導數章節小測

張 琥(正高級教師 特級教師)

(北京外國語大學附屬蘇州灣外國語學校)

(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.)

1.已知函數f(x)＝x(x－c)2在x＝－1處取得極小值,則c的值為( ).

A.－1或－3 B.－1 C.－3 D.1或3

2.若直線y＝4x＋m是曲線y＝x3－nx＋13與曲線y＝x2＋2lnx的公切線,則n－m＝( ).

A.11 B.12 C.－8 D.－7

3.設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(－1)＝0,當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( ).

A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)

4.若過點(a,b)可以作曲線y＝ex的兩條切線,則( ).

A.eb＜aB.ea＜bC.0＜a＜ebD.0＜b＜ea

5.已知a∈R,設函數若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為( ).

A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

6.聲音是由物體振動產生的.我們平時聽到的聲音幾乎都是復合音,復合音的產生是由于發音體不僅全段在振動,它的各部分(如二分之一、三分之一、四分之一等)也同時在振動.不同的振動的混合作用決定了聲音的音色,人們以此分辨不同的聲音.已知刻畫某聲音的函數為,則其部分圖像大致為( ).

7.過平面內一點P作曲線y＝|lnx|的兩條互相垂直的切線l1,l2,切點分別為P1,P2(P1,P2不重合),設直線l1,l2分別與y軸交于點A,B,則△ABP面積的取值范圍為( ).

8.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,則下列結論中錯誤的是( ).

A.?x0∈R,f(x0)＝0

B.函數y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在(－∞,x0)上單調遞減

D.若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)＝0

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.)

9.已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,則( ).

10.已知函數f(x)＝xlnx,若0＜x1＜x2,則下列結論正確的是( ).

A.x2f(x1)＜x1f(x2) B.x1＋f(x1)＜x2＋f(x2)

11.已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R,記g(x)＝f′(x).若均為偶函數,則( ).

A.f(0)＝0 B.C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)

12.已知函數,則下列結論正確的是( ).

A.f(x)在(0,2)上單調遞增

C.f(x)的值域為[－1,＋∞)

D.若對于任意的x∈R,都有(x－1)(f(x)－g(x))≤0成立,則k∈[2,＋∞)

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)

13.已知函數f(x)＝a(lnx－1)－x(a∈R)在區間(e,＋∞)內有最值,則實數a的取值范圍是_________.

16.已知函數f(x)＝|lgx|－kx－2,給出下列四個結論:

①若k＝0,f(x)恰有2個零點;

②存在負數k,使得f(x)恰有1個零點;

③存在負數k,使得f(x)恰有3個零點;

④存在正數k,使得f(x)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是_________.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)已知函數f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1).

(1)當a＝4時,求曲線y＝f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當x∈(1,＋∞)時,f(x)＞0,求a的取值范圍.

18.(12分)已知函數f(x)＝ex－1－ax.

(1)討論f(x)的單調性;

19.(12分)已知函數f(x)＝ex＋1＋(1－a)x＋b.

(1)若曲線y＝f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y＝ex,求實數a,b的值;

(2)若不等式f(x)≥0恒成立,求的最小值.

(1)討論F(x)的單調區間;

(2)若F(x)在x＝t(t≠1)取得極小值,求g(t)的最小值.

(1)當a＝－1時,求f(x)的極值;

(2)討論f(x)的單調性;

(3)若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1＜x2,求證:f(－x1)＋f(x2)＞x1.

22.(12分)已知函數f(x)＝ae2x－x2(a∈R).

(1)設f(x)的導函數為g(x),討論g(x)零點的個數;

(2)設f(x)的極值點為x1,x2(x1＜x2),若恒成立,求實數λ的取值范圍.