導數中雙變量問題的處理策略

程春民

(江西省永豐中學)

導數中的雙變量問題是高考的熱點,這類問題綜合性比較強,常常出現在試卷的壓軸位置.掌握這類問題的基本思想和基本策略是解決雙變量問題的關鍵.其實處理雙變量問題的基本思想就是把雙變量問題轉化為單變量問題,本文以例題來說明處理雙變量問題的各種常見策略.

1 利用根與系數的關系消元

如果兩個變量是一個一元二次方程的根,則可以通過根與系數的關系來消元.

分析,因為f(x)在定義域上有兩個極值點x1,x2(x1≠x2),所以2x2＋(a＋4)x＋2＝0的兩根為x1,x2,由根與系數的關系可知.而

故可得f(x1)＋f(x2)＝a,所以

至此,我們就把雙變量問題轉化成了單變量問題,以下略.

2 利用比值換元

當兩個變量所組成的是齊次式時,往往可以用比值來換元.

分析根據函數與方程的關系將方程進行轉化,利用換元法轉化為方程有解問題.由

2x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0,

得

分析由題意可知x1,x2是方程f′(x)＝lnxax＝0的兩個根,即

不妨假設0＜x1＜x2,兩式相減得a(x2－x1),即;兩式相加得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).待證不等式x1x2＞e2?lnx1＋lnx2＞2?a(x1＋x2)＞2,再把代入上式整理得,即,令,待證不等式x1x2＞e2轉化為證lnt－).以下略.

3 利用差值換元

分析由題意可知x1,x2是方程f′(x)＝ex－2x－a＝0的兩個根,即

因為0＜x1＜x2,且兩式相減得,所以待證不等式轉化為

令t＝x2－x1(t＞0),則待證不等式為,變形整理得,以下略.

4 利用構造和或差函數進行消元

分析f′(x)＝(x－1)(ex＋2a),因為a＞0,所以易知f(x)在(－∞,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增.不妨設x1＜1＜x2,則2－x1＞1,要證明x1＋x2＜2,即證明x2＜2－x1,又因為x2,2－x1均在f(x)的單調遞增區間(1,＋∞)上,所以x2＜2－x1?f(x2)＜f(2－x1),又因為f(x1)＝f(x2),則f(x1)＜f(2－x1),從而待證不等式x1＋x2＜2轉化為證明F(x)＝f(x)－f(2－x)＜0(x＜1)恒成立,以下略.

分析顯然f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,且f(1)＝2,因為正實數x1,x2滿足f(x1)＋f(x2)＝4,所以x1,x2中至少有一個要小于或等于1,不妨設x1≤1,則2－x1≥1,要證x1＋x2≥2,即證x2≥2－x1,又因為f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,且2－x1＞0,所以只需證明f(x2)≥f(2－x1),又因為f(x1)＋f(x2)＝4,消去f(x2)得4－f(x1)≥f(2－x1),從而轉化為證明F(x)＝4－f(x)－f(2－x)≥0(0＜x≤1)恒成立,以下略.

5 利用整體換元

分析設a＝ex1＝lnx2,則x1＝lna,x2＝ea,t＝x2－x1＝ea－lna,令h(x)＝ex－lnx,從而轉化為函數h(x)的最小值所屬區間問題,以下略.答案選C.

分析由分段函數的解析式不難得到函數f(x)的圖像,如圖1所示.設f(x1)＝f(x2)＝t,由題可知1≤t≤4e,由f(x1)＝t,得x1＋4e＝t,即x1＝t－4e,則x1f(x2)＝t(t－4e)＝(t－2e)2－4e2,因為1≤t≤4e,所以當t＝2e時,x1f(x2)取得最小值－4e2.

圖1

6 利用同構轉化

分析變形得,構造函數,則f(x1)＜f(x2),即f(x)在定義域(0,a)上單調遞增,即轉化為在(0,a)上恒成立,以下略.答案選C.

分析對4lnx＋2ln(2y)≥x2＋8y－4變形得

構造f(x)＝lnx－x＋1,上式等價于f(4y)≥0.由,得f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,所以f(x)≤f(1)＝0,即f(x)≤0.要使成立,當且僅當時才滿足,即,所以.故選A.

分析因為blna－alnb＝a－b,變形得

由于f(x1)＝f(x2),即x1－x1lnx1＝x2－x2lnx2,則x2－x1＝x2lnx2－x1lnx1,于是待證不等式轉化為

構造函數h(x)＝x2－2xlnx,則h(x2)＞h(x1).易證h′(x)＝2x－2(lnx＋1)≥0,所以h(x)單調遞增,又因為x2＞x1,所以h(x2)＞h(x1),則上式顯然成立,于是x1＋x2＞2得證.

分析由f(x1)＝f(x2),可知lnx1－ax1＝lnx2－ax2＝0,即且

x2lnx1＝x1lnx2.

待證不等式為

7 多種策略組合的綜合問題

分析,易得t≥e.因為y＝t＋lnt在[e,＋∞)上是單調函數,所以f(x)有兩個零點x1,x2等價于y＝t＋lnt在t≥e上有一個零點t0,即,變形得,兩邊取對數得x2－x1＝lnx2－lnx1,即.于是待證不等式

處理雙變量問題的關鍵是將其轉化為單變量問題,我們應該掌握常見的基本策略:根與系數的關系消元、比值換元、差值換元、構造和或差函數、同構轉化等.

(完)