小問(wèn)題.

1.1 考查涉及自然對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題

A.b＜a＜cB.a＜c＜b

C.c＜b＜aD.c＜a＜b

A.c＜b＜aB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.a＜b＜c

于是,根據(jù)πl(wèi)n3＞3lnπ,得ln3π＞lnπ3,所以4ln3π＞4lnπ3,即a＞c;根據(jù)4lnπ＞πl(wèi)n4,得3×4lnπ＞3πl(wèi)n4,所以4lnπ3＞3ln4π,即c＞b.

綜上,a＞c＞b,故選B.

因此,習(xí)近平生態(tài)文明思想深刻揭示了人與自然、經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境保護(hù)的辯證關(guān)系,強(qiáng)調(diào)“要自覺(jué)把經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展同生態(tài)文明建設(shè)統(tǒng)籌起來(lái)”。十九大報(bào)告指出:“人與自然是生命共同體,人類(lèi)必須尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然。人類(lèi)只有遵循自然規(guī)律才能有效防止在開(kāi)發(fā)利用自然上走彎路,人類(lèi)對(duì)大自然的傷害最終會(huì)傷及人類(lèi)自身,這是無(wú)法抗拒的規(guī)律。”[3]習(xí)近平生態(tài)文明思想是在人類(lèi)社會(huì)發(fā)展的規(guī)律中反思人與自然的關(guān)系,是基于人類(lèi)發(fā)展命運(yùn)的立場(chǎng)探索生態(tài)問(wèn)題解決的根本路徑,開(kāi)辟了人與自然和諧共處的新境界,是構(gòu)建人類(lèi)命運(yùn)共同體的重要組成部分。

1.2 考查涉及指數(shù)式的比較大小問(wèn)題

A.ab＜ba＜logbaB.ba＜ab＜logba

C.logba＜ab＜baD.logba＜ba＜ab

綜上,ab＞ba＞logba,故選D.

2 根據(jù)“數(shù)字”之間的緊密聯(lián)系,靈活構(gòu)造函數(shù)比較大小

比較兩個(gè)代數(shù)式的大小時(shí),若在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上,能夠發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)代數(shù)式均涉及某個(gè)特殊的“數(shù)字”,則可將該數(shù)字利用變量“x”加以表示,從而可考慮通過(guò)作差(或作商)方式,靈活構(gòu)造函數(shù),并利用函數(shù)的單調(diào)性,巧妙比較大小.

A.a＞b＞cB.b＞c＞a

C.b＞a＞cD.a＞c＞b

綜上,a＞b＞c,故選A.

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.c＜a＜b

注意到b＝ln1.02＝ln(1＋2×0.01),c＝均與特殊數(shù)字“0.01”緊密聯(lián)系,所以可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ln(1＋2x)－(其中0＜x＜1),則因?yàn)間′(x)＝,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.由0.01＞0,得g(0.01)＜g(0),即,再整理得,所以b＜c.

綜上,b＜c＜a,故選B.

總之,構(gòu)造函數(shù)比較大小時(shí),熟練掌握以上兩種解法,有利于幫助我們不斷積累解題經(jīng)驗(yàn),拓寬解題思維,進(jìn)一步強(qiáng)化函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)在解題中的靈活、綜合運(yùn)用能力,同時(shí)能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的核心素養(yǎng).

(完)